dénombrement - Mathématiques

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DÉNOMBREMENT
LOIS DE PROBABILITÉ
A – Dénombrement
I – Utilisation de diagrammes, de tableaux, d’arbres
Exemples :
1. Un centre de loisirs accueille 100 enfants. Deux sports sont proposés : le football
et le tennis.
A la question : Aimez-vous le football ? 60 enfants lèvent la main.
A la question : Aimez-vous le tennis ? 45 enfants lèvent la main.
A la question : Aimez-vous le tennis et le football ? 18 enfants lèvent la main.
Combien d’enfants n’aiment aucun des deux sports ?
2. On s’intéresse à la présence, sur les véhicules d’un parc automobile, des trois
dispositifs de sécurité suivants : ABS, Air Bags, Correcteur de Trajectoire.
On sait que :
 7 véhicules ne sont munis d’aucun de ces dispositifs
 8 sont munis des trois
 tous les véhicules munis d’un correcteur de trajectoire sont munis aussi d’au
moins un autre dispositif de sécurité
 305 véhicules disposent de deux dispositifs de sécurité au moins
 298 véhicules disposent de l’ABS
 428 véhicules disposent d’Air Bags
 122 véhicules disposent des deux
 87 véhicules disposent de l’ABS et d’un correcteur de trajectoire.
Représenter ces données sur un diagramme.
Quel est le nombre total de véhicules de ce parc automobile ?
Quel est le nombre de véhicules de ce parc automobile disposant d’un et d’un seul
dispositif de sécurité ?
Quel est le nombre de véhicules de ce parc automobile disposant d’au plus un
dispositif de sécurité ?
3. La référence d’une cartouche d’encre est composée d’une lettre choisie dans
l’ensemble
A; H; S; T
et d’un chiffre de l’ensemble
1; 3; 5
.
Écrire et dénombrer toutes les références possibles.
4. Un restaurant propose à ses clients un menu qui se compose :
 d’une entrée à choisir parmi trois entrées possibles notées : E1, E2 et E3.
 d’un plat à choisir parmi quatre plats possibles : P1, P2, P3 et P4.
 d’un dessert à choisir parmi quatre desserts possibles : D1, D2, D3 et D4.
Combien un client peut-il composer de menus différents ?
Combien un client peut-il composer de menus comportant le plat P2 ?

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II – Combinaisons
1. La notation factorielle
Définition :
n est un entier supérieur ou égal à 1. Le nombre factorielle n, noté
n!
, désigne
le produit de tous les entiers naturels de 1 à n :
n ! n n 1 2 1.     
Par convention :
0 ! 1
.
Exemple :
5!
.
2. Combinaisons
Définition :
n et p désignent des entiers tels que 0  p  n et E est un ensemble à n
éléments.
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E à p éléments.
On la note
n
p
.
Exemples :
E a; b; c; d
. La partie
a; b
est une combinaison à 2 éléments de E. La partie vide
est la seule combinaison à 0 élément de E.
Écrire toutes les combinaisons de 2 éléments de E, puis toutes celles de 3 éléments
de E.
Compléter :
4
4444
,,,,
0 1 2 3 4
.
Exercices :
1. Parmi n personnes, on choisit un comité de p personnes et dans ce comité un
responsable.
Déterminer de combien de façons, on peut le faire en utilisant chacune des
méthodes suivantes :
a) on choisit d’abord le responsable ;
b) on choisit d’abord les p membres du comité.
2. a) En déduire que
n n 1
n
pp1
p
.
b) En appliquant plusieurs fois l’égalité précédente, démontrer que :
nn n 1 n p 1 n!
pp! p! n p !
.
Conclusion :
n et p désignent des entiers tels que 0  p  n.
nn!
pp ! n p !
.

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Exercices :
1. Au loto national, un joueur coche 6 numéros sur une grille où figurent les nombres
de 1 à 49.
a) De combien de façons le joueur peut-il remplir sa grille ?
b) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
E1 : « le tirage ne comporte que des nombres pairs » ;
E2 : « le tirage comporte les numéros fétiches de Donald : 15 et 7 » ;
E3 : « un même numéro (au moins) est dans les deux tirages de samedi prochain »
E4 : « choisir les six bons numéros »
2. Une urne contient 4 boules rouges et 5 boules vertes. On tire au hasard et
simultanément deux boules de l’urne et on note leur couleur.
a) Expliquer pourquoi une issue de l’expérience aléatoire peut être représentée par
une combinaison. Donner alors le nombre de cas possibles.
b) Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de couleur rouge.
c) Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de couleur différente.
3. Propriétés
Démontrer les propriétés suivantes :
a) Pour tous entiers n et p tels que 0  p  n,
nn
p n p
.
b) Pour tous entiers n et p tels que 0  p  n – 1,
n n 1 n1
pp
p1
.
Conséquence : le triangle de Pascal
On peut calculer les
n
p
de proche en proche à l’aide du tableau.
n \ p 0 1 2 3 4 5
0 1
1 1 = 1 =
2 1 = 2 = 1 =
3 1 = 3 = 3 = 1 =
4 1 = 4 = 6 = 4 = 1 =
5
4. La formule du binôme
Démontrer, par récurrence, que :
pour tous nombres réels (ou complexes) a et b et pour tout entier naturel n non nul,
n
nn k k
k0
n
a b a b
k
.

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Exercices :
a) Développer
5 x2
.
b) Calculer, en fonction de n,
n
k0
n
k
, pour tout n  1.
B – Lois de probabilité
I – Lois de probabilité discrètes
Dans toutes les situations étudiées jusqu’à présent, la variable aléatoire X prend un nombre
fini de valeurs. On dit que X est discrète.
1. Loi de Bernoulli
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux
issues appelées succès (noté S) et échec (noté
S
), de probabilités respectives p
et 1 – p.
La loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
issue
S
S
probabilité
p
1 – p
Exercice :
Une urne contient 70 boules rouges et 30 boules noires. On tire au hasard une boule
de l’urne.
Expliquer pourquoi cette expérience est une épreuve de Bernoulli.
On appelle succès « le tirage d’une boule rouge ». Donner la loi de probabilité.
2. Loi binomiale
Définitions :
a) Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques
dans des conditions d’indépendance.
b) Un schéma de Bernoulli est constitué de n épreuves indépendantes. X est la
variable aléatoire qui, à chaque liste de n résultats, associe le nombre de
succès.
c) La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de
paramètre n et p. Cette loi est notée B (n ; p).

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Propriétés :
a) Pour tout entier k, avec 0  k  n,
nk
k
n
P X k p 1 p
k
.(à démontrer)
b) L’espérance mathématique est
E X n p
et la variance
V X n p 1 p
.
(Propriété admise)
Exercices :
a) Une loterie consiste à faire tourner trois roues identiques. Ces roues sont divisées
en cinq parties égales dont une des parties est marquée « Gagné ».
Le joueur gagne si au moins une des roues s’arrête sur « Gagné ».
Expliquer pourquoi cette situation peut être modélisée par une loi binomiale.
Calculer la probabilité que le joueur gagne.
b) Un élève répond au hasard aux dix questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, cinq
réponses dont une seule est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de
bonnes réponses.
 Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale.
 Calculer la probabilité d’avoir au moins cinq bonnes réponses.
 Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.
II – Lois de probabilité continues (ou à densité)
Il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d’un
intervalle de  (borné ou non). On dit alors que la variable est continue. On s’intéresse à des
événements du type : « X est compris entre les réels a et b » soit « a  X  b ».
Exemples : le temps d’attente à un arrêt de bus, la durée de vie d’un transistor, la distance
du point d’impact au centre d’une cible ………… .
1. Loi de probabilité continue
Définition :
f est une fonction continue, positive sur un intervalle I = [a ; b] ou I = [a ; +[.
Soient c et d deux réels de I tels que c  d.
Dire que P est la loi de probabilité sur I de densité f signifie que :
 Si I = [a ; b],
d
c
P c ; d f(x) dx
et
b
a
P I f(x) dx 1
.
 Si I = [a ; +[,
d
c
P c ; d f(x) dx
,
t
a
t
P I lim f(x) dx 1
et
c
a
P c; 1 f(x) dx   
.
Remarque :
P a;b
est aussi noté P(a  X  b) et
P c; 
est noté P(X  c).
Propriétés :
a) La probabilité de la réunion d’un nombre fini quelconque d’intervalles de I disjoints
deux à deux est égale à la somme des probabilités de ces intervalles.
Ainsi, si J I , K I et J  K = , alors
P J K P J P K  
.