Sujet 4 : Asie - Ecole sur le Web

Sujet 4 : Asie :
Juin 2004 :
Exercice : [3 points, 30 min]
 QCM.
À chacune des trois affirmations suivantes, répondre par « VRAI » ou par « FAUX ».
Aucune justification n'est demandée.
Données
Affirmations
Réponses
f est la fonction définie sur
l'ensemble IR des nombres
réels par
x
e
xf  11
, C est
la courbe représentative de f
dans un repère du plan.
La tangente à C au point d'abscisse 0 est
parallèle à la droite d'équation
xy 4
1
.
G est le barycentre du système de
points pondérés :
4;,1;,1; CBA
L'application du plan dans lui-même qui à
tout point M associe le point M ' tel que
  MCMBMAMM 4'
, est une
homothétie de rapport -3 .
xxxf 3sin
Les solutions de l'équation
xxf 2
1
sont : 0,
3
2
18
k
ou
3
'2
18
5
k
; k et k’
sont des entiers relatifs.
Le barème est le suivant :
• Réponse exacte : 1 point
• Réponse fausse : -0,5 point
• Absence de réponse : 0 point.
• La note attribuée à l'exercice ne peut être négative.
Exercice : (obligatoire) [5 points, 50 min]
 Transformation du plan complexe.
 Construction géométrique.
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct
21,; eeO 
, unité
graphique 1 cm.

Soit A le point d'affixe 3i. On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z, distinct
de A, associe le point M' d'affixe z' définie par :
iz
iz
z373 '
1) Recherche des points invariants par f
a) Développer
iziz  7
[0,5 pt]
b) Montrer que f admet deux points invariants B et C dont on précisera les affixes et
qu'on placera sur un dessin. [0,5 pt]
2) On appelle le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de distinct de
B et de C, soit M' son image par f.
a) Justifier que l'affixe z de M vérifie
i
eiz 43 
où est un nombre réel. [1 pt]
b) Exprimer l'affixe z' de M' en fonction de et en déduire que M' appartient aussi à
. [1 pt]
c) Démontrer que
zz '
et en déduire, en la justifiant, une construction
géométrique de M'. [1 pt]
3) On considère un cercle de centre A, de rayon
0r
. Déterminer l'image de ce cercle par f.
[1 pt]
Exercice : (spécialité) [5points, 50 min]
 Arithmétique.
On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme
²9 a
où a est un entier naturel non nul ; par exemple
2
1910 
;
2
2913 
, etc...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des
puissances de 2, 3 ou 5.
1) Étude de l'équation d'inconnue a :
n
a29
2
où
INa
,
INn
,
4n
.
a) Montrer que si a existe, a est impair. [0,5 pt]
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
[0,5 pt]
2) Étude de l'équation d'inconnue a :
n
a39
2
où
INa
,
INn
,
3n
a) Montrer que si
3n
,
n
3
est congru à 1 ou à 3 modulo 4. [0,5 pt]
b) Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
[0,5 pt]
c) On pose
pn 2
où p est un entier naturel,
2p
. Déduire d'une factorisation de
2
3a
n
, que l'équation proposée n'a pas de solution. [1 pt]
3) Étude de l'équation d'inconnue a :
n
a59
2
où
INa
,
INn
,
2n
.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.
[1 pt]
b) On pose
pn 2
, en s'inspirant de 2)c) démontrer qu'il existe un unique entier
naturel a tel que
9
2a
soit une puissance entière de 5. [1 pt]

Exercice : [4 points, 40 min]
 Géométrie dans l’espace.
L'espace E est rapporté au repère orthonormal
kjiO 
 ;,;
.
On appelle P le plan d'équation
052  yx
et P’ le plan d'équation
03  zyx
.
1) Montrer que P et P’ sont sécants en une droite D dont une représentation
paramétrique est :
55
52
z
y
x
où est un nombre réel. [2 pts]
2) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos
réponses :
 Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d'équation
055  zyx
.
Soit S' la droite de l'espace de représentation paramétrique :
22
1
3
z
y
x
où est un nombre réel.
 Affirmation 2 : D et D’ sont coplanaires. [2 pts]
Exercice : [8 points, 1h20min]
 Fonction logarithme.
 Suite.
 Approximation d’un nombre réel.
Partie A - Étude d'une fonction f :
On appelle f la fonction définie sur l'intervalle
 ;
2
1
I
par :
xxf 21ln 
.
1) Justifier que f est strictement croissante sur l'intervalle I. [0,5 pt]
2) Déterminer la limite de
xf
quand x tend vers
2
1
. [0,5 pt]
3) On considère la fonction g définie sur l'intervalle I par
xxfxg 
.
a) Étudier les variations de g sur l'intervalle I. [0,5 pt]
b) Justifier que l'équation
0xg
admet deux solutions : 0 et une autre, notée ,
appartenant à l'intervalle
2;1
. [1 pt]
c) En déduire le signe de g(x) , pour x appartenant à l'intervalle I. [0,5 pt]
4) Justifier que pour tout réel x appartenant à l'intervalle
;0
,
xf
appartient aussi à
;0
. [0,5 pt]
Partie B - Étude d'une suite récurrente :

On appelle
0n
n
u
la suite définie par
nn ufu  1
et
1
0u
.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
n
u
appartient à
;0
. [0,5 pt]
2) Démontrer par récurrence que la suite
0n
n
u
est croissante. [0,5 pt]
3) Justifier que la suite
0n
n
u
est convergente. [0,5 pt]
Partie C - Recherche de la limite de la suite
0n
n
u
:
1) Montrer que pour tout réel
1x
,
3
2
'xf
. [0,5 pt]
2) Recherche de la limite de la suite
0n
n
u
.
a) Démontrer que pour tout entier naturel n,
n
un
udttf 3
2
'
. [0,5 pt]
b) En déduire que pour tout entier naturel n,
nn uu  
3
2
1
, puis à l'aide d'un
raisonnement par récurrence que
n
n
u  3
2
0
. [0,75 pt]
c) Quelle est la limite de la suite
0n
n
u
? [0,25 pt]