TD M5 : Oscillations forcées dans les problèmes mécaniques à un

Mécanique – Deuxième partie
TD M5 : Oscillations forcées dans les problèmes mécaniques à
un degré de liberté.
But du chapitre
Etudier les réponses en élongation, vitesse et puissance d’un oscillateur mécanique à un degré de
liberté soumis à une excitation sinusoidale.
Plan prévisionnel du chapitre
I - Réponse d’un oscillateur amorti à une excitation sinusoïdale
1°)Equation du mouvement
2°) Régime transitoire – Régime sinusoïdal forcé
3°) Réponse à un signal périodique
II - Un outil puissant : la notation complexe
1°) Une grandeur sinusoïdale
2°) Peut se représenter par une grandeur complexe
3°) Pour être facilement dérivée
III - Des expressions complexes mais simples
1°) Elongation
2°) Vitesse
IV - Résonance en élongation
1°) Amplitude
2°) Déphasage
V - Résonance en vitesse
1°) Amplitude
2°) Déphasage
VI - Aspect énergétique
1°) Résonance en puissance
2°) Bilans énergétiques
Savoirs et savoir-faire
Ce qu’il faut savoir :
Expliquer la différence entre le régime transitoire et le régime établi
Exprimer les grandeurs caractéristiques sous forme générale complexe
Donner les définitions de la puissance et de la puissance moyenne
Ce qu’il faut savoir faire :
Établir l'équation différentielle du pendule élastique sous forme canonique
Déterminer la forme complexe de l'élongation à partir de l'équation différentielle
Tracer la courbe de résonance en élongation à partir de la forme complexe de l'élongation
Déterminer le déphasage à partir de la forme complexe de l'élongation
Tracer la courbe de déphasage à partir de la forme complexe de l'élongation
Déterminer l'amplitude et la phase de la vitesse en fonction de celles de l'élongation, tracer la
courbe de résonance en vitesse et celle du déphasage
Erreurs à éviter/ conseils :
 Si on ne choisit pas comme variable l'écart à la position d'équilibre, il restera toujours des
constantes non nulles dans l'équation différentielle. On peut les laisser s'il s'agit d'un
oscillateur libre (ce qui donne une équation différentielle avec second membre constant),
mais dans le cas d'un oscillateur forcé, il faudra obligatoirement changer de variable (sinon
il y aurait au second membre une constante et un terme sinusoïdal).

Mécanique – Deuxième partie
Applications du cours
Application 1 : Oscillateur élastique vertical en régime sinusoidal forcé
On assimile la masse plongée dans le fluide à un point matériel. Le ressort a une longueur à vide l0
et une constante de raideur k. Le moteur soumet l’extrémité supérieure du ressort à une excitation
périodique xe(t).
1°) Faire la liste des forces qui s’exercent sur la masse.
2°) Etablir l’équation différentielle vérifiée par x.
3°) Déterminer leq en fonction de l0, m, g et k.
4°) Exprimer l en fonction de l0, x et xe.
5°) Montrer que
e
x
m
k
x
m
k
x
m
f
x
Application 2 : Résonance en élongation
1°) On a tracé l’amplitude Xm de l’élongation en fonction de u = ω/ω0 pour différentes valeurs du
facteur de qualité Q : 0,2; 0,5;
2
1
; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune
des courbes, la valeur de Q qui lui correspond.

Mécanique – Deuxième partie
2°) On a tracé le déphasage φ en fonction de u pour différentes valeurs du facteur de qualité Q :
0,2; 0,5;
2
1
; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune des courbes, la valeur
de Q qui lui correspond.
Application 3 : Résonance en vitesse
1°) On a tracé l’amplitude Vm de la vitesse en fonction de u = ω/ω0 pour différentes valeurs du
facteur de qualité Q : 0,2; 0,5;
2
1
; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune
des courbes, la valeur de Q qui lui correspond.
2°) On a tracé le déphasage φ en fonction de u pour différentes valeurs du facteur de qualité Q :
0,2; 0,5;
2
1
; 1; 2 et 5. Légender les axes du graphique et associer à chacune des courbes, la valeur
de Q qui lui correspond.

Mécanique – Deuxième partie
Application 4 : Qui est qui ?
On a représenté l’évolution de l’ellongation x en fonction du temps d’un oscillateur en régime forcé
avec comme condition initiales X(0) = 5 m et V(0) = 0 m.s-1 pour différentes valeurs de u et Q. La
seconde courbe représente l’xitation sinusoidale en fonction du temps.
1°) u =
2
1
et Q = 0,10 ; 2°) u =
2
1
et Q = 0,50 ; 3°) u =
2
1
et Q = 1,0
4°) 3°) u =
2
1
et Q = 10 ; 5°) u = 1,0 et Q = 10 ; 6°) u = 2,0 et Q = 10
Associer chaque graphe au couple u, Q qui lui correspond.
Application 5 : Qui est qui ?
Pour chacune des situations de l’application précédente, on a tracé le portrait de phase
correspondant. Associer à chaque portrait de phase, la situation qui lui correspond.

Mécanique – Deuxième partie
Exercices
Exercice 1 : Ressort à attache mobile
On considère une bille M de masse m, attachée à une extrémité d'un ressort horizontal (k, l0) selon
l'axe (Ox). Elle subit également une force de frottement visqueux linéaire
F
=
)(. Mvh 
. On
communique à l'autre extrémité A du ressort, à partir de l'instant t = 0, un mouvement oscillatoire :
xA(t) = Am.cos(ωt).
1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse x(t) =
)(tOM
du point M.
2. Déterminer x(t) en régime permanent.
3. Donner la forme de la solution complète x(t) à partir de t = 0 (sans chercher à déterminer les
constantes d'intégration) ; on supposera que les frottements sont faibles.
Exercice 2 : Ressort à attache mobile sans frottement
On considère une bille M de masse m, attachée à une extrémité d'un ressort horizontal (k, l0) selon
l'axe (Ox). Elle se déplace sans aucun frottement.