dénombrement - Mathématiques

DÉNOMBREMENT
LOIS DE PROBABILITÉ
A – Dénombrement
I – Utilisation de diagrammes, de tableaux, d’arbres
Exemples :
1. Un centre de loisirs accueille 100 enfants. Deux sports sont proposés : le football
et le tennis.
A la question : Aimez-vous le football ? 60 enfants lèvent la main.
A la question : Aimez-vous le tennis ? 45 enfants lèvent la main.
A la question : Aimez-vous le tennis et le football ? 18 enfants lèvent la main.
Combien d’enfants n’aiment aucun des deux sports ?
2. On s’intéresse à la présence, sur les véhicules d’un parc automobile, des trois
dispositifs de sécurité suivants : ABS, Air Bags, Correcteur de Trajectoire.
On sait que :
 7 véhicules ne sont munis d’aucun de ces dispositifs
 8 sont munis des trois
 tous les véhicules munis d’un correcteur de trajectoire sont munis aussi d’au
moins un autre dispositif de sécurité
 305 véhicules disposent de deux dispositifs de sécurité au moins
 298 véhicules disposent de l’ABS
 428 véhicules disposent d’Air Bags
 122 véhicules disposent des deux
 87 véhicules disposent de l’ABS et d’un correcteur de trajectoire.
Représenter ces données sur un diagramme.
Quel est le nombre total de véhicules de ce parc automobile ?
Quel est le nombre de véhicules de ce parc automobile disposant d’un et d’un seul
dispositif de sécurité ?
Quel est le nombre de véhicules de ce parc automobile disposant d’au plus un
dispositif de sécurité ?
3. La référence d’une cartouche d’encre est composée d’une lettre choisie dans
l’ensemble A; H ; S ; T et d’un chiffre de l’ensemble 1; 3; 5 .
Écrire et dénombrer toutes les références possibles.
4. Un restaurant propose à ses clients un menu qui se compose :
 d’une entrée à choisir parmi trois entrées possibles notées : E1, E2 et E3.
 d’un plat à choisir parmi quatre plats possibles : P1, P2, P3 et P4.
 d’un dessert à choisir parmi quatre desserts possibles : D1, D2, D3 et D4.
Combien un client peut-il composer de menus différents ?
Combien un client peut-il composer de menus comportant le plat P2 ?
1
II – Combinaisons
1.
La notation factorielle
Définition :
n est un entier supérieur ou égal à 1. Le nombre factorielle n, noté n ! , désigne
le produit de tous les entiers naturels de 1 à n : n !  n   n  1 
Par convention :
Exemple : 5! 
2.
 2  1.
0!  1 .

.
Combinaisons
Définition :
n et p désignent des entiers tels que 0  p  n et E est un ensemble à n
éléments.
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E à p éléments.
n
On la note   .
p
Exemples :
E  a ; b ; c ; d . La partie a ; b est une combinaison à 2 éléments de E. La partie vide
 est la seule combinaison à 0 élément de E.
Écrire toutes les combinaisons de 2 éléments de E, puis toutes celles de 3 éléments
de E.
4
 4
 4
 4
 4
Compléter :   
.
, 
, 
, 
, 
0
1 
2 
3 
4
Exercices :
1.
2.
Parmi n personnes, on choisit un comité de p personnes et dans ce comité un
responsable.
Déterminer de combien de façons, on peut le faire en utilisant chacune des
méthodes suivantes :
a) on choisit d’abord le responsable ;
b) on choisit d’abord les p membres du comité.
a)
b)
n  n n  1 
En déduire que    
.
 p p  p  1
En appliquant plusieurs fois l’égalité
 n  n n  1 n  p  1
n!
.

p 
p!
p! n  p  !
 
précédente,
démontrer
Conclusion :
n et p désignent des entiers tels que 0  p  n.
2
n
n!
.
 p 
  p ! n  p !
que :
Exercices :
1.
Au loto national, un joueur coche 6 numéros sur une grille où figurent les nombres
de 1 à 49.
a)
b)
2.
De combien de façons le joueur peut-il remplir sa grille ?
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
E1 : « le tirage ne comporte que des nombres pairs » ;
E2 : « le tirage comporte les numéros fétiches de Donald : 15 et 7 » ;
E3 : « un même numéro (au moins) est dans les deux tirages de samedi prochain »
E4 : « choisir les six bons numéros »
Une urne contient 4 boules rouges et 5 boules vertes. On tire au hasard et
simultanément deux boules de l’urne et on note leur couleur.
a)
Expliquer pourquoi une issue de l’expérience aléatoire peut être représentée par
une combinaison. Donner alors le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de couleur rouge.
Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de couleur différente.
b)
c)
3.
Propriétés
Démontrer les propriétés suivantes :
n  n 
Pour tous entiers n et p tels que 0  p  n,    
.
p n  p
 n   n  1  n  1
Pour tous entiers n et p tels que 0  p  n – 1,    

.
 p   p  1  p 
a)
b)
Conséquence : le triangle de Pascal
n 
On peut calculer les   de proche en proche à l’aide du tableau.
p
n
\
p
0
0
1
2
3
4
5
1
1
1=
1=
2
1=
2=
1=
3
1=
3=
3=
1=
4
1=
4=
6=
4=
1=
5
4.
La formule du binôme
Démontrer, par récurrence, que :
pour tous nombres réels (ou complexes) a et b et pour tout entier naturel n non nul,
n
n 
n
 a  b     ank bk .
k 0  k 
3
Exercices :
5
a)
Développer  x  2 .
b)
Calculer, en fonction de n,
n
n 
k 0
 
  k  , pour tout n  1.
B – Lois de probabilité
I – Lois de probabilité discrètes
Dans toutes les situations étudiées jusqu’à présent, la variable aléatoire X prend un nombre
fini de valeurs. On dit que X est discrète.
1.
Définition :
Loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux
issues appelées succès (noté S) et échec (noté S ), de probabilités respectives p
et 1 – p.
La loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
issue
S
probabilité
p
S
1–p
Exercice :
Une urne contient 70 boules rouges et 30 boules noires. On tire au hasard une boule
de l’urne.
Expliquer pourquoi cette expérience est une épreuve de Bernoulli.
On appelle succès « le tirage d’une boule rouge ». Donner la loi de probabilité.
2.
Définitions :
a)
Loi binomiale
Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques
dans des conditions d’indépendance.
b)
Un schéma de Bernoulli est constitué de n épreuves indépendantes. X est la
variable aléatoire qui, à chaque liste de n résultats, associe le nombre de
succès.
c)
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de
paramètre n et p. Cette loi est notée B (n ; p).
4
Propriétés :
n
nk
a) Pour tout entier k, avec 0  k  n, P  X  k     pk 1  p  .(à démontrer)
k
 
b) L’espérance mathématique est E  X   n p et la variance V  X   n p 1  p  .
(Propriété admise)
Exercices :
a) Une loterie consiste à faire tourner trois roues identiques. Ces roues sont divisées
en cinq parties égales dont une des parties est marquée « Gagné ».
Le joueur gagne si au moins une des roues s’arrête sur « Gagné ».
Expliquer pourquoi cette situation peut être modélisée par une loi binomiale.
Calculer la probabilité que le joueur gagne.
b) Un élève répond au hasard aux dix questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, cinq
réponses dont une seule est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de
bonnes réponses.
 Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale.
 Calculer la probabilité d’avoir au moins cinq bonnes réponses.
 Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.
II – Lois de probabilité continues (ou à densité)
Il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d’un
intervalle de  (borné ou non). On dit alors que la variable est continue. On s’intéresse à des
événements du type : « X est compris entre les réels a et b » soit « a  X  b ».
Exemples : le temps d’attente à un arrêt de bus, la durée de vie d’un transistor, la distance
du point d’impact au centre d’une cible ………… .
1.
Loi de probabilité continue
Définition :
f est une fonction continue, positive sur un intervalle I = [a ; b] ou I = [a ; +[.
Soient c et d deux réels de I tels que c  d.
Dire que P est la loi de probabilité sur I de densité f signifie que :

Si I = [a ; b], P   c ; d   

Si I = [a ; +[,


P  c ;     1 
Remarque :


d
c
f(x) dx et P  I  
 
P  c ; d  

c
a
d
c
f(x) dx ,

b
a
f(x) dx  1 .
P  I   lim
t

t
a
f(x) dx  1
et
f(x) dx .
P a ; b est aussi noté P(a  X  b) et P c ;    est noté P(X  c).
Propriétés :
a) La probabilité de la réunion d’un nombre fini quelconque d’intervalles de I disjoints
deux à deux est égale à la somme des probabilités de ces intervalles.
Ainsi, si J I , K I et J  K = , alors P  J  K   P  J   P K  .
5
b) La probabilité que X prenne une valeur isolée de I est nulle. En effet, pour tout
réel a de I :
P  X  a   P a ; a   f(x) dx  0 .
a
a
c) On en déduit que, pour tous réels a et b de I, avec a  b :
P a ; b  P a ; b   P   a ; b  P   a ; b  , etc.


d) Si a ; b désigne le complémentaire de a ; b dans I, alors P a ; b  1  P a ; b .
e) Si J et K sont des intervalles inclus dans I avec P K   0 , alors PK  J  
2.
P J  K 
P K 
.
Exemples de lois de probabilité continues
2.1
Loi de durée de vie sans vieillissement
Cette loi s’appelle aussi loi exponentielle de paramètre
.
Définition :
Soit un réel strictement positif.
On appelle loi de durée de vie sans vieillissement la loi de probabilité dont la
densité f est la fonction définie sur [0 ; + [ par f (x)  ex .
Exemple :
La durée de vie, exprimée en années, d’un noyau radioactif ou d’un composant électronique
est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.
Exercices :
1.
On suppose que la durée d’une conversation téléphonique, mesurée en minutes, est la
1
variable exponentielle de paramètre
. Vous arrivez à une cabine téléphonique et, juste
10
à ce moment précis, une personne passe devant vous.
a) Quelle est la probabilité que vous attendiez plus de dix minutes ?
b) Quelle est la probabilité que vous attendiez entre dix et vingt minutes ?
2. Une variable aléatoire X a une loi de probabilité exponentielle de paramètre
[0 ; + [.

sur
Calculer une valeur approchée de  sachant que la probabilité pour que X soit inférieure à
70 est égale à 0,05.
3. La durée de vie X (en heures) d’un composant électronique a été modélisée par la loi
exponentielle de paramètre 0,000 6 sur [0 ; + [.
a) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de
vie inférieure à 1 000 heures ? Donner la réponse avec un pourcentage arrondi au
centième.
6
b) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en
état de marche au bout de 500 heures ? Donner la réponse avec un pourcentage
arrondi au centième.
2.2
Loi uniforme sur [0 ; 1]
Définition :
On appelle loi uniforme sur [0 ; 1] la loi de probabilité dont la densité f est la
fonction constante égale à 1 sur [0 ; 1].
Propriétés :
a)
Soit P la loi uniforme sur [0 ; 1]. Si I et J sont des sous - intervalles de même
amplitude alors P  I   P  J  .
b)
Si X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0 ; 1] alors E  X  
1
.
2
Exercice :
On choisit un réel au hasard entre 0 et 1.
1
1
et
?
8
6
b) Quelle est la probabilité que le premier chiffre après la virgule soit impair en
sachant qu’il est supérieur à 0,7 ?
a) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre compris entre
C – Adéquation de données à une loi équirépartie
Remarque :
Une loi équirépartie est une loi uniforme d’une variable aléatoire X qui peut prendre n
valeurs de telle sorte que la probabilité soit la même pour chacune de ces n valeurs.
Problème :
Un joueur veut vérifier si le dé qu’il possède est « normal », c’est-à-dire bien
équilibré.
On sait que, dans ce cas-là, la loi de probabilité associée est la loi uniforme :
1
P 1  P 2  P 3  P 4  P 5  P 6  .
6
Pour cela, le joueur lance 200 fois le dé et note les résultats obtenus :
xi
ni
fi
1
31
0,155
2
38
0,190
3
40
0,200
7
4
32
0,160
5
28
0,140
6
31
0,155
Pour savoir si la distribution de fréquences obtenue est « proche » de la loi uniforme, on
calcule la quantité suivante, qui prend en compte l’écart existant entre chaque fréquence trouvée et
la probabilité théorique attendue :
2
2
2
2
2
2
1 
1 
1 
1 
1 
1

d2   0,155     0,19     0,2     0,16     0,14     0,155    0, 00268 .
6
6
6
6
6
6

 
 
 
 
 

Mais rien ne permet de dire pour l’instant si cette quantité trouvée est « petite » ou
« grande ». En effet, elle est soumise à la fluctuation d’échantillonnage, puisque sa valeur varie
d’une série de lancers à l’autre. On va donc étudier cette fluctuation d’échantillonnage pour convenir
d’un seuil entre « petite » et « grande » valeur de d² lorsqu’on lance 200 fois un dé. Pour cela, on
génère des séries de 200 chiffres au hasard pris dans 1; 2; 3; 4 ; 5 ; 6 . Les résultats trouvés pour
le nombre d² à partir de 1 000 simulations sont résumés par le tableau suivant :
Minimum
0,00363
D1
0,00138
Q1
0,00233
Médiane
0,00363
Q3
0,00555
D9
0,00789
Maximum
0,01658
Le neuvième décile de la série des valeurs simulées de d² est 0,00789.
Cela signifie que 90 % des valeurs de d² obtenues au cours de ces 1 000 simulations sont
dans l’intervalle [0 ; 0,00789]. Comme la valeur observée de d² est inférieure à cette valeur seuil
de 0,00789, on peut convenir que le dé est équilibré avec un risque de 10 %.
En effet, en utilisant cette méthode sur les données simulées, on se serait trompé dans 10 %
des cas. On dit que l’on a un seuil de confiance de 90 %.
Exercices :
1. Dans une maternité, on a noté pendant un an l’heure de chaque naissance. Les
nombres de naissances entre 0 h et 1 h, entre 1 h et 2 h, …, sont respectivement 96,
126, 130, 125, 124, 129, 115, 89, 118, 97, 95, 108, 98, 97, 109, 95, 115, 108,
90, 104, 103, 112, 113, 128.
Tester, au seuil de risque de 10 %, si une naissance se produit avec la même
probabilité dans l’une des 24 heures.
Au cours de 2 000 simulations de cette expérience, on a calculé le nombre d², somme
des carrés des écarts entre les fréquences observées et les fréquences théoriques.
Voici les résultats pour la série statistique des valeurs de 104. d² :
Minimum
0,6
D1
16,9
Q1
23,2
Médiane
25,8
Q3
32,1
D9
36,5
Maximum
61
2. On veut tester si une pièce de monnaie est truquée ou non. Pour cela, on la lance
100 fois. On obtient 59 fois « pile » et 41 fois « face ». Au seuil de risque 10 %, peuton dire que cette pièce est truquée ?
Au cours de 1 000 simulations de cette expérience, on a calculé le nombre d², somme
des carrés des écarts entre les fréquences observées et les fréquences théoriques.
Voici les résultats pour la série statistique des valeurs de d² :
Minimum
0,002
D1
0,003
Q1
0,005
Médiane
0,008
8
Q3
0,011
D9
0,013
Maximum
0,014