Contrôle n° 1 :

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
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Contrôle n°2 - corrigé
Exercice 1 – 3 points
Dans chaque cas, déterminer en indiquant la propriété utilisée :
a. PGCD
;50 100 50
car
50
est un diviseur de
100
b.
;PGCD 1 35 1
car
;PGCD 1 1a
quel que soit le nombre entier
0a
.
c.
;PGCD 48 48 48
car
;PGCD a a a
quel que soit le nombre entier
0a
.
Exercice 2 – 4 points
Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant la méthode indiquée :
a. 11 592 et 9 936 (divisions successives)
11 592 9 936 1 1 656
9 936 1 656 6 0
Par l’algorithme d’Euclide,
;PGCD 11 592 9 936 1 656
b. 357 et 721 (divisions successives)
721 357 2 7
357 7 51 0
Par l’algorithme d’Euclide,
;PGCD 721 357 7
c.
1 312
et
2 536
(divisions successives)
2 536 1 312 1 1 224
1 312 1 224 1 88
1 224 88 13 80
88 80 1 8
80 8 10 0
Par l’algorithme d’Euclide,
;PGCD 1 312 2 536 8
.
d.
1 634
et
602
(soustractions successives)
1 634 602 1 032
1 032 602 430
602 430 172
430 172 258
258 172 86
172 86 86
86 86 0
Par la méthode des soustractions successives,
;PGCD 1 634 602 86

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
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Exercice 3 – 2 points
Un nombre est dit premier s’il n’a pour diviseurs
1
et lui-même.
Donner la liste de tous les nombres de
15
à
30
premiers.
Réponse :
17 19 23 29  
Exercice 4 – 2 points
Trouver, si possible (sans justifier) :
a. Deux nombres pairs dont le PGCD est
1
: impossible car ils sont forcément divisibles par 2.
b. Deux multiples de 5 ont le PGCD est
1
: impossible car ils sont forcément divisibles par 5.
c. Deux nombres dont le PGCD est
20
:
20
et
40
d. Deux nombres impairs supérieurs à
20
dont le PGCD est
3
:
21
et
27
.
Exercice 5 – 3 points
Dans un grand hôtel, on répartit en paquets,
552
serviettes blanches et
782
serviettes bleues. Tous
les paquets de serviettes sont identiques, et contiennent les deux couleurs de serviettes. On veut
constituer un maximum de paquets, et ne pas laisser une seule serviette seule.
a. Combien y a-t-il de paquets ?
On veut répartir toutes les serviettes, donc on cherche un diviseur commun à
552
et
782
. On veut
faire le maximum de paquets, on cherche donc le
;PGCD 552 782
.
782 552 1 230
552 230 2 92
230 92 2 46
92 46 2 0
Par l’algorithme d’Euclide,
;PGCD 552 782 46
On fera donc
46
paquets.
b. Quel est le nombre de serviettes blanches et bleues ?
552 46 12
782 46 17
Dans chaque paquet, il y aura
12
serviettes blanches et
17
serviettes bleues.
Exercice 6 – 2 points
Déterminer le PGCD de
4 001
et
3 432
et rendre irréductible la fraction
4 001
3 432

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
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4 001 3 432 1 569
3 432 569 6 18
569 18 31 11
18 11 1 7
11 7 1 4
7 4 1 3
4 3 1 1
3 1 3 0
Par l’algorithme d’Euclide,
;PGCD 4 001 3 432 1
donc la fraction est irréductible.
Exercice 7 – 3 points
Un artisan désire carreler le sol rectangulaire d’une salle de séjour de
,11 25
m sur
,9 45
m avec des
carreaux carrés tous identiques. Il souhaite ne pas faire de découpe et utiliser les carreaux les plus
grands possibles.
a. Calculer la mesure du côté d’un carreau correspondant à ses désirs.
,11 25m 1125 cm
et
,9 45 m 945 cm
On veut ne pas faire de découpe, on cherche donc un diviseur commun à
1 125
et
945
. On veut des
carreaux les plus grands possibles donc on cherche le
;PGCD 1125 945
.
1125 945 1 180
945 180 5 45
180 45 4 0
Par l’algorithme d’Euclide,
;PGCD 1125 945 45
. Les carreaux mesureront
45
cm de côté.
b. De combien de carreaux aura-t-il besoin ?
1125 45 25
945 45 21
25 21 525
Il aura besoin de
525
carreaux.
Exercice 8 – 1 point
Trouver les nombres entiers dont le PGCD est égal à
542
et la somme est égale à
4 878
.
Après avoir remarqué que
542
divise
4 878
, il suffit d’utiliser
542
et
4 878 542 4 336
car leur
somme vaut naturellement
4 878
et
542
étant un diviseur de
4 336
,
;PGCD 542 4 878 542
.
On utilise ici deux propriétés du cours :
• Si
k
divise
a
et
b
alors
k
divise
ab
et
ab
.
• Si
a
divise
b
,
;PGCD a b a