1 – EXERCICE 11 On a tracé dans quatre repères les courbes Cf, C
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–1– EXERCICE 11 On a tracé dans quatre repères les courbes Cf, Cg, Ch et Ck qui représentent les fonctions f, g, h et k. Cg Ch ;j O ;j O ;i ;j ;i O ;j O ;i ;i Cf Ck a. Résoudre graphiquement les équations : f(x) = 3 g(x) = 2 h(x) = 3 k(x) = -4 b. Résoudre graphiquement les équations : f(x) = -2 g(x) = -4 h(x) = -1 k(x) = 1 c. Résoudre graphiquement les inéquations : f(x) 3 g(x) 2 h(x) < 3 k(x) > -4 d. Résoudre graphiquement les équations : f(x) < -2 g(x) -4 h(x) > -1 k(x) 1 EXERCICE 12 On a tracé dans le même repère les courbes Cf, Cg et Ch qui représentent les fonctions f, g et h, définies sur l’intervalle [-8 ; 8] a. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x). Cf b. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = h(x). c. Résoudre graphiquement l’équation g(x) = h(x). Cg ;j O d. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) g(x). e. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) < h(x). f.Résoudre graphiquement l’inéquation g(x) > h(x). Ch ;i EXERCICE 13 On a représenté dans un repère la courbe représentative d’une fonction f. ;j O 1. Compléter le tableau de valeurs de la fonction f : x -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 ;i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 2. a. En lisant dans le tableau, pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on f(x) = 2 ? b. En lisant dans le tableau, pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on f(x) 2 ? 3. Tracer la droite d’équation y = 2. a. A quoi correspondent les solutions de l’équation f(x) = 2 ? b. A quoi correspondent les solutions de l’inéquation f(x) 2 ? 4. Tracer les droites d’équation y = -3 et y = 0, puis lire sur le graphique les solutions des équations et inéquations suivantes : f(x) = -3 f(x) = 0 f(x) < 0 f(x) -3 EXERCICE 14 On a représenté dans un repère la courbe représentative d’une fonction g. ;j O Résoudre graphiquement : g(x) = 4 g(x) = -1 ;i g(x) < 4 g(x) -1 4.1 Définition On appelle fonction affine toute fonction de la forme f : x ax + b où a et b sont des réels fixés. Exemple La fonction f définie sur ℝ par f : x 3x – 2 est affine. Remarques Si b = 0, on dit que la fonction est linéaire. Ce type de fonction permet de traiter des situations de proportionnalité. Ce n’est qu’un cas particulier de fonction affine. Si a = 0, la fonction est du type f : x b où b est un réel fixé, elle est donc constante. Il s’agit d’une droite parallèle à l’axe des abscisses. 4.2 Représentation graphique Définition. La représentation graphique d’une fonction affine (de type y = ax + b ) est une droite. Réciproquement, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = ax + b. Exemple La fonction f : x 3x – 2 admet pour représentation graphique la droite d’équation y = 3x – 2. Définition. Si f est une fonction affine de la forme f : x ax + b alors a est le coefficient directeur de la droite (pente) et b est l’ordonnée à l’origine. Exemple 3 est le coefficient directeur de la droite. -2 est l’ordonnée à l’origine. Remarque Une droite parallèle à l’axe des ordonnées ne peut représenter aucune fonction, puisque cela signifierait qu’il existe un point qui a une infinité d’images. Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c où c est un réel fixé. 4.3 Comment tracer la représentation graphique d’une fonction affine ? Pour tracer la représentation graphique d’une fonction affine d’équation y = ax + b : on choisit deux valeurs de x (en général 0 et une autre pas trop proche) ; on calcule les valeurs de y correspondantes ; on place les deux points de coordonnées (x ; y) obtenus ; on trace la droite passant par ces deux points. Exemple Dans un repère, tracer la droite (d) d’équation y 2 x 1 . x 0 y 3 Exemple La droite d’équation x = c passe par le point de coordonnées (c ; 0) et est parallèle à l’axe des ordonnées. – 10 – 4.4 Comment déterminer l’équation d’une fonction affine ? Dans un repère, on considère deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) tels que xA xB. y yB y A Le coefficient directeur a de la droite (AB) est a . x xB xA Exemple Déterminer l’équation de la droite (AB) avec A(-3 ; -13) et B(1 ; 3) y yB y A 3 (13) 16 a 4 x xB xA 1 (3) 4 L’équation de la droite (AB) est de la forme y = ax + b soit y = 4x + b Or A 3; 13 est un point de cette droite donc : 13 4 3 b 13 12 b 13 12 b 1 b L’équation de la droite (AB) est donc y 4 x 1 4.5 Sens de variation d’une fonction affine Soit f une fonction affine définie sur ℝ par f x ax b où a et b sont des réels fixés. Si a 0 , f est strictement croissante sur ℝ. Si a 0 , f est constante sur ℝ. Si a 0 , f est strictement décroissante sur ℝ. Exemples Soit y x 5 définit une fonction strictement décroissante car a 1 0 . Soit y x 3 définit une fonction strictement croissante car a 1 0 . 4.6 Signe de ax + b Déterminons le signe de f x 3x 4 selon les valeurs de x. 3x 4 0 3 x 4 4 x 3 x - D’où le tableau de signe suivant : 3x+4 – 11 – - Error! 0 + Rappel : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine g : x ax + b est la droite : parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée ; passant par le point de coordonnées (0 ; b). EXERCICE 17 On a représenté dans un repère la fonction affine. EXERCICE 15 Représenter dans ce repère ces fonctions affines : - En bleu, la fonction f : x 2x + 1 ; - En rouge, la fonction g : x -3x + 2 ; - En vert, la fonction h : x Error! x + 1 ; - En gris, la fonction k : x - Error! x + Error!. 4 1 2 -4 -3 -2 O -1 1 2 3 4 -1 3 2 1 -4 -3 -2 -1 a. Compléter en lisant sur le graphique : f(2) = …… f(……) = 1 f(-2) = …… -1 f(……) = Error! f(-3) = …… f(……) = Error! -2 b. Déterminer f(0) et f(1). c. En déduire un système de deux équations à deux inconnues a et b. d. Retrouver rapidement a et b. O 1 2 3 4 -3 EXERCICE 16 Représenter les fonctions f et g telles que : f(1) = 2 f(-3) = -1 g(-4) = 0 g(2) = -3 EXERCICE 18 On a représenté dans un repère les fonctions linéaires f, g et h : 4 3 1 2 O 1 1 -4 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 a. -2 -3 Compléter en lisant sur le graphique : f(4) = …… g(-1) = …… h(8) = …… f(……) = -3 g(……) = -1 h(……) = 4 b. Définir graphiquement les fonctions f, g et h. f : x ……… g : x ……… h : x ……… – 12 – – 13 –
