Nombres Complexes

Nombres Complexes.
A. Forme algébrique d’un nombre complexe.
A.1. Définition. On admet l’existence d’un nombre nouveau noté i dont le carré i² est égal à –1.
L’ensemble des nombres complexes est un ensemble contenant   { i } dans lequel nous pouvons étendre
l’application des règles de calcul de l’addition et de la multiplication dans .
Cet ensemble est noté .
Les nombres de cet ensemble sont de la forme a + bi avec a   et b  .
Cette écriture est dite forme algébrique des nombres complexes.
Le réel a est appelé la partie réelle du nombre complexe.
Le réel b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe.
Exemples. z1 = 7 + 4i ; z2 = - 7i ; z3 = 4.
Re(z1) = 7 ; Im(z1) = 4. z2 est un imaginaire pur. z3 est un réel.
Remarque. Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Les physiciens préfère remplacer la notation
i par j afin d’éviter la confusion avec l’intensité i d’un courant.
A.2. Représentations géométriques d’un nombre complexe.
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O, ;u, ;v),
Le nombre complexe z = a + bi est représenté par le point
M(a ; b) ou par le vecteur ;OM(a ; b).
z = a + ib est appelé l’affixe du point M ou du vecteur ;OM
Le point M est appelé point image du complexe z.
Le vecteur ;OM est appelé vecteur image du complexe z.
b M
v
O u a
Exemples. Représenter dans le repère orthonormal (O, ;u, ;v), le point A d’affixe z1 = -1 + 2i, le vecteur
;w d’affixe 3 – 5i, le point B d’affixe z3 = 5, le point C d’affixe z4 = 3i.
Vocabulaire. Dans le plan complexe l’axe des abscisses est appelé axe des réels alors que l’axe des ordonnées
est appelé l’axe des imaginaires.
A.3. Égalité de deux nombres complexes.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont
égales. En particulier a + bi = 0  a = 0 et b = 0.

Application. Déterminer les réels x et y tels que (x – 2) +(y – 1)i = 2 – 3i.
A.4. Addition des nombres complexes.
Exemple. z = - 2 + i, z’ = 3 + 2i, calculer z + z’.
Représenter le vecteur ;u image de z, le vecteur ;v image de z’ et le vecteur ;w image de
z + z’. Que remarque-t-on ?
A.5. Multiplication des nombres complexes.
Exemple. Calculer (-3 + 2i)(5 – 4i).
A.6. Conjugué d’un nombre complexe.
Définition. Soit z le nombre complexe a + bi. On appelle conjugué de z et on note z le nombre :
z = a – bi.
Exemple. Soit z = - 2 + i. Écrire z .
Remarque. Les points images de z et de z sont symétrique par rapport à l’axe réel.
Propriété 1. Soit z et z’ deux complexes.
 z + z’ = z+z’.
 z . z’ = z.z’.
Propriété 2. Soit z = a + bi un nombre complexe, alors z z = a2 + b2.
Le produit d’un complexe par son conjugué est un nombre réel.
Exemple. Soit z = - 2 + i. Calculer z z
A.7. Calcul de l’inverse d’un nombre complexe.
Règle de Calcul. Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse
Error!
d’un nombre
complexe non nul z, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
Posons z = a + b i, z  0 alors
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
–
Error!
i.
Exemple. Calculer l’inverse de 2 – 3i.
A.8. Calcul d’un quotient.
Règle de Calcul. Pour effectuer le quotient de deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et
le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple. Soit z = -2 + i et z’ = 3 + 2i, calculer
Error!
.
B. Forme trigonométrique d’un nombre complexe.
B.1. Module et argument.

Le module et l’argument d’un nombre complexes z sont les coordonnées polaires du point M représentant z
dans le plan complexe.
Définition. Soit z = a + bi un nombre complexe non nul et M le
point d’affixe z dans un repère orthonormal (O, ;u,;v).
- On appelle module du nombre complexe z et on note │z│
le nombre égal à la distance OM.
│z│= OM = ║;OM ║ .
- On appelle argument du complexe non nul z, et on note
arg(z), tout nombre de la forme + k  2, où est une
mesure en radian de l’angle (;u , ;OM) et k un
nombre entier relatif .
;v
O
;u
Remarque. Le module d’un nombre complexe étant une distance est nécessairement un nombre positif.
Exemple 1. Déterminer le module et l’argument du nombre complexe z = 2 + 2i.
Exemple 2. Représenter dans le plan complexe le point A(zA) tel que │zA│= 2 et arg(zA) =
Error!
.
B.2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
Soit z = a + bi.
 Calcul du module.
│z│= OM = r = a2 + b2 = z z
 Détermination d’un argument.
Soit N le point d’intersection de la demi droite [OM) avec le cercle
trigonométrique. On a :
;OM= r;ON ;Or ;ON ( )
cos ;sin
 ;OM
( )
r cos ;r sin
.
Conséquences :
 cos  =
Error!
=
Error!
=
Error!
et sin  =
Error!
=
Error!
=
Error!
 z = a + ib = r cos + ir sin = r(cos + i sin )
À retenir. Le nombre complexe de module r et d’argument  s’écrit : z = r (cos  + i sin ) = [r , ].
Cette écriture est la forme trigonométrique d’un nombre complexe.

B. 3. Passage d’une forme à l’autre.
Exercice 1. Soit les nombres complexes z1 = – 1 + i3 et z2 = –3 donnés sous leur forme algébrique
Déterminer leur forme trigonométrique.
Exercice 2. Soit les nombres complexes z3 =
Error!
et z4 =
Error!
donnés sous leur forme trigonométrique
Déterminer leur forme algébrique.
B.4. Module et argument d’une différence.
B.4.1. Module et distance. Soit M et M’ deux points d’affixes respectives z et z’ alors :
Le vecteur ;MM’ a pour affixe z’ – z et  z’ – z = ║ ;MM’║ = MM’.
Preuve. Posons z = a + bi et z’ = a’ + b’i.
}
M (a ; b);M’(a’ ; b’)  ;MM’
( )
a’ – a;b’ - b
autrement dit :
le vecteur ;MM’ a pour affixe a’- a + (b’ - b)i =
z’ – z.
Plaçons le point N tel que ;ON = ;MM’.
;ON = ;MM’ ;;MM’( z’ – z) 
;ON( z’ – z) et N (z’ – z).
Conclusion : ;MM’ =
;ON 
}
MM’ = ON ; ; ON = z’ – z  MM’=║ ;MM’║ = z’ – z =
(a’- a)2 + (b’ - b)2
Exercice. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que | z – (1 + i) | = 3.
B.4.2. Argument et angle de vecteur.

Soit M et M’ deux points d’affixes respectives z et z’ alors arg( z’ - z ) est une mesure de l’angle(;u ,
;MM’)
Preuve.
Nous avons vu que le vecteur ;MM’ a pour affixe z’
– z.
Soit N le point d’affixe z’ – z. On a bien sur :;ON =
;MM’.
Tout argument  de z’ – z est une mesure de l’angle
(;u , ;ON),
c’est aussi une mesure de l’angle (;u , ;MM’).
Exercice. Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, ;u, ;v), on considère le point A d’affixe 1
– 2i.
Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que : arg (z – (1 – 2i)) =
Error!
+ k , k
  .