Satellite

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Planètes et satellites.
I) Lois de Kepler.
1ère loi de Kepler : Dans un référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est un
ellipse dont l’un des foyers est occupé par le soleil.
2ème loi de Kepler : le segment de droite reliant le soleil à la planète balaie des aires égales
pendant des durées égales.
3ème loi de Kepler : Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la
période de révolution et le cube du demi longueur du grand axe est le même.
II) Le système Solaire.
1) Planète et Satellite.
Les neuf Planètes gravitent dans un même plan autour d’une étoile : Le Soleil.
Ce plan est appelé : Plan de l’écliptique.
Le système Solaire comprend neuf planètes, dont les trajectoires sont des ellipses très voisines
de cercles.
Dans le référentiel Héliocentrique, le mouvement du centre d’une planète autour du Soleil est
quasiment circulaire centré sur le Soleil.
La Terre possède un seul satellite naturel (la Lune) et un nombre important de satellites
artificiels.
2) Loi de gravitation Universelle.
Deux corps ponctuels A et B de masses respectives m A et m B exercent l’un sur l’autre des
forces d’attraction, directement opposées, dirigées suivant la droite (AB), de valeur
proportionnelle aux masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance r.
Schéma :
Expression vectorielle :
;FA/B = -G.
Error!
.
Error!
=
Error!
; l’intensité des deux forces est la même : FA/B = FB/A =
G.
Error!
G est la constante de gravitation Universelle : G ≈ 6,67.10-11 U.S.I.
Calculons la valeur de la force d’attraction qu’exerce le Soleil sur la Terre :
On donne mS = 2.1030kg, mT = 6.1024kg et dST = 150.106km
3) Le référentiel héliocentrique.
C’est un référentiel constitué par le centre S du Soleil et 3 axes d’origine S pointant sur trois
étoiles lointaines fixes. Le référentiel héliocentrique est galiléen.
On peut considérer que les planètes du système solaire ont un mouvement quasi circulaire
uniforme dans le référentiel héliocentrique.
4) Le référentiel géocentrique.
C’est un référentiel constitué par le centre T de la Terre et de 3 axes d’origine T pointant sur
trois étoiles lointaines fixes. Il ne tourne pas avec la terre. Ce n’est pas le référentiel terrestre.
Le référentiel géocentrique est galiléen si on étudie des mouvements de courte durée
(quelques jours)
Dans ce référentiel, la Terre est animée d’un mouvement de rotation de période T = 24 h.
On peut considérer que les satellites de la Terre ont un mouvement quasi circulaire uniforme
dans le référentiel géocentrique.
A
mA
B
MB
;uAB
Error!
Error!

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III) Mouvements des planètes et des satellites.
1) Le mouvement circulaire uniforme.
a) Caractéristiques d’un mouvement circulaire uniforme.
Etudions par exemple le mouvement d’un satellite autour de la Terre et supposons le satellite
animé d’un mouvement circulaire uniforme.
La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R et la valeur de la vitesse ne change pas
au cours du temps.
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
Le vecteur accélération est dirigé vers le centre du cercle. (vers le centre de l’astre autour
duquel on tourne)
b) Vitesse d’un satellite
On sait d’après la 3ème loi de Kepler que
Error!
=
Error!
donc T2 = r3.
Error!
Mais comme la trajectoire est circulaire on a T =
Error!
soit T2 =
Error!
et donc r3.
Error!
=
Error!
qui peut s’écrire
Error!
Error!
et donc finalement v =
Error!
2) Satellites terrestres.
Etudions le mouvement d’un satellite de la Terre dans le référentiel géocentrique.
Le satellite a une masse m et son centre d’inertie est situé à la distance R du centre de la
Terre. La masse de la Terre est notée : MT.
Calculons l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle qu’il subit de la part de la Terre.
On donne la masse du satellite m = 100 t, son d’altitude h = 400 km.
On rappelle que le rayon de la Terre est RT = 6400 km, MT = 6.1024 kg.
3) Le Satellite géostationnaire.
Un Satellite Géostationnaire est un Satellite qui reste toujours à la verticale d’un même point
P de la Terre.
Le plan de l’orbite dans le référentiel géocentrique est le plan équatorial.
Quelle est la période de révolution d’un tel Satellite ?
En déduire l’altitude h d’un Satellite géostationnaire.
IV) Application.
1) Détermination de la masse de la Terre
Lorsqu’un Satellite est animé d’un mouvement circulaire, autour d’une planète de masse M, le
rayon r de son orbite et la période T de son mouvement vérifient la troisième loi de Kepler :
Error!
= Cte , on peut montrer que cette constante est égale
Error!
Les Satellites géostationnaires de la Terre ont une orbite circulaire de rayon r ≈ 42100 km et
une période T ≈ 86400 s =24h. En déduire la masse MT de la Terre.
2) Détermination de la masse de Mars
Mars a deux Satellites naturels, P et D dont la période et le rayon du cercle décrit sont
R (km)
T
P
RP = 9400 km
TP = 7 h 39 min
D
RD = 23460
TD = 30 h 18 min
Calculer la masse mM de Mars à partir des caractéristiques du mouvement de P et de D.