Chapitre I : Nombres entiers et rationnels ( Arithmétique)

Classe de
Troisième
Chapitre I : Nombres entiers
et rationnels ( Arithmétique)
Année scolaire
2007/2008
Introduction : L’arithmétique, c’est l’étude des nombres entiers et des fractions.
I) Diviseurs communs à deux entiers :
Exemple :
Considérons les deux entiers naturels suivants : 42 et 30 .
Diviseurs de 42 : 1,2,3,6,7,21,42
Diviseurs de 30 : 1,2,3,5,6,10,15,30
1,2,3,6 sont les diviseurs communs à 42 et à 30. Ils divisent à la fois 42 et 30.
1) PGCD de deux entiers :
Parmi les diviseurs communs à deux entiers, on considère le plus grand.
Dans l’exemple précédent, il est égal à 6.
Ce nombre est appelé le plus grand commun diviseur. On le note pgcd.
Exemple : pgcd(42 ;30) = 6
2) Nombres premiers entre eux :
Si pgcd(a ;b) = 1, alors on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemple : pgcd(21 ;10) = ?
21 = 3 x 7 et 10 = 2 x 5
Alors pgcd(21 ;10) = 1 donc 21 et 10 sont premiers entre eux.
II) Calcul du PGCD
Propriété importante :
Exemple : Liste des diviseurs de 36 : {1;2;3;4;6;9;12;18;36}
Liste des diviseurs de 24 : {1;2;3;4;6;8;12;24}
Liste des diviseurs communs aux deux : {1;2;3;4;6;12}
Donc pgcd(36;24) = 12
Liste des diviseurs de 36-24 = 12 : {1;2;3;4;6;12}
Liste des diviseurs de 24 : {1;2;3;4;6;8;12;24}
Liste des diviseurs communs aux deux :{1;2;3;4;6;12}
Donc pgcd(24;36-24) = 12 = pgcd(36;24)
De manière générale,
Si a et b sont des entiers naturels avec b ≠ 0 et a > b, alors
pgcd(a;b) = pgcd(b;a-b)
Application :
pgcd(128;104) = pgcd(104;128-104)
= pgcd(104;24)
= pgcd(24;104-24)
= pgcd(24;80) = pgcd(80;24)
= pgcd(24;80-24)
= pgcd(24;56) = pgcd(56;24)
= pgcd(24;56-24)
= pgcd(24;32) = pgcd(32;24)
= pgcd(24;8) = pgcd(8;16)=pgcd(16;8)

= pgcd(8;8) = 8
1) Algorithme des différences :
Algorithme : « Ensemble de règles opératoires dont l'application permet de
résoudre un problème énoncé au moyen d'un nombre fini d'opérations »
On veut calculer le pgcd de deux entiers en un nombre fini d'opérations en
utilisant la propriété importante vue précédemment.
Exemples : pgcd(36;24) = ?
On présente les calculs dans un tableau comme suit :
a
b
différence
36
24
36-24 = 12
24
12
24-12 = 12
12
12
0
Le pgcd est égal à la dernière différence non-nulle.
Donc ici, pgcd(36;24) = 12
pgcd(288;84) = ?
a
b
Différence a-b
288
84
288-84 = 204
204
84
204-84 = 120
120
84
120-84 = 36
84
36
84-36 = 48
48
36
48-36 = 12
36
12
36-12 = 24
24
12
24-12 = 12
12
12
12-12 = 0
Donc pgcd(288;24) = 12
Remarque :
Si l'écart entre a et b est important, l'algorithme des différences demande
beaucoup d'étapes.
Exemple : Pour calculer pgcd(2004;18), il faut 114 étapes !
On souhaite trouver une autre méthode limitant les étapes pour calculer le pgcd.
2) Algorithme d’Euclide
Euclide : mathématicien grec du III ième siècle avant JC.
Dans l'exemple précédent, on pouvait réduire le nombre d'étapes.
Par exemple, on pouvait remplacer les trois premières soustractions par une
seule opération. Au lieu d'enlever 84 à chaque étape, on pouvait enlever trois
fois 84 en une fois,etc...
Division euclidienne : c'est une division entière

Exemple : 288 divisé par 84
288 = 84 x 3 + 36 : Quotient = 3, le reste = 36 on a 36 < 84
En faisant 288 – 84x3 = 36, on passe de l'étape 1 de l'algorithme des
différences à l'étape 4.
Propriété importante :
Si a et b sont deux entiers naturels tels que b ≠ 0 et a > b, on a a = bq+r avec
0< r < b, alors pgcd(a;b) = pgcd(b;r)
(1) Diviser a par b; obtenir le reste r
(2) Si r = 0, alors l'algorithme se termine et pgcd(a;b) = b
(3) Si r ≠ 0 , remplacer a par b et b par r et recommencer à partir de (1)
On écrit les calculs sous forme d'un tableau :
a
b
Reste
288
84
36
84
36
12
36
12
0
Le dernier reste non-nul est le pgcd de deux entiers.
Donc pgcd(288;24) = 12
III) Fractions irréductibles :
Une fraction
a
b
(avec b ≠ 0) est dite irréductible lorsque a et b sont premiers
entre eux.
Exemples :
a)
2
5
est irréductible car pgcd(2;5) = 1
b) Pour rendre
98
65
irréductible :
pgcd(98;65) = 13 d'où :
98
65
=
13×6
13×5
=
6
5
fraction irréductible