Chapitre_13

Chapitre 13
Triangles isométriques et semblables
Exercices 1, 2, 9p274.
I
Triangles isométriques
A]
Définition et propriété
Définition :
Dire que deux triangles sont isométriques signifie que leurs côtés sont deux à deux de même
longueur.
Remarque :
Isométrique vient du grec iso ( égal) et metron ( mesure).
Exemples :
ABC est un triangle isocèle en A ; soit H le milieu de [BC]. Les triangles ABH et ACH sont
isométriques.
ABCD un parallélogramme de centre O. OAB et OCD sont isométriques.
Théorème :
Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs angles sont égaux deux à deux.
Remarque :
La réciproque est fausse.
Théorème :
Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont même aire.
B]
Quelques exemples d’isométrie
Théorème :
Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux, alors ils sont
isométriques.
Théorème :
Si deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux, alors ils sont
isométriques.
C]
Comment démontre une isométrie ?
Il y a trois manières de démontrer que deux triangles sont isométriques :

Les trois côtés sont égaux.

Un angle égal est compris entre deux côtés égaux.

Un côté égal est adjacent à deux angles égaux.
Exemple 1 :
Soient ABC et MNP deux triangles tels que ;B = 75°, ;C = ;N = 35° et ;P = 70°.
1.
Montrer que ces deux triangles sont isométriques. ( Somme des angles).
2.
Déduisez-en les côtés de même longueur.
Exemple 2 :
Soit ABC un triangle équilatéral. M  [AB], N  [BC] et P  [AC] tel que AM = BN = PC.
1.
Démontrer que BMN et AMP sont isométriques.
2.
Démontrer que MN = MP.
-1-
Chapitre 13 : seconde
3.
Déduisez-en que le triangle MNP est équilatéral.
Exercices 25, 27p277.
Exercices 34, 37p278.
D]
Transformations
Propriété :
Les translations, les rotations, les symétries centrales et axiales sont des isométries.
Propriété :
L’image par une ou plusieurs isométries est une isométrie.
Exercices 12, 13p275.
II
Triangles semblables
A]
Définition
Définition :
Deux triangles sont dits semblables ou de même forme, si leurs angles sont égaux deux à
deux.
Remarques :
Des triangles isométriques sont semblables.
Des triangles semblables ne sont pas forcément isométriques.
Deux triangles semblables sont des agrandissement ou des réductions l’un de l’autre.
Théorème :
Si deux triangles ont deux angles respectivement sont égaux, alors les triangles sont
semblables.
Démonstration :
Supposons que ABC et MNP sont tels que ;A = ;M et ;B = ;N.
Comme ;A + ;B + ;C = 180 = ;M + ;N + ;P ; on a donc ;C = 180 – ( ;A + ;B )
= 180 – ( ;M + ;N ) = ;P.
Donc ABC et MNP sont semblables.
Exercices 40, 41p279.
B]
Exemples
Exemple 1 : La configuration de Thalès
Soit ABC un triangle tel que M  [AB], N  [AC] et (MN) // ( BC).
Alors les triangles AMN et ABC sont semblables.
Exemple 2 :
Deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal sont semblables.
C]
Utilisation
On utilise ce concept pour démontrer des égalités d’angles ou établir des relations entre
longueurs et aires.
D]
Triangles semblables et proportionnalité
Théorème :
-2-
Chapitre 13 : seconde
Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont
proportionnels.
Exemple :
Si on sait que ABC et MNP sont semblables tels que ;A = ;M, ;B = ;N et ;C = ;P,
alors on a
Error! = Error! = Error!.
Théorème :
Si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels alors ces triangles sont
semblables.
Théorème :
Si ABC et MNP sont deux triangles semblables et si k est le rapport de proportionnalité, ou
rapport de similitude, qui transforme ABC en MNP, alors aire(MNP) = k2  aire(ABC).
Exemple 1 :
Les triangles ABC et MNP sont tels que :
Error! = Error! = Error! = Error!.
Ils sont donc semblables et il en résulte aire(ABC) = 4  aire(MNP).
Exemple 2 :
ABC est un triangle tel que AB = 30, AC = 48, BC = 60. DEF est un triangle semblable à
ABC tel que ;D = ;C, ;E = ;B et EF = 40.
1.
Quel est le rapport de similitude ? ( k = Error! )
2.
Calculer ED et DF.
Exemple 3 :
Soit ABC un triangle tel que AB = 28, BC = 39 et AC = 42. I est le milieu de [AB]. On note
D le point de [AC] tel que
;AID =
;ACB.
1.
Montrer que AID et ACB sont semblables. ( A Error! A ; I Error! C et D
Error! B).
2.
Calculer AD et ID.
3.
Démontrer que Error! = Error!.
Exercices 45, 46, 50p279-280.
-3-
Chapitre 13 : seconde