Statistiques descriptives

Lo
1
Probabilités
Melle Jallet
Espace de probabilité ................................................................................................................. 2
I Définitions ............................................................................................................................ 2
II Propriétés ............................................................................................................................ 3
Exercices .................................................................................................................................... 4
Variables aléatoires discrètes ..................................................................................................... 8
I Définitions ............................................................................................................................ 8
II Moments d'une variable aléatoire discrète.......................................................................... 9
III Lois discrètes ................................................................................................................... 10
Exercices .................................................................................................................................. 12
Variables aléatoires continues .................................................................................................. 15
I Définitions .......................................................................................................................... 15
II Moments d'une variable aléatoire continue ...................................................................... 15
III Loi normale N(m,σ) ........................................................................................................ 16
IV Loi uniforme sur [a,b] ..................................................................................................... 17
V Comparaison variable aléatoire discrète et variable aléatoire continue ........................... 17
Statistiques descriptives ........................................................................................................... 18
I Cas discret .......................................................................................................................... 18
II Cas continu ....................................................................................................................... 20
Inférence statistique et échantillonnage ................................................................................... 22
I Moyenne, variance et proportion ....................................................................................... 22
II Propriétés .......................................................................................................................... 22
III Estimateurs ...................................................................................................................... 23
IV Théorèmes ....................................................................................................................... 23
Estimation par intervalle de confiance ..................................................................................... 24
I Pour la moyenne ................................................................................................................ 24
II Pour la variance ................................................................................................................ 26
III Pour la proportion ............................................................................................................ 27

Lo
2
Espace de probabilité
I Définitions
Expérience aléatoire : notée Ω, correspond à un ensemble représentant les résultats
possibles. Ex. : jet de dés, battage de cartes, observation d’une durée de fonctionnement
d’une machine...
Jet de trois dés Ω Є {1, 2, 3, 4, 5, 6}3, ω Є Ω, ω = (x1, x2, x3).
Elément aléatoire : noté A, correspond à un ensemble de résultats de l’expérience.
Ex. : jet de trois dés. A : la somme des 3 faces est supérieure à 9
A = {ω = (x1, x2, x3), xi Є {1, 2, 3, 4, 5, 6},
9
3
1 ii
x
}
Elément contraire : Ā = CA = Ω\A
Intersection de 2 évènements A et B : A ∩ B, A et B.
Union de 2 évènements A et B : A U B, A ou B.
A et B sont 2 évènements incompatibles si A ∩ B = Ø
Soit
i
i
une suite d’évènements aléatoires deux à deux incompatibles et telle que
i
i
, alors
i
i
forme une partition de Ω (ou un système complet).
Ω étant un vaste ensemble, on se limite à une partie de Ω notée C appelée algèbre
d’évènements. C’est une partie de Ω telle que :
- C Є Ω
- A Є C => Ā Є C : stabilité par l’évènement contraire.
-
i
famille d’évènements finie ou infinie
C
i
i 
: stabilité par l’union.
Probabilité : notée P, application P : Ω → [0, 1] telle que :
- P(Ω) = 1
-
i
i
famille d’évènements incompatibles
iii
Probabilité conditionnelle : P(A/B), probabilité de A sachant B.
Bayes :
 /
pour B ≠ Ø
On dit que A et B sont 2 évènements indépendants (A Ц B) si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Ex. : on jette un dé
A « obtenir un chiffre pair »
B « obtenir 5 ou 6 »

Lo
3
 6
1
,
3
1
,
2
1
=> A et B sont indépendants.
Remarque :
Si A et B sont indépendants, alors P(A/B) = P(A)
Indépendance ≠ incompatibilité
Permutation : il y a n! possibilités de permutations parmi n individus.
Arrangement : tirage de p objets parmi n en tenant compte de l’ordre.
!
!pn n
p
n
Combinaison : tirage de p objets parmi n en ne tenant pas compte de l’ordre.
!!
!
!ppn n p
Cp
n
p
n
II Propriétés
1)
 1
et
 /1/
Démo :
111  
2)
0Ø 
3)
4)
5)
i
i
système complet d’évènements
ii
Démo :
 i
n
i1
n
 ...
1
Avec
i
i
évènements incompatibles
 n
ii 1

Lo
4
Exercices
Exercice 1 : sur 100 étudiants, on observe que :
20 lisent le magasine A
75 lisent le magasine B
60 lisent le magasine C
12 lisent A, B et C
3 lisent A et B mais pas C
24 lisent B mais ne lisent ni A ni C
12 ne lisent rien
1) On interroge un étudiant au hasard. Calculer la probabilité qu'il lise :
a) au moins un magazine
b) uniquement A
c) A et B
d) un seul magazine
2) On choisit maintenant au hasard un lecteur de A. Calculer la probabilité qu'il lise aussi C
(puis B). Les évènements A et C; A et B; B et C sont-ils indépendants ?
De plus, 12 ne lisent rien et cardinal de (AUBUC) = 88.
1) a)
148
13
12
5
13
603612
20123100
88
100
12
1
5  xyz
zyx
zy
yx
zyx
zy
yx
CBACBA
yx
b) P (uniquement A) = 1/100
c) P (AUB) = 44/100
d) P (lire un seul magazine) = 33/100
2)
B : 75
C : 60
A : 20
24
3
12
36
x = 1
y = 4
z = 8

Lo
5
4
3
/
5
1
/
ABA
AB
ACA
AC
 CACA 100
16
100
12
A et C ne sont pas indépendants
 BABA 100
15
A et B sont indépendants
 CBCB 100
45
B et C ne sont pas indépendants
Exercice 2 : au cours d'une étape de 500 km de la course Paris - Dakar, les probabilités de
crevaison des pneus d'une moto sont les suivantes :
- la probabilité de crevaison du pneu avant est de 0,5 (évènement A)
- la probabilité de crevaison du pneu arrière est de 0,4 (évènement B)
On sait qu'il y a 3 chances sur 4 de crever le pneu avant sachant que le pneu arrière est crevé.
On considère que la probabilité de crever un pneu réparé au cours de l'étape est nulle.
1) Calculer les probabilités :
a) de crever les 2 pneus
b) de crever uniquement le pneu arrière
c) de crever uniquement le pneu avant
d) de ne pas avoir de crevaisons
2) Sachant que la durée de réparation d'une crevaison à l'arrière est de 30 minutes et à l'avant
de 16 minutes, calculer la durée moyenne de réparation des crevaisons au cours de cette étape.
3) Calculer
BAPABPABP /,/,/
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A/B) = 3/4
1) a) On cherche P(A∩B)
10
3
10
4
4
3
/
BAP
BP BAP
BAP
b)
10
1
10
4
4
3
1/1/ 
 BPBAPBPBAPBAP
c)
5
1
10
1
4,05,0111 
 BAPBPAPBAPbarreBAPBAP
d)
5
2
10
6
11  BAPBPAPbarreBAPBAP
2) Ne peut pas être fait avec les connaissances actuelles.
3)