Chapitre 17

MPSI
Chapitre 17
OSCILLATIONS MÉCANIQUES FORCÉES
17-1 Oscillateur harmonique soumis à des frottements fluides et à une force excitatrice sinusoïdale
On considérera dans ce chapitre un point matériel M, de masse m, mobile sur un axe Ox., soumis à :

- une force de rappel (due à un ressort parfait) – k x u x ,
 
- une force de frottement fluide (ou "frottement visqueux") du type –  x u x , c'est à dire proportionnelle à
la vitesse de M,

- une "force excitatrice" : f u x . On n'étudiera que le cas où la force excitatrice est une fonction sinusoïdale
de la date soit : f = F cos(t + ) .


L'élongation, ou abscisse de M est donc solution de l'équation différentielle : m x   k x   x  f


soit : m x  k x   x  f .
La solution de l'équation différentielle est la somme de la solution générale de l'équation sans second
membre, soit xT, et d'une solution particulière de l'équation complète, soit xP. Les constantes d'intégration
intervenant dans xT étant déterminées par les conditions initiales (mais, bien sûr en utilisant l'expression
complète x = xT + xP).
La solution de l'équation sans second membre xT peut prendre différentes formes, comme on l'a vu au
12-3 : régime apériodique, critique ou pseudopériodique, suivant l'importance de l'amortissement. Dans tous
les cas, lim ( x T )  0 , du fait de la présence d'exponentielles décroissantes...
t 
On a vu, en électrocinétique, qu'une solution particulière de ce type d'équation est sinusoïdale, de
même pulsation  que le second membre de l'équation différentielle, soit xP = X cos(t + ).
Au bout d'un temps plus ou moins long, on peut faire l'approximation x = xP. L'oscillateur est alors en
régime sinusoïdal permanent.
On ne cherchera ici que la solution particulière sinusoïdale, c'est-à-dire l'amplitude et le déphasage de
x par rapport à f, en régime sinusoïdal permanent.
17-2 Recherche de l'amplitude et du déphasage en régime sinusoïdal permanent
On peut mettre l'équation différentielle sous l'une de ses formes canoniques en posant :


(coefficient d'amortissement) et 0 
2m
k
(pulsation propre).
m


x  2 x  0 x 
2
f
m

0 
f
m 0
km
k
2
x

x  0 x 


(facteur de qualité).
Q
m


0
La résolution utilise la même méthode qu'en électrocinétique : on associe à chaque grandeur fonction
sinusoïdale du temps une "grandeur complexe associée" :
x  X exp i (t  )  X exp( i t ) avec X  X exp( i ) (amplitude complexe de l'élongation).
f  Fexp i (t  )  Fexp(i t) avec F  Fexp( i ) (amplitude complexe de l'abscisse de la force
excitatrice).

 
f
2
x est donc solution de l'équation différentielle complexe associée : x  0 x  0 x 
donc x est
Q
m

f
2
solution de l'équation algébrique complexe : (i ) 2 x  (i ) 0 x  0 x 
soit, en divisant par exp(i t)
Q
m
ou Q 
F
les deux membres :   2 X  i
0
F
2
X  0 X 
donc X 
Q
m
m
0    i
2
2
 0
Q
.
F
m
On en déduit l'amplitude de l'élongation : X 

2
0


2 2
 0
 
 Q



2
et le déphasage de
l'élongation par rapport à l'abscisse de la force excitatrice :  –  =  :




0
0
 . Si  > 0 :      Arc tan 

Si  < 0 :   Arc tan 
2 
2
 Q( 2   2 ) 
Q
(



)
0
0




F
On constate que si  = 0, X prend la valeur X 0 
et  = 0.
2
m 0

Si  = 0,  =  . Si   , X  0 et   – 
2
17-3 Résonance d'élongation
17-3-1 Pulsation à la résonance, amplitude de l'élongation à la résonance

L'amplitude de l'élongation est maximale si 0  
2

2 2
2
 0 
 
 est minimal donc si sa dérivée par
 Q 

  )  2 02  0 donc pour  = 0, et éventuellement pour :
Q
2
rapport à  est nulle : 2(2)(0
2
2

1
– 2 0 + 2  + 02  0 soit   0 1 
.
2Q 2
Q
2
2
2
Il n'y a donc résonance d'élongation que si Q 
inférieure à la pulsation propre  R   0 1 
XR 
F
2
m 0
1
2
et la pulsation à la résonance est
1
. L'amplitude à la résonance d'élongation est donc :
2Q 2
soit X M  X R 
QX 0
si Q 
1
, sinon XM =X0.
1
2
1 

1
2
1

4Q 2

1  
2Q 2 
1  1 


2Q 2   Q 2 





On remarque que XR est une fonction croissante de Q et que si Q  , R  0 et XM  .
1
D'autre part, de l'expression de R, on tire Q 2 
et en reportant dans l'expression de
   2 
21   R  
  0  


X0
XM, après simplification, on obtient X M 
. L'équation de la courbe sur laquelle se trouvent les
4
 
1   R 
 0 
maxima de X est donc X 
X0
 
1  
 0



4
.
17-3-2 Variables réduites, tracés
Pour les tracés, on utilise les variables réduites :  

2 
2 2
On a alors :    (1   )  2 
Q 


1
2
et  M 
X

et  
.
X0
0
Q
1
1
4Q 2
 1
1
=  2 
4Q 4
Q

4
Les maxima de  sont sur la courbe d'équation   1  


1
2




1
2
.








1
1



 – . On pourrait encore
Si  < 1 :   Arc tan
. Si  > 1 :   Arc tan
 


1
1 

 Q    
 Q    


 
 
 1
 
démontrer que dans tous les cas   Arc tan  Q      (voir 17-4).
 2
 

X
X0
M
C
Q=4
Q=2
Q=1
Q  1/ 2
1/ 2
Q=1/4
1
2


0


-90
-180
Les tracés pour  correspondent aux mêmes valeurs de Q que ceux de .

0
17-3-3 Bande passante (à – 3 dB)

 
, M = 1 donc à la coupure (unique)  (1   2 ) 2  2 
Q 
2

1
Pour Q 
C  1 
2
1
2

1
2

1
2
 2 . On obtient :
1
1
1
 2 2 
2
2Q
Q
4Q 4
M
 2
1
  2 
Pour Q 
, les coupures correspondent à  C 
2Q 4
2 Q
2
2
2
1
2 2
coupures sont donc solutions de l'équation (1   )  2  2 
Q
Q
2Q 4
résultats suivants :
1
Si Q  1 
Si

1
2
1
2
il y a deux coupures, pour  C  1 
 Q  1
1
2

1
 2
 , les pulsations réduites aux

dont la résolution donne les
1
1
1


.
2
2
2Q
Q
4Q 4
, il n'y en a qu'une, pour  C  1 
1
1
1


.
2
2
2Q
Q
4Q 4
1
, C = 1 (donc C = 0).
2
On remarque aussi que si Q est très grand, les pulsations réduites aux coupures sont obtenues avec
1
1
1
1
des développements limités : 1 ~ 1  ~ 1 
et 1 ~ 1  ~ 1 
. La bande passante est donc,
Q
2Q
Q
2Q
On remarque que pour Q =

N


1
ou, en pulsation :   0 
et Q  0  0
 N
Q m
Q
en pulsation réduite :  
17-4 Résonance de vitesse
f
m
On a vu que x 

0   2  i
2
0
Q
QF
m0
Q

(en multipliant haut et bas par
).

1


i

2
0
0
 i
1  iQ    
Q


i
déduit que V = i  X soit V 
0
2
. En posant v = x : abscisse de la vitesse, on a : v = i x et on en
F
m
L'amplitude de la vitesse est V 
QF
m0
1

1  Q2    


2
. Elle est maximale pour  = 1 soit   0 , il
y a alors résonance de vitesse.
À la résonance de vitesse, l'amplitude de la vitesse est VM 
QF
.
m0
Aux coupures, elle est VC 

1
1
  , soit 2

Q
2 

VM

1  0
Q
2
donc les pulsations de coupure sont données par l'équation
dont les solutions positives sont 1  
1
1

 1 et
2Q
4Q 2
1
1

 1 . La bande passante, pour l'amplitude de la vitesse, en pulsation réduite est donc
2Q
4Q 2

N
1
, ou en pulsation :   0 , ou en fréquence : N  0 . Le facteur de qualité exprime donc
Q
Q
Q

N
l'acuité de la résonance de vitesse : Q  0  0 .
 N
 
La courbe de résonance de vitesse peut être tracée avec les variables réduites  et  

1
2
1

Q2      1


V
, son équation est
VM
et le déphasage de l'abscisse v de la vitesse par rapport à celle de la force excitatrice
 1


f est   Arc tan  Q     . (On remarque que v = i  x donc que v est déphasé de
par rapport à x,
2

 


ce qui justifie l'expression de  au 17-3-2). Aux coupures on a 1 =
et 2 = –
.
4
4

V
VM
1/ 2
1
2


0
Les tracés pour  et  correspondent aux mêmes valeurs de Q que ceux de  au 17-3-2.
V
Le tracé effectué pour  est trompeur car VM est proportionnel à Q donc  
ne donne pas une idée
VM
claire des maxima de V : si l'on traçait V en fonction de  (ou de  ou de N), on aurait des maxima d'autant
plus grands que Q est plus grand. L'avantage des tracés effectués est que tous les maxima sont ramenés à la
valeur 1 et qu'on peut donc repérer les coupures et les bandes passantes, quel que soit Q, sur la même
1
horizontale d'ordonnée
.
2
  
90
45

2
1

0
-45
-90
17-5 Résonance de puissance
La puissance développée par la force excitatrice est :
 
FV
cos(2t    )  cos()
p  f  v = F cos(t+)Vcos(t++) =
2
FV cos(  )
Sa valeur moyenne sur une période est la "puissance moyenne" : P 
.
2
 1

Avec   Arc tan  Q     , d'où cos(  ) 

 
donc P 
QF2
2
 2

1

2m0  Q      1
 




2
  et V 
1

Q    1


2
P
QF2
F2

. On a donc  

PM
2m0 2
1
2
1

Q2     1


P
PM
0,5
1
2
1

Q    1


2
. La puissance maximale est obtenue pour  = 1 soit   0 , il y a
alors résonance de puissance, alors PM 

1
QF
m0
2


0
=  2.
Aux coupures en puissance ce maximum est divisé par 2 . Les coupures correspondent donc à
1


Q      1 soit 2   1  0 , comme au 17-4.

Q

La pulsation de résonance de puissance, les pulsations de coupure en puissance et la bande
passante correspondante sont donc les mêmes que pour l'amplitude de la vitesse.
2
2
17-6 Exemple d'oscillations sinusoïdales forcées
On considère un ressort parfait (k,L0), enfilé sur une tige horizontale, dont une extrémité A est
actionnée par un moteur qui lui communique un mouvement sinusoïdal. L'autre extrémité du ressort est liée

au point matériel M (m) qui est soumis à une force de frottement fluide   v .
L0  x  x A
.A A.
.
O
0
M
x
L0
Soit A 0 O  L 0 , A 0 A  x A = XA cos(t + ) ( est ici la vitesse de rotation du moteur) et OM  x ,

la longueur du ressort est L = L0 + x – xA et la force qu'il exerce sur M est – k (L – L0) u x = – k (x – xA)

 
u x . La force de frottement fluide est   x u x .




La relation fondamentale de la dynamique donne : m x   x  kx  x A  soit m x   x  kx  f ,
avec f = F cos(t +) si l'on pose F = kXA.
Tout se passe donc comme si M était soumis à une force supplémentaire sinusoïdale et si A était fixe.
17-7 Analogie entre les oscillations sinusoïdales forcées en mécanique et en électricité
17-7-1 équivalences entre grandeurs mécaniques et électriques
Pour un dipôle RLC série branché sur une source de tension, l'équation différentielle, avec la charge q


q
du condensateur s'écrit : L q  R q   e .
C
Pour un point matériel de masse m lié à un ressort et soumis à une force excitatrice f, avec frottement



fluide du type   v , l'équation différentielle s'écrit : m x   x  kx  f .
On a donc les équivalences suivantes :


L
m
(facteur d'inertie)
R



(facteur d'amortissement)
1
C
e


k
(raideur de l'oscillateur)


f
(force électromotrice ou force mécanique)
1


k
m
(0 : pulsation propre)
LC
L0 1

R
R
L
2R
q
m0 1
L



km
C






m
2
x
(Q : facteur de qualité)
( : coefficient d'amortissement)

i= q



p=ei 

v= x
p=fv
(puissance reçue)
etc..
L'équation différentielle s'écrit suivant les cas :



 
e
e
2
2
q  2 q   0 q 
ou q  0 q   0 q 
L
Q
L



 
f
f
2
2
x  2 x  0 x 
ou x  0 x   0 x 
m
Q
m
La résolution de l'équation sans second membre donne les différents types de régimes transitoires.


Les équations différentielles vérifiées par l'intensité i  q et par l'abscisse de la vitesse v  x sont
obtenues en dérivant par rapport à t celles qui sont vérifiées par q et par x :





i 
L i  R i   e et m v   v kv  f
C
17-7-2 notion d'impédance mécanique
En régime sinusoïdal permanent, de pulsation , i et v vérifient les mêmes équations soit :
i
i
I
L(j)2i + Rji+  je ou jLi  R i 
 e en divisant par exp(jt) : jLI  R I 
E
C
jC
jC
kv
kV
m(j)2v+jv + kv = jf ou jmv + v +
 f en divisant par exp(jt) : jmV + V +
F
j
j
1 
E

Donc I  avec Z  R  j L 
 : impédance électrique de RLC série.
C 
Z

k
F

De même V 
avec Z    j m   : impédance mécanique de l'oscillateur.

Z

On peut représenter symboliquement l'oscillateur par un "circuit série" :
v
v

m
f
1
k
x
kx
m
dv
dt