Académie de Rouen Académie de Rouen - Document pédagogique ETABLISSEMENT ............................................................................. ............................................................................. ............................................................................. SITUATION Formation DOMAINE Maths NIVEAU : Cycle d’orientation TITRE : TRIGONOMETRIE Compétences mises en œuvre Code de la compétence T2 E1 Objectifs atteints Intitulé exact de la compétence Donner une valeur numérique du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle donné. T2 E2 Donner l'angle à partir de son sinus, de son cosinus ou de sa tangente. T2 T11 Calculer, dans un triangle rectangle, la mesure d'un angle. T2 T12 Calculer, dans un triangle rectangle, la mesure d'un côté de l'angle droit. T2 T13 Calculer, dans un triangle rectangle, la mesure de l'hypoténuse.. T2 CH1 Ecrire la formule trigonométrique appropriée. Critères de réussite Exercice Compétence Critères Situation d’évaluation : Consignes de passation Situation de formation : Compétences visées En situation de synthèse En situation de recherche En grand groupe En petits groupes Activités des élèves En travail individuel Nombre de séquences et durée : 5 séquences de 1 heure 30 à 1 heure 45. Durée : 2 semaines. Déroulement proposé et documents utilisés : Séquence 1 : Il s'agit de découvrir, à travers les exercices du Document n°1, les notions de sinus, cosinus et tangente. La Fiche 1 est élaborée avec les élèves. Durée : 1 heure 45. Séquence 2 : Il s'agit, à travers les exercices du Document n°2, de vérifier si les élèves ont bien compris les notions abordées précédemment ( calculs du sinus, du cosinus et de la tangente, utilisation correcte de la table de trigonométrie ). Durée : 1 heure 30. Séquence 3 : Les élèves effectuent la Fiche 2 et peuvent s'aider de la Fiche 1. -reconnaître, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent à l'angle considéré et calculer le sinus, le cosinus et la tangente. -nommer, d'après un schéma, les éléments connus, indiquer la formule utilisée ( Pythagore ou la trigonométrie )et effectuer le calcul demandé. Durée : 1 heure 30. Séquence 4 : Les élèves effectuent la Fiche 3 et peuvent s'aider de leurs documents. Il s'agit d'appliquer la méthode utilisée lors de la fiche précédente ( recherche des éléments connus, de la bonne formule et calcul ) à travers deux situations concrètes. Durée : 1 heure 45. Séquence 5 : Les élèves effectuent la Fiche 4, sans aide. -utilisation de la table de trigonométrie pour donner l'angle ou son sinus……. -calcul d'un angle connaissant deux côtés du triangle rectangle -calcul d'un côté connaissant un autre côté et un angle du triangle rectangle Durée : 1 heure 30. T2 T2 T2 T2 T2 T2 E1 E2 T11 T11 T13 CH1 pour tous les exercices Document n°1 1- a ) Construis un angle = 30° ( lettre grecque qu'on lit "alpha" ). Place des points A, B, C, D comme le montre la figure ci-contre. Mesure les longueurs des segments obtenus. Calcule les rapports : A C O B D AB = OA CD = OC Que remarques-tu? …………………………………………………………………………………………………………………………………… b )Recommence les mêmes calculs avec un angle = 45°. Quelle règle peut-on écrire? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2- Reprends la construction de l'exercice 1 avec un angle = 30°, puis avec un angle = 60°. Calcule les rapports : OB = OA OB = OA OD = OD = OC OC Quelle règle peut-on écrire? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3- Reprends à nouveau la construction de l'exercice 1 avec un angle = 30°, puis avec un angle = 45°. Calcule les rapports : AB = AB = CD = CD = OB OD OB OD Quelle règle peut-on écrire? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… Dans tous les exercices, les figures sur lesquelles tu as effectué les calculs étaient les mêmes. De quelle figure s'agit-il? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… Les règles que tu as trouvées ne sont valables que dans cette figure géométrique. Fiche 1 : Trigonométrie Sinus d'un angle Dans l'exercice 1 a), on a AB = CD = 0,5 quelle que soit la position des points. OA OC De même dans l'exercice 1 b), on a AB = CD = 0,7 quelle que soit la position. OA OC Dans le triangle OAB, [AB] est le côté opposé à l'angle et [OA] l'hypoténuse. Dans le triangle OCD, [CD] est le côté opposé à l'angle et [OC] l'hypoténuse. Le rapport mesure du côté opposé à l'angle est constant. mesure de l'hypoténuse On appelle ce rapport sinus de l'angle . On écrit sinus = AB ou sin = AB OA OA sin = côté opposé hypoténuse Cosinus d'un angle Dans l'exercice 2 pour = 30°, on a OB = OD = 0,86 quelle que soit la position des points. OA OC De même pour = 60°, on a OB = OD = 0,5 quelle que soit la position. OA OC Dans le triangle OAB, [OB] est le côté adjacent à l'angle et [OA] l'hypoténuse. Dans le triangle OCD, [OD] est le côté adjacent à l'angle et [OC] l'hypoténuse. Le rapport mesure du côté adjacent à l'angle est constant. mesure de l'hypoténuse On appelle ce rapport cosinus de l'angle . On écrit cosinus = OB ou OA cos = AB OA cos = côté adjacent hypoténuse Tangente d'un angle Dans l'exercice 3 pour = 30°, on a AB = CD = 0,57 quelle que soit la position des points. OB OD De même pour = 45°, on a AB = CD = 1 quelle que soit la position. OB OD Dans le triangle OAB, [AB] est le côté opposé à l'angle et [OB] le côté adjacent. Dans le triangle OCD, [AD] est le côté opposé à l'angle et [OD] le côté adjacent. Le rapport mesure du côté opposé à l'angle mesure du côté adjacent à l'angle est constant. On appelle ce rapport tangente de l'angle . On écrit tangente = AB ou tg = AB OB OB tg = côté opposé côté adjacent côté opposé hypoténuse côté adjacent angle considéré Pour faciliter la recherche : -d'un angle connaissant son sinus, son cosinus ou sa tangente -du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle donné on utilise une table trigonométrique. ( voir document annexe ) Pour utiliser la table de trigonométrie, il faut bien faire attention : au sens de lecture ( ou ). TABLE TRIGONOMETRIQUE Degrés Cosinus Sinus Tangente 0 1 2 3 4 5 1,000 1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 57,29 28,63 19,08 14,30 11,43 90 89 88 87 86 85 6 7 8 9 10 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,105 0,123 0,141 0,158 0,176 9,514 8,144 7,115 6,314 5,671 84 83 82 81 80 11 12 13 14 15 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,194 0,213 0,231 0,249 0,268 5,145 4,705 4,331 4,011 3,732 79 78 77 76 75 16 17 18 19 20 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,287 0,306 0,325 0,344 0,364 3,487 3,271 3,078 2,904 2,747 74 73 72 71 70 21 22 23 24 25 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,384 0,404 0,424 0,445 0,466 2,605 2,475 2,356 2,246 2,145 69 68 67 66 65 26 27 28 29 30 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,488 0,510 0,532 0,554 0,577 2,050 1,963 1,881 1,804 1,732 64 63 62 61 60 31 32 33 34 35 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,601 0,625 0,649 0,675 0,700 1,664 1,600 1,540 1,483 1,428 59 58 57 56 55 36 37 38 39 40 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,727 0,754 0,781 0,810 0,839 1,376 1,327 1,280 1,235 1,192 54 53 52 51 50 41 42 43 44 45 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707 0,656 0,669 0,682 0,695 0,707 0,869 0,900 0,933 0,966 1,000 1,150 1,111 1,072 1,036 1,000 49 48 47 46 45 Sinus Cosinus Tangente Degrés Document n°2 1- a)Soit le triangle ABC rectangle en A. On donne [AB] = 6 cm, [AC] = 8 cm et [BC] = 10 cm. B Calcule sin B et sin C. En déduire les angles B et C ( à 1° près ) en s'aidant de la table trigonométrique. A C b)Soit un triangle DEF rectangle en D. On donne [DE] = 50 mm, [DF] = 120 mm, [EF] = 130 mm. Calcule sin E et sin F. En déduire les angles E et F ( à 1°près ). 2- a)Soit le triangle ABC rectangle en A. On donne B [AB] = 780 mm [AC] = 270 mm [BC] = 825 mm. Calcule cos B et cos C. En déduire les angles B et C ( à 1° près ). b) Soit un triangle DEF rectangle en D. On donne [DE] = 15 cm, [DF] = 26 cm et [EF] = 30 cm. Calcule cos E et cos F. En déduire la valeur des angles E et F ( à 1° près ). A C 3- Complète les tableaux suivants ( précision à 1° près ) en utilisant la table trigonométrique : a) sin 0,643 0,966 cos 0,961 0,629 tg 0,268 1,111 b) 12° 87° sin 25° 72° cos 84° 38° tg c) = 32° = 49° = 14° sin = 0,927 tg = 1,482 cos = 0,927 = = = Tout au long de ces 3 exercices , tu as utilisé la table trigonométrique. Explique comment il faut faire pour lire la bonne réponse dans cette table : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Fiche 2 1- B F D A E C Pour ABC triangle rectangle : Pour DEF triangle rectangle : *l'hypoténuse est : ………………… *l'hypoténuse est : ………………… *le côté opposé à A est : ………………… *le côté opposé à D est : ………………… *le côté adjacent à A est : ………………… *le côté adjacent à D est : ………………… donc : donc : cos A = …………………………………………………….. sin D = …………………………………………………….. sin A = …………………………………………………….. tg D = …………………………………………………….. 2- a)nomme les éléments connus : ……………………………………………………………………. R b)précise si on utilise Pythagore ou la trigonométrie : 4 cm A ……………………………………………………………………. 6 cm K c)détermine la longueur du segment RK ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. 3- a)nomme les éléments connus : ……………………………………………………………………. 40° I b)précise si on utilise Pythagore ou la trigonométrie : K 5 cm ……………………………………………………………………. R c)détermine la longueur du segment RK ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. 4- B A D Complète le tableau suivant après avoir pris les mesures : [AB] Calcule le rapport [AD] [BD] D AD : BD Que représente ce rapport?……………………………………………………………………………………………. Que représente [BD] pour le triangle ABD?………………………………………………………………… Que représente [AD] pour l'angle D?……………………………………………………………………………. Fiche 3 1- Le dessin représente une échelle appuyée contre un mur. La longueur de l'échelle est de 6 m. L'écartement entre le pied de l'échelle et le mur est de 2,25 m. Pour une bonne sécurité, l'angle doit avoir une valeur d'au moins 20°. Est ce que cette échelle correspond à cette norme de sécurité? Pour répondre, travaille avec méthode. Dans le triangle ABC formé : -nomme les éléments connus. -considère les positions des côtés par rapport à l'angle . -recherche parmi le sinus, le cosinus, la tangente, le rapport qui convient. -écris ce rapport avec les côtés. -remplace par les valeurs données : il doit rester une donnée inconnue. -effectue le calcul pour la retrouver. B A C 2- On veut déterminer la hauteur du clocher d'une église. L'appareil de visée est placé à 42 m de l'axe du clocher. Il indique un angle de 40°. a) Calcule la hauteur du clocher, en considérant le triangle rectangle formé et en utilisant la même méthode que dans l'exercice 1. b) A quelle distance du sommet du clocher se trouve l'appareil de visée? = 40° D 42 m F Fiche 4 1- En utilisant la table trigonométrique, trouve : -les valeurs suivantes : sin 38°; cos 57°; tg 83°; cos 11°; sin 67° -les angles correspondant aux valeurs suivantes : sin = 0,292; tg = 0,445; cos = 0,990; tg = 1,540; sin = 0,809 2- Soit le triangle ABC rectangle en A. B On donne [AB] = 25 mm et [AC] = 35 mm. Calcule l'angle C ( à 1° près ). 3- Soit le triangle ABC rectangle en A. A C B On donne B = 65° et [BC] = 75 mm. Calcule la longueur de [AB] ( à 1 mm près ). 4- Le triangle RST est rectangle en R. A C [ST] = 48 mm et l'angle TSR est 31°. T R S Calcule [RS] au centième de mm près. Calcule [RT] au centième de mm près. 5- Le triangle MNP est rectangle en M. [MN] = 59 mm et l'angle PNM mesure 38°. P M Calcule [MP] au centième de mm près. N