Utilisation du principe de superposition

DM5 électrostatique TSI 2015-2016
Propriétés électriques des nanotubes de carbone
Le carbone cristallise sous différentes variétés allotropiques. Dans le cas du carbone graphite : il s’agit de
« feuillets » d’atomes de carbone (plans A et B en alternances) organisés dans un réseau hexagonal.
A noter la possibilité d’isoler cette structure en feuillets
appelée graphène. Les graphènes sont des molécules dont on
peut fixer la croissance et l’enroulement éventuel afin de
créer des tubes de carbone : c’est cette structure tubulaire
(dont le diamètre est de l’ordre de quelques nanomètre) qui
confère aux nanotubes de carbone leurs propriétés
intéressantes.
La production mondiale de nanotubes atteint aujourd’hui
plusieurs centaines de tonnes par an pour plusieurs utilisations :
• Ils sont présents dans les écrans plats car leur
géométrie permet d’avoir un effet de pointe important et
donc des champs forts à leurs extrémités.
• Dans l’industrie automobile pour le renfort des pièces de
carrosserie. L’analyse de leurs propriétés mécaniques
montre qu’ils possèdent une résistance mécanique
comparable à celle de l’acier tout en étant extrêmement
légers.
• Les nanotubes peuvent être utilisés dans la fabrication
de composants électroniques hautes fréquences pouvant
fonctionner jusqu’30 GHz
Graphène
Nanotube de carbone

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Ce devoir explique la capacité des nanotubes de carbone à pouvoir produire des champs électrique forts.
1) On considère une spire circulaire de rayon  sur laquelle est répartie uniformément, avec une densité
linéique  alors constante, une charge totale notée . Cette spire est de centre  et on note  sont axe
de symétrie de révolution.
a) Donner la relation entre  et 
b) On considère un élément de longueur  de la spire centré autour du point . Quelle est la charge
élémentaire, notée , contenue sur  ?
c) Donner alors l’expression du champ élémentaire   créé par cette charge élémentaire  en
un point , de côte , appartenant à l’axe de symétrie de révolution .
d) En analysant la symétrie de la distribution complète, déterminer la direction du champ en un point 
appartenant à l’axe de symétrie de révolution .
e) Montrer alors que l’expression du champ total   est  où  est l’angle sous
lequel est vue la spire depuis le point .
2) Le calcul précédent va nous permettre, en utilisant le principe de superposition, d’exprimer le champ
créé par un nanotube de carbone. On considère un nanotube comme une distribution constituée de 
spires par mètre et la longueur totale du tube est notée . Chaque spire de rayon  porte une charge .
a) Donner l’expression de la charge  comprise sur la spire élémentaire d’épaisseur  (représentée
ci-dessus) en fonction de  et 
b) En utilisant le résultat de la question 1)e), donner l’expression du champ élémentaire   créé par
la distribution élémentaire  en fonction, entre autre, de ′ et  ( est le centre de la
spire élémentaire étudiée)
c) Montrer proprement que  ′
 et trouver alors l’expression du champ électrostatique au
point  situé à l’extrémité droite du tube, en fonction, entre autre, de  qui est l’angle sous lequel
est vu l’extrémité gauche du tube depuis .
d) On suppose que   , montrer que le champ électrique est alors approché par l’expression suivante :
e) Le champ maximal rayonné par une spire de rayon  portant une charge  est de l’ordre
 Comparer 
 à sachant que    et .

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1)a)  
/1
1)b) 
/1
1)c)
/1
1)d) On peut proposer une infinité de plans de symétrie de la distribution contenant alors l’axe Oz et le
point M : le champ électrostatique en M est sur l’axe Oz
/2
1)e) La projection du champ élémentaire suivant la direction Oz donne :
.
/4
2)a)  
/1
2)b)
′
′
/2
2)c)  
 et donc     or      donc 
D’où :  
/4
2)d)
/1
2)e) 
    soit un champ 10 fois plus fort. Ces structures tubulaires créent des champs très
intenses. Elles sont utilisées dans certains écrans plasmas comme électrode permettant de claquer le
gaz.
/2