Solides en mouvement

Solides en mouvement
I) Principe fondamental de la dynamique appliquée au solide :(système indéformable)
I.1) Principe des actions réciproques ou 3ème loi de Newton:
Lorsque un système S exerce une force FS S ' sur un système S’, le système S’ exerce au
P
même instant une force F 'S 'S sur S. Ces deux forces ont même droite d’action et vérifient
la relation FS S '  FS 'S
R
I.2) Exemple de forces :
Poids d’un objet
Poussée d’Archimède
P  mg
Pa  oVg
 N    kg  m  s 2 
 N   kg  m
3
Tension d’un ressort
T  k. l
  m   m  s 
3
Frottements
Les frottements sont
donnés
2
Poids du volume d’eau déplacé
 N    N  m1   m
f frot  R  tan 
S
K raideur du ressort
l élongation
 N    N  

R 
0Vg


f
P
P
P
I.3) Deuxième loi de Newton :Principe fondamental de la dynamique.
Dans un référentiel galiléen la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse
du solide par l’accélération de son centre d’inertie.
L’expression générale du mouvement d’un solide
F  maG Unités F en N , a en m.s-2,m en kg.
uniformément accéléré est

aG 
dvG vG
dOM

et vG 
OM vecteur
dt
t
dt

position du solide dans un repère O, i , j , k

v(t )  a  t  vinitiale
1
d (t )  a  t 2  vinitiale  t  dinitiale
2
I.4) Couple exercé par une force sur un axe:
O
O un point de l’axe .
C  OM  F
C  OM  F  sin 
F sin 
r en m ; F en N ; C en N.m.

F
r
M


I.5) Moments d’inertie:
Le moment d’inertie quantifie la résistance d’un corps à la mise en rotation, comme les masses ils
s’ajoutent.
J   mi ri 2 pour un cylindre J 
i
1
MR 2 (unité : kg.m²)
2
I.6) Principe fondamental de la dynamique des systèmes en rotation :
C  J

d
dt
d
en rad.s-2
dt
d d 2
 2 accélération angulaire en rad.s-2
et
dt
dt
Unités: C en N.m, J en kg.m2,
d
vitesse angulaire en rad.s-1
dt
M

R
2
I.7) Transmission des couples :
Couple transmis : L’énergie est conservée sur chaque pièce en rotation :
P1  C1  1  P2  C2  2
R1
F2
Rapport de transmission d’un engrenage :
Rapport de transmission : 
F1 =F2
v1=v2
12
C1C2
P=Fv=C11= C22
R2
F1
C1  2 2 R1
 


C2 1 1 R2
1
Si le rendement de la transmission est a comptabiliser, il se répercute sur le
P2    P1
couple : P    C    C  
2
1
1
2
2
  C1  1   C1
 C2 

2

R2
F2
F1
F1 =F2
v1=v2
12
C1C2
P=Fv=C11= C22
R1
II) Aspect énergétique :
R2
F1
II.1) Travail, puissance, rendement:
F2  =
1
2
C1=C2
F1 F2
v1v2
P= C=F1v1=F2v2
R1
II.1.1) Expression du travail d’une force constante :
WAB  F.AB  F.d .cos  avec d=AB norme déplacement,  angle entre F
et le vecteur déplacement.
 1=  2
II.1.2) Expression du travail d’un couple constant :
Le travail d’un couple constant C se déplaçant de l’angle  est égal au produit de C par .
W  C  avec W en J ;  en radian ; C en N.m.
II.1.3) Puissance développée par un couple C:

P  F .v
P=F .v cos P en W; F en N ; v en m.s-1.
II.1.4) Puissance développée par un couple C :
R
v

R
P  C  avec P en W ; C en N.m ;  en rad.s-1.
II.1.5) Rendement:

Pu Wu

<1
Pa Wa
II.2) Energie :
Pa=Pu+pertes.
II.2.1) Energie cinétique :
1
m  v 2 avec EC en J ; m en kg ; v en m.s-1.
2
1
2
Solide en rotation par rapport à un axe fixe: EC  J   avec EC en J ; J en kg.m2 ;  en rad.s-1.
2
Solide en translation rectiligne : EC 
II.2.2) Théorème de l’énergie cinétique :
EC1  EC2  W12
  F  ou
ext
dEc
 P( Fext )
dt
II.2.3) Energie potentielle :
Energie potentielle de pesanteur : Ep 2  E p1  mg  z2  z1  Avec EP en J ; m en kg ; z en m.
Energie potentielle élastique : E p 2  E p 1 
Ressort de torsion : E p 2  E p 1 
1
 k   x22  x12  EP en J ; k en N.m-1. ; x en m.
2
1
 k   22  12  EP en J ; k en N.m.rad-1. ;  en rad.
2
II.2.4) Energie mécanique :
L’énergie mécanique d’un système énergétiquement isolé est égale à la somme de son énergie potentielle et de son
énergie cinétique.
EM  EC  EP  C
L’énergie mécanique se conserve donc:¨
Un système est énergétiquement isolé s’il n’échange aucune énergie avec le milieu extérieur.
te