Cours équations

CHAPITRE : RESOUDRE UNE EQUATION
I Egalités et opérations. Equations
Rappel : Une égalité est une expression du type :
3(2 + 4) = 18
membre membre
de gauche de droite
Propriété P1 : Addition et soustraction
Une égalité reste vraie si on additionne (ou soustrait) le même nombre dans chaque membre.
En langage mathématique :
a, b et c sont trois nombres. Si a = b, alors a + c = b + c et a – c = b – c
Exemples
 Si x = 10 alors x + 3 = 10 + 3 = 13
 Si y = 24 alors y - 6 = 24 – 6 = 18
 Si t = -4, alors t – 5 = -4 – 5 = -9
Propriété P2 : Multiplication et division
Une égalité reste vraie si on multiplie (ou divise) chaque membre par le même nombre non
nul.
En langage mathématique :
a, b et c sont trois nombres. Si a = b, alors ac = bc et si c = 0, alors a/c = b/c
Exemples
 Si x = 5 alors 3 x x = 3 x 5 donc 3x = 15
 Si x = 6 alors x/3 = 6/3 donc x/3 = 2
 Si 5x = 54 alors 5x/5 = 54/5 donc x = 10.8
Définition D1 : Equation
Une équation est une égalité dans laquelle un nombre est inconnu. On dit qu’on a résolu
l’équation quand on a trouvé toutes les valeurs du nombre inconnu qui vérifient l’égalité.
Exemple :
2x + 4 = 6 est une équation dans laquelle x est l’inconnue.
 1 est une solution de l’équation car si on remplace x par 1 on constate que :
2 x 1 + 4 = 6
 3 n’est pas une solution de l’équation car si on remplace x par 3, on constate que :
2 x 3 + 4 = 10 donc 2 x 3 +4 = 6
II Résoudre un problème avec une inconnue
Méthode : Mettre en équation un problème
 Pour mettre en équation un problème, on identifie d’abord l’inconnue. Celle-ci
correspond à la donnée manquante dans le problème.
 On met le problème en équation en traduisant en langage mathématique toutes les
informations utiles données par l’énoncé.

Exemple :
Problème Mise en équation
Mo a acheté 4 cahiers et a reçu * L’inconnue est le prix d’un cahier : on la note x
1,2 € de monnaie. Avec la même * La somme d’argent que possède Mo est 4x + 2
somme d’argent, Dimitri a acheté * La somme d’argent que possède Dimitri est 2x + 3,5
2 cahiers et a reçu 3,5 € de monnaie * Ils possèdent la même somme d’argent donc l’équation
Combien coûte un cahier ? à résoudre est :
4x + 1,2 = 2x + 3,5
Méthode : Résoudre une équation
 On élimine les termes numériques dans le membre de gauche de l’équation en
utilisant les propriétés de l’addition et de la soustraction dans une égalité.
 On élimine de même « les termes en x » dans le membre de droite.
 On obtient la valeur de x en utilisant les propriétés de la multiplication et de la
division dans une égalité.
 On vérifie que la valeur trouvée est bien solution en remplaçant x dans l’équation de
départ.
Exemple
Résoudre l’équation : 4x + 1,2 = 2x + 3,5
4x + 1,2 – 1,2 = 2x + 3,5 - 1,2 ← On élimine les termes numériques du membre de
gauche
4x = 2x + 2,3
4x – 2x = 2x + 2,3 – 2x ← On élimine les « termes en x du membre de droite
2x = 2,3
2x/2 = 2,3/2 ← On isole x en divisant par 2
x = 1,15 ← On obtient la valeur de x
4 x 1,15 + 1,2 = 5,8 et 2 x 1,15 +3,5 = 5,8. ← On vérifie
Donc 1,15 est la solution de l’équation.
Le prix d’un cahier est 1,15 €.