TD M5 : Oscillations forcées dans les problèmes mécaniques à un
publicité
Mécanique – Deuxième partie TD M5 : Oscillations forcées dans les problèmes mécaniques à un degré de liberté. But du chapitre Etudier les réponses en élongation, vitesse et puissance d’un oscillateur mécanique à un degré de liberté soumis à une excitation sinusoidale. Plan prévisionnel du chapitre I - Réponse d’un oscillateur amorti à une excitation sinusoïdale 1°)Equation du mouvement 2°) Régime transitoire – Régime sinusoïdal forcé 3°) Réponse à un signal périodique II - Un outil puissant : la notation complexe 1°) Une grandeur sinusoïdale 2°) Peut se représenter par une grandeur complexe 3°) Pour être facilement dérivée III - Des expressions complexes mais simples 1°) Elongation 2°) Vitesse IV - Résonance en élongation 1°) Amplitude 2°) Déphasage V - Résonance en vitesse 1°) Amplitude 2°) Déphasage VI - Aspect énergétique 1°) Résonance en puissance 2°) Bilans énergétiques Savoirs et savoir-faire Ce qu’il faut savoir : Expliquer la différence entre le régime transitoire et le régime établi Exprimer les grandeurs caractéristiques sous forme générale complexe Donner les définitions de la puissance et de la puissance moyenne Ce qu’il faut savoir faire : Établir l'équation différentielle du pendule élastique sous forme canonique Déterminer la forme complexe de l'élongation à partir de l'équation différentielle Tracer la courbe de résonance en élongation à partir de la forme complexe de l'élongation Déterminer le déphasage à partir de la forme complexe de l'élongation Tracer la courbe de déphasage à partir de la forme complexe de l'élongation Déterminer l'amplitude et la phase de la vitesse en fonction de celles de l'élongation, tracer la courbe de résonance en vitesse et celle du déphasage Erreurs à éviter/ conseils : Si on ne choisit pas comme variable l'écart à la position d'équilibre, il restera toujours des constantes non nulles dans l'équation différentielle. On peut les laisser s'il s'agit d'un oscillateur libre (ce qui donne une équation différentielle avec second membre constant), mais dans le cas d'un oscillateur forcé, il faudra obligatoirement changer de variable (sinon il y aurait au second membre une constante et un terme sinusoïdal). Mécanique – Deuxième partie Applications du cours Application 1 : Oscillateur élastique vertical en régime sinusoidal forcé On assimile la masse plongée dans le fluide à un point matériel. Le ressort a une longueur à vide l0 et une constante de raideur k. Le moteur soumet l’extrémité supérieure du ressort à une excitation périodique xe(t). 1°) Faire la liste des forces qui s’exercent sur la masse. 2°) Etablir l’équation différentielle vérifiée par x. 3°) Déterminer leq en fonction de l0, m, g et k. 4°) Exprimer l en fonction de l0, x et xe. f k k 5°) Montrer que x x x x e m m m Application 2 : Résonance en élongation 1°) On a tracé l’amplitude Xm de l’élongation en fonction de u = ω/ω0 pour différentes valeurs du 1 facteur de qualité Q : 0,2; 0,5; ; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune 2 des courbes, la valeur de Q qui lui correspond. Mécanique – Deuxième partie 2°) On a tracé le déphasage φ en fonction de u pour différentes valeurs du facteur de qualité Q : 1 0,2; 0,5; ; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune des courbes, la valeur 2 de Q qui lui correspond. Application 3 : Résonance en vitesse 1°) On a tracé l’amplitude Vm de la vitesse en fonction de u = ω/ω0 pour différentes valeurs du 1 facteur de qualité Q : 0,2; 0,5; ; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune 2 des courbes, la valeur de Q qui lui correspond. 2°) On a tracé le déphasage φ en fonction de u pour différentes valeurs du facteur de qualité Q : 1 0,2; 0,5; ; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune des courbes, la valeur 2 de Q qui lui correspond. Mécanique – Deuxième partie Application 4 : Qui est qui ? On a représenté l’évolution de l’ellongation x en fonction du temps d’un oscillateur en régime forcé avec comme condition initiales X(0) = 5 m et V(0) = 0 m.s-1 pour différentes valeurs de u et Q. La seconde courbe représente l’xitation sinusoidale en fonction du temps. 1 1 1 1°) u = et Q = 0,10 ; 2°) u = et Q = 0,50 ; 3°) u = et Q = 1,0 2 2 2 1 4°) 3°) u = et Q = 10 ; 5°) u = 1,0 et Q = 10 ; 6°) u = 2,0 et Q = 10 2 Associer chaque graphe au couple u, Q qui lui correspond. Application 5 : Qui est qui ? Pour chacune des situations de l’application précédente, on a tracé le portrait de phase correspondant. Associer à chaque portrait de phase, la situation qui lui correspond. Mécanique – Deuxième partie Exercices Exercice 1 : Ressort à attache mobile On considère une bille M de masse m, attachée à une extrémité d'un ressort horizontal (k, l0) selon l'axe (Ox). Elle subit également une force de frottement visqueux linéaire F = h.v ( M ) . On communique à l'autre extrémité A du ressort, à partir de l'instant t = 0, un mouvement oscillatoire : xA(t) = Am.cos(ωt). 1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse x(t) = OM (t ) du point M. 2. Déterminer x(t) en régime permanent. 3. Donner la forme de la solution complète x(t) à partir de t = 0 (sans chercher à déterminer les constantes d'intégration) ; on supposera que les frottements sont faibles. Exercice 2 : Ressort à attache mobile sans frottement On considère une bille M de masse m, attachée à une extrémité d'un ressort horizontal (k, l0) selon l'axe (Ox). Elle se déplace sans aucun frottement. Mécanique – Deuxième partie On communique à l'autre extrémité A du ressort, à partir de l'instant t = 0, un mouvement oscillatoire : xA(t) = Am.sin(ωt). A t = 0, l’abscisse x(0) de M est l0 (le ressort étant donc à sa k longueur à vide) et sa vitesse est nulle. On pose 0 . m 1. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse x(t) de M. 2. On suppose ω différent de ω0. Déterminer la solution complète de l'équation différentielle. Y a-t-il un régime transitoire ? 3. On suppose maintenant ω = ω0. La solution précédente est-elle encore valable ? Montrer alors (sans tenir compte de la vitesse initiale) qu'une fonction de la forme l0 + Bt. cos(ωt+φ) peut être solution, pour des valeurs de B et φ à préciser. Tracer la courbe correspondante. Le système est-il stable ? Que se passerait-il en réalité ? Exercice 3 : Diffusion atomique Pour décrire l'interaction entre une onde lumineuse, caractérisée par le vecteur champ électrique E (t ) E0 . cos(t )e X , et les électrons de la couche externe d'un atome, on utilise l'hypothèse de l'électron élastiquement lié due à J. J. Thomson : l'électron est rappelé vers le centre O à l'atome par une force de rappel élastique isotrope F k.OM , et il est freiné par une force de frottement visqueux linéaire (coefficient h). On précise que la force subie par une charge placée dans un champ électrique E est F q.E . Le poids est négligeable. On notera –e et m la charge et la masse de h k et 2 . m m 1. Établir les équations du mouvement d'un électron quand il est excité par E (t ) . On notera –e l’électron et on posera 0 et m la charge et la masse de l’électron et on posera 0 h k et 2 . m m 2. Démontrer qu'en régime permanent, l'électron oscille parallèlement à e X . 3. Déterminer, en régime permanent, l'amplitude de x(t) et celle de l'accélération ax(t). 4. Cet atome est éclairé par de la lumière blanche, composée de champs ayant toutes les pulsations ω comprises entre ω1 (rouge) et ω2 (violet), avec ω2 =2.ω1. Sachant que ω et α sont tous les deux très inférieurs à ω0, montrer que dans ces conditions l'amplitude de ax(t) est proportionnelle à ω2. 5. Sachant qu'un électron accéléré rayonne une puissance lumineuse proportionnelle au carré de son accélération, expliquer alors la couleur du ciel...
