CHAPITRE : RESOUDRE UNE EQUATION I Egalités et opérations. Equations Rappel : Une égalité est une expression du type : 3(2 + 4) = 18 membre de gauche membre de droite Propriété P1 : Addition et soustraction Une égalité reste vraie si on additionne (ou soustrait) le même nombre dans chaque membre. En langage mathématique : a, b et c sont trois nombres. Si a = b, alors a + c = b + c et a – c = b – c Exemples Si x = 10 alors x + 3 = 10 + 3 = 13 Si y = 24 alors y - 6 = 24 – 6 = 18 Si t = -4, alors t – 5 = -4 – 5 = -9 Propriété P2 : Multiplication et division Une égalité reste vraie si on multiplie (ou divise) chaque membre par le même nombre non nul. En langage mathématique : a, b et c sont trois nombres. Si a = b, alors ac = bc et si c = 0, alors a/c = b/c Exemples Si x = 5 alors 3 x x = 3 x 5 donc 3x = 15 Si x = 6 alors x/3 = 6/3 donc x/3 = 2 Si 5x = 54 alors 5x/5 = 54/5 donc x = 10.8 Définition D1 : Equation Une équation est une égalité dans laquelle un nombre est inconnu. On dit qu’on a résolu l’équation quand on a trouvé toutes les valeurs du nombre inconnu qui vérifient l’égalité. Exemple : 2x + 4 = 6 est une équation dans laquelle x est l’inconnue. 1 est une solution de l’équation car si on remplace x par 1 on constate que : 2x1+4=6 3 n’est pas une solution de l’équation car si on remplace x par 3, on constate que : 2 x 3 + 4 = 10 donc 2 x 3 +4 = 6 II Résoudre un problème avec une inconnue Méthode : Mettre en équation un problème Pour mettre en équation un problème, on identifie d’abord l’inconnue. Celle-ci correspond à la donnée manquante dans le problème. On met le problème en équation en traduisant en langage mathématique toutes les informations utiles données par l’énoncé. Exemple : Problème Mise en équation Mo a acheté 4 cahiers et a reçu 1,2 € de monnaie. Avec la même somme d’argent, Dimitri a acheté 2 cahiers et a reçu 3,5 € de monnaie Combien coûte un cahier ? * L’inconnue est le prix d’un cahier : on la note x * La somme d’argent que possède Mo est 4x + 2 * La somme d’argent que possède Dimitri est 2x + 3,5 * Ils possèdent la même somme d’argent donc l’équation à résoudre est : 4x + 1,2 = 2x + 3,5 Méthode : Résoudre une équation On élimine les termes numériques dans le membre de gauche de l’équation en utilisant les propriétés de l’addition et de la soustraction dans une égalité. On élimine de même « les termes en x » dans le membre de droite. On obtient la valeur de x en utilisant les propriétés de la multiplication et de la division dans une égalité. On vérifie que la valeur trouvée est bien solution en remplaçant x dans l’équation de départ. Exemple Résoudre l’équation : 4x + 1,2 = 2x + 3,5 4x + 1,2 – 1,2 = 2x + 3,5 - 1,2 ← On élimine les termes numériques du membre de gauche ← On élimine les « termes en x du membre de droite 2x/2 = 2,3/2 ← On isole x en divisant par 2 x = 1,15 ← On obtient la valeur de x 4x = 2x + 2,3 4x – 2x = 2x + 2,3 – 2x 2x = 2,3 4 x 1,15 + 1,2 = 5,8 et 2 x 1,15 +3,5 = 5,8. ← Donc 1,15 est la solution de l’équation. Le prix d’un cahier est 1,15 €. On vérifie