INTEGRATION

INTEGRATION
§ 1 Notion d’intégrale d’une fonction
Le plan étant muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ) , on définit les points I, Jet K par OI = i , OJ = j
et OIKJ rectangle.
L'aire du rectangle OIKJ définit alors l'unité d'aire (u.a.).
1. Aire et intégrale d'une fonction positive
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et C sa courbe représentative dans le
repère (O ; i , j )
L'intégrale de a à b de f est le réel noté
b
 f (x )dx , égal à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine
a
D délimité
par C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.
2.
1.
Remarque
a et b sont les bornes de l'intégrale et x est une variable muette :
elle n'intervient pas dans le résultat. On peut la remplacer par les lettres t ou
u, ainsi :
b
b
b
a
a
a
 f (x )dx =  f ( t )dt =  f (u )du
Exemples


0
3dx = 6
2
3
1
tdt =
2  (3  1)
=4
2
D1 est un rectangle
D2 est un trapèze
2. Valeur moyenne
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur
b
1
f ( x )dx
[a ; b] est le réel μ =

ba a
b
b
1
f ( x )dx
μ=
équivaut à μ (b - a) =  f ( x )dx

a
ba a
La valeur moyenne de f sur [a ; b] est donc le réel μ tel que le rectangle de dimensions μ et b - a soit de
même aire que le domaine D délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les droites
d’équations x = a et x = b
1/8
§ 2 Intégrale et primitive
1. Intégrale d’une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle [a ; b]
Théorème :
Soit f une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle I = [a ; b] . On note C, sa courbe
représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
x
On définit sur [a; b] la fonction A : x   f ( t )dt et on fixe x0 dans [a ; b]
a
la fonction A est dérivable sur I et sa dérivée est f
Démonstration :
L'aire de la surface coloriée est A(x0 + h) - A(x0)
On a h  f(x0) ≤ A(x0 + h) - A(x0) ≤ h  f(x0 + h), puisque f est croissante sur I.
Selon que h > 0 ou h < 0 , on a :
A(x 0  h)  A(x 0 )
A(x 0  h)  A( x 0 )
f(x0) ≤
≤ f(x0 + h) ou f(x0 + h) ≤
≤ f(x0)
h
h
Or, f est continue sur I, donc lim f(x0 + h) = f(x0) , et d'après le théorème des gendarmes, il en résulte
h0
A(x 0  h)  A(x 0 )
= f(x0).
h
Donc A est dérivable en x0 et A'(x0) = f(x0) pour tout x0 de I.
Donc A est une primitive de f sur I
Soit F une primitive quelconque de f sur I alors A(x) = F(x) + C
Or A(a) = 0, d’où : A(a) = F(a) + C = 0
C = - F(a)
Et A(x) = F(x) – F(a)
lim
h 0
2. Primitive d’une fonction continue
Théorème admis :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]
La fonction Φ définie sur [a ; b] par Φ(x) =

x
a
f ( t )dt est :
L’unique primitive de f sur [a ; b] qui s’annule en a
Remarques
• La fonction Φ, définie dans le théorème, est donc dérivable sur [a ; b] , de dérivée f
Ce résultat montre que toute fonction continue sur [a ; b] admet une, donc des primitives sur [a ; b]
Plus généralement, toute fonction continue sur un intervalle I quelconque admet des primitives
• Soit F une primitive quelconque de f sur [a ; b], alors
2/8
b
 f ( t )dt = F(b) - F(a)
a
3. Généralisation de l’intégrale à l’aide d’une primitive
Propriété et définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive quelconque de f sur I. Pour tous réels
a et b de I, la différence F(b) - F(a) ne dépend pas de la primitive de f choisie
On définit alors l'intégrale de a à b de f par
b
 f ( t )dt = F(b) - F(a)
a
Exemple
La fonction polynôme f : x  x2 - 1 est continue sur ℝ
x3
L'une de ses primitives est F : x 
-x
3
On a ainsi :
1
1
2
4
1
1 (x ²  1)dx = F(1) - F(- 1) = ( 3 - 1) - (  3 + 1) = 3 - 2 =  3
§ 3 Propriétés de l’intégrale
1. Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a :
c
b
c
a
a
b
 f (x )dx =  f ( x )dx + 
f ( x )dx
Démonstration :
Soit F une primitive de f sur I
b
c
a
b
 f ( x )dx + 
f ( x )dx = F(b) – F(a) + F(c) – F(b) = F(c) – F(a) =
c
 f (x )dx
a
Remarques :
Lorsque f est positive sur I et si a ≤ b ≤ c, la relation de Chasles
traduit que l'aire du domaine hachuré est la somme des aires
des deux domaines D1 et D2
En prenant c = a et du fait que

a
b
a
 f (x )dx
a
= 0, on obtient :
b
f ( x )dx =   f ( x )dx
a
2. Linéarité
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel.
Pour tous réels a et b de I, on a :
b
b
a
a
 (f  g)( x)dx =  f ( x )dx
+
b
 g( x )dx
a
b
 (k.f )( x )dx
et
a
=k×
b
 f (x )dx
a
Démonstration :
Si F et G sont des primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g, et kF une primitive
de kf sur I
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3- Intégrales et inégalités
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de ℝ, et a, b deux réels appartenant à I.
b
(1) Si a ≤ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors  f ( x )dx ≥ 0.
a
b
(2) Si a ≤ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors  f ( x )dx ≤ 0.
a
b
(3) Si a ≥ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors  f ( x )dx ≤ 0.
a
b
(4) Si a ≥ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors  f ( x )dx ≥ 0.
a
Exemple :
1
2
Déterminer le signe de l’intégrale  ln x dx
1
4- Conservation de l’ordre
Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b]. Si f ≤ g sur [a ; b], c'est-à-dire si, pour tout réel x de
b
b
a
a
[a ; b], f(x) ≤ g(x) , alors  f ( x )dx ≤  g( x )dx
Démonstration :
Si f ≤ g sur [a ; b] , alors, pour tout réel x de [a ; b] , g(x) - f(x) ≥ 0 .
D'autre part, g - f est continue sur [a ; b] .
b
D'après la propriété de positivité, on obtient  [g( x )  f ( x )]dx ≥0
a
b
b
a
a
puis, par linéarité,  g( x )dx -  f ( x )dx ≥ 0 ; d'où le résultat.
Lorsque f et g sont positives sur [a ; b], l'inégalité traduit le fait que l'aire du
domaine D1 situé sous Cf, est inférieure à l'aire du domaine D2 situé sous Cg
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5- Inégalités de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I.
 Si a ≤ b et s'il existe deux réels m et M tels que m ≤ f (x) ≤ M, pour tout réel x de [a ; b]
b
m(b – a) ≤  f ( x )dx ≤ M(b – a)
alors
a
b
 S'il existe un réel M positif tel que | f | ≤ M sur I, alors
 f (x )dx
≤M|b–a|
a
Démonstration :
m ≤ f (x) ≤ M, donc, par conservation de l'ordre, on obtient :
Pour tout réel x de [a ; b] , on a :
b
b
b
a
a
a
 m dx ≤  f (x)dx ≤  M dx
b
ce qui donne le résultat puisque  dx = b - a .
a
Remarques :
Lorsque a ≤ b et f positive, ainsi que m, cet encadrement traduit que
l'aire du domaine D est comprise entre les aires des deux rectangles
de hauteurs m et M et de largeur b - a . L'encadrement montre aussi que la valeur moyenne μ de f sur
[a ; b] est comprise entre m et M.
Exemple :
Pour tout réel x de [1 ; 8] ,on a
2 ≤ 1 x ≤ 3, donc :
8
7 2 ≤

1  x dx ≤ 21
1
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§ 4 Intégrale d'une fonction continue et négative sur [ a , b ]
f est une fonction continue et négative sur [a ; b] .
C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
D est le domaine compris entre C , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b .
Dans ce cas, on convient que l'intégrale de a à b de f est l'opposée de l'aire de D..
.
b
On note
 f (x ) dx = - aire (D ) .
a
Vocabulaire :
b
On dit parfois que
 f (x ) dx est l'aire algébrique du domaine compris entre C , l'axe des abscisses et
a
les droites d'équations x = a et x = b pour indiquer qu'elle est positive si f est positive sur [a ; b],
négative si f est négative sur [a ; b] .
Exemple :
f est la fonction définie sur [1 ; 3] par f(x) = 1 - x . Le domaine D est le triangle ABC ci-contre ; son
3
aire est égale à 2, donc :  (1  x ) dx = - 2 .
1
§ 5 Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque sur [a ; b]
Pour une fonction continue et de signe quelconque sur [a ; b] , on convient que l'intégrale de a à b de f
est la somme des aires algébriques des domaines définis à partir des intervalles sur lesquels f(x) garde
un signe constant.
Exemple :
f est la fonction définie sur [a ; b] par la courbe ci-contre.
b
 f (x ) dx = aire (D 1) - aire (D 2)) + aire (D 3) - aire (D 4)
a
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§ 6 Aire d'un domaine compris entre deux courbes
Théorème :
Soit f et g deux fonctions continues, a et b deux réels de I tels que a  b.
Lorsque f  g sur [a, b] , l'aire en u.a. du domaine limité par les courbes C f et C g sur [a, b] (en
bleuté sur la figure) est calculée par :
b
aire (D ) =
 (g(t)  f (t )) dt .
a
Le domaine D peut être décrit, si besoin est, comme l'ensemble des points M(x,y) tels que :
a  x  b



et

f ( x )  y  g( x )


§ 7 Volume d'un solide
L'espace est muni d'un repère orthonormal (0, J, J, K) et l'unité de volume (u.v.) est le volume du cube
construit sur (0, J, J, K).
Théorème :
On considère un solide (Ʃ) limité par les plans parallèles d'équations :
z = a et z = b (a  b )
z = a et z = b (a  b).
Pour tout z (a  z  b), on note :
 P z le plan perpendiculaire à (Oz) et de cote z ;
 S z l'aire de la section du solide par le plan P z.
Lorsque S est une fonction continue sur [a, b] , le volume V du solide est calculé (en u.v.) par :
b
V=
S
(z) dz .
a
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§ 8 Intégration par parties
Propriété : intégration par parties
Soit u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I telles que u' et v' soient continues sur I. Pour tous
réels a et b de I, on a :
b
b
 u' (x)  v(x)dx  [u(x)  v(x)]   u(x)  v' (x)dx
b
a
a
a
Démonstration :
On sait que (u × v)' = u' × v + u × v', soit u' × v = (u × v)' - u × v'
D'où, en égalant les intégrales des deux membres on obtient la formule donnée car les primitives de
(u × v)' ne sont autres que u × v + C
Exemples :
1
Calculer l’intégrale K =  (1  x )e  x dx
0
Trouver une primitive sur ]0 ; + ∞[ de f : x  ln x
π
 x sin x dx
Calculer l’intégrale M =
0
e
Calculer l’intégrale P =
 x ln x dx
1
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