1 Ensembles et entiers naturels

ENTIERS ET
ARITHMETIQUE

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1 Ensembles et entiers naturels
1.1 Définitions :
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Toute partie non vide et majorée admet un plus grand élément.
N n’admet pas de plus grand élément.
1.2 Les opérations sur N :
Nous connaissons deux lois de compositions interne dans N : l’addition et la multiplication.
L’addition et la multiplication sont commutatives et associatives.
L’addition admet un élément neutre 0.
La multiplication admet un élément neutre 1.
La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
2 Récurrence :
Propriété :
Soit A une partie de N contenant 0 telle que  n Є N n Є A => n+1 Є A
Alors A = N
Cette propriété nous amène à présenter le raisonnement par récurrence
Principe de récurrence :
Soit P(n) un prédicat défini sur N
Si P(n0 est une proposition vraie, avec n0 Є N
Si  n0 ¨(n)=>P(n+1) est vraie
Alors P(n) est une proposition vraie  nn0
Rappel : formule du binôme de Newton
(a+b)n = nk=0 Cpn an-p * bp
Le triangle de Pascal permet de retrouver rapidement les Cnp
Définition :
Une propriété P(n) telle que P(n)=>P(n+1)  nn0 s’appelle une propriété héréditaire a partir de n0
3 Arithmétique des entiers
3.1 Division euclidienne dans n
Théorème :
Pour tout (a, b) Є NxN il existe un coule unique (q, r) d’entiers naturels tel que a=bq+r 0r<b
Définition :
Effectuer la division euclidienne de a par b c’est déterminer les entiers q et r.
Remarque :
A est le dividende, b est le diviseur.
Q est le quotient, r est le reste.
Lorsque r=0, b divise a et on le note b|a.
(a, b) Є N² b|a   k Є N / a=k*b
3.2 PGCD de deux entiers naturels
Tout d’abord remarquons que 1 divise tout entier. Soient a et b deux entiers naturels.
Définition 1
D est diviseur commun de a et de b si et seulement si D est la fois un diviseur de a et de b.
Définition 2
D’après les propriétés de N, E est non vide et majoré, donc admet un plus grand élément appelé le PGCD(a, b).
Rappel : PGCD(a, b)|a et PGCD(a, b)|b et PGCD(a, b) est le plus grand entier qui vérifie cette propriété.

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3.3 Théorème de Bézout
Définition :
Les deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a, b)=1 : nous pouvons alors
énoncer le théorème de Bézout :
Les deux propositions sont équivalentes :
A et b sont premiers entre eux
 (u, v) Є Z² / au+bv=1
3.4 Recherche pratique du PGCD
Deux remarques préliminaires :
a = bq (c’est à dire b|a) => PGCD (a, b) = b
a = bq + r => PGCD (a, b) = PGCD (b, r)
D’ou, recherché algorithmique du PGCD appelé algorithme d’Euclide :
Le but est la recherche du PGCD (a, b), a et b entiers naturels différents de 0.
Ecrivons les divisions euclidiennes successives :
a = bq+r1 r1 <b
b = r1q2 + r2 r2<b
r1 = r2q2 + r3 r3<r2
…
rn-1 = rnqn+1 + rn+1 rn+1<rn
Les restes successifs forment une suite d’entiers positifs strictement décroissante donc on parvient
nécessairement à un reste nul, soit rn+1.
Il suffit alors de remonter : PGCD (a, b) = PGCD (b, r1) = … = PGCD (rn-1, r) = rn
Remarque : dans cette présentation, le nombre d’étapes est de n+1. Il est nécessairement majoré par b, donc fini !
Ecriture de l’algorithme :
Fonction PGCD (a, b : entiers) : entier
Var : q, r : entiers
r <= b
Tant que r0
q=E(a/b)
r=a-bq
a<=b
b<=r
fin tant que
retourner (a)
fin
Remarque :
Les entiers a et b sont des entiers non nuls d’après la définition du PGCD.
Si a et b sont tels que a<b, la première boucle de l’algorithme nous ramène à échanger a et b et dans ce cas là on
retrouve la recherche du PGCD (a, b) avec a b.
Exemple :
Recherche du PGCD de 1764 et 3465
3465=1764*1+1701
1764=1701*1+63
1701=63*27+00
donc pgcd(3465, 1764)=63
3.5 PPCM de 2 entiers naturels
Définition 1 :
M Є N est un multiple de a   k Є N / m=ka
Définition 2 :
M Є N* est un multiple commun à a et b  m est un multiple de a et un multiple de b   k1 Є N ^  k2 Є N/
m=k1a ^ m=k2b
Définition 3 :
Considérons Mab le sous ensemble de N* des multiples communs à a et b. Cet ensemble est non vide puisque le
produit a.b est un multiple commun donc appartient à Mab Donc Mab est une partie de N*, non vide.
{

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Elle admet un plus petit élément : le plus petit commun multiple de a et b.
Notation : ppcm(a, b)
3.6 Nombres entiers naturels premiers
Remarque :
- un entier naturel n non nul a au plus n diviseurs.
- Tout entier naturel est un diviseur de 0
- 1 admet un seul diviseur : lui-même, donc 1 n’est pas premier (voir plus loin)
-  n Є N, n|n car n=1*n
-  n Є N, 1|n car n=1*n
définition :
Un entier naturel est premier lorsqu’il admet exactement deux diviseurs.
Remarque et exemple :
Tout entier strictement supérieur à 1 est donc premier lorsqu’il n’admet comme diviseur que lui-même et 1.
7 est premier puisqu’il admet comme seuls diviseurs 1 et 7
12 n’est pas premier : voici l’ensemble de ses diviseurs : {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Application :
Décomposition d’un entier en facteurs premiers. Utilisation de cette décomposition pour le calcul du PPCM et
du PGCD de deux entiers naturels :
Exemple :
1500=2² x 3 x 53
3150=2 x 3² x 5² x 7
On trouve le PPCM en faisant le produit des facteurs premiers des deux décompositions affectés de leur
puissance la plus élevée. PPCM(1500, 3150)=2² x 3² x 53 x 7
On trouve le PGCD en faisant le produit des facteurs premiers communs affectés de la puissance la moins
élevée. PGCD(1500, 3150)=2 x 3 x 5²
Remarque :
a Є N, b Є N
pgcd(a, b)=1 a et b sont premiers entre eux ou étrangers., et dans ce cas là ppcm(a, b)=ab
ppcm*pgcd=a*b
3.7 Ensemble des entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs notés Z est muni de deux opérations + et x qui sont associatives et commutatives.
Z admet un élément neutre pour chacune (respectivement 0 et 1). Tout entier relatif z admet un opposé –z.
3.7.1 Division euclidienne dans Z
 (a, b) Є ZxZ* il existe un couple unique (q, r) Є Z² / a=bq+r 0r<|b|
Si r=0, b divise a et on note b|a
Remarque :
Les notions définies dans l’ensemble des entiers naturels peuvent être étendues à l’ensemble des entiers relatifs,
notamment : les nombres premiers entre eux, théorème de Bézout, PGCD, PPCM, nombres premiers (4 diviseurs
au lieu de 2),…
3.7.2 Congruences dans Z
Définition :
Soient z et z’ 2 entiers relatifs, soit n Є N. z et z’ sont congrus modulo n ou z est congru à z’ modulo n  z-z’
est divisible par n
 (z, z’) Є Z² z  z’ (n)   k Є Z tel que x-y=kn
Remarque :
Lorsqu’on z’<n, l’écriture z=z’+kn montre que z’ est le reste de la division euclidienne de z par l’entier naturel
n.

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EXERCICES
Exercice 1
Montrer que :
a) Soit x Є R+, pour tout n Є N (1+x)n  1 +nx
b) Pour tout n Є N 0+1+2+…+n = n(n+1)/2
c) a Є R, (1 – a)(1 + a + a² +…+an)=1 – an+1
a)
Pour n=0 : (1+x)0=1 et 1+0*x=1 donc on a bien 11
Pour n=1 (1+x)1=1+x et 1+1*x=1+x donc on a bien 1+x1+x
On suppose que la propriété est vraie au rang k : on a donc (1+x)k  1+kx
Au rang k+1 : on a (1+x)k+1=(1+x)k(1+k)  (1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx² =1+(k+1)x+kx² (oukx²0)
1+(k+1)x
Donc  n Є N (1+n)n1+nx
b)
Pour n=0 on a bien 0=0(0+1)/2
Pour n=1 on a bien 1=1(1+1)/2
On suppose que la propriété est vraie pour n=k, 1+2+…+k=k(k+1)/2
Au rang k+1 : 1+2+…+k+(k+1) =k(k+1)/2 + (k+1) (d’après l’hypothèse de récurrence)
= [k(k+1)+2(k+1)]/2
=[(k+1)([k+1]+1)]/2
Ce qu’il fallait démontrer.
c)
Pour n=0 on a (1 – a)*1 = 1 – a0+1
On suppose que (1 – a)(1 + a + a² +…+an)=1 – an+1 est vraie au rang n.
Au rang n+1 on a : (1 – a)(1 + a + a² +…+an+an+1) = (1 – a)(1 + a + a² +…+an) + (1 – a)(an+1)
= 1 – an+1 + (1 – a)an+1
= 1 – an+1 + an+1 – an+2
= 1 – a(n+1)+1
Ce qu’il fallait démontrer.
Exercice 2
Calculer PGCD( 18480 , 9828 ) de deux manières.
Calculer PGCD( 120 , 48 )
Calculer PGCD (165 , 14 ). Que peut-on dire de 165 et 14 ?
Calcul de PGCD( 18480 , 9828 ) :
18480 = 9828*1+8652
9828=8652*1+1176
8652=1176*6+420
1176=420*2+336
420=336*1+84
336=84*4+0
Donc PGCD( 18480 , 9828 ) = 84 (correspond au dernier reste non nul)
Autre méthode :
Par décomposition en produit de facteur premier on trouve que :
18480=24x 3 x 5 x 7 x 11
9828=2² x 33 x 7 x 13
Le PGCD( 18480 , 9828 ) correspond au produit de facteurs communs affectés de leur plus petit coefficient.
Donc PGCD( 18480 , 9828 ) = 2² x 3 x 7 = 84
Calcul du PGCD (120 , 48)
120=48*2+24