Série n°15

Statistique
1ière HEC
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Série 15
Objectif : Maîtriser les inégalités de Tchébicheff
Exercice n°1
Le magazine 'Musique' tient à connaître quelle est la proportion de fans d'Elvis ayant entre 18
et 25 ans. Pour ce faire, elle réalise un sondage auprès de 100 jeunes choisis au hasard afin
d'évaluer la proportion p de fans.
a)
b)
c)
Ecrire comme fonction de p l'espérance et la variance du nombre de jeunes
interviewés fans de l'artiste décédé.
Ecrire comme fonction de p la probabilité pour que ce nombre de jeunes fans s'écarte
de l'espérance mathématique de plus de 15.
Utiliser l'inégalité de Tchébicheff pour obtenir une borne supérieure pour la
probabilité trouvée sous b), sachant que p= 2/3
Exercice n°2
Soit la distribution de probabilité suivante:
 1 pour x  -1
 8

P(x)   3 pour x  0
4

1
 8 pour x  1
a)
b)
Calculer la moyenne et la variance de cette distribution.
Calculer la probabilité P x  1 en utilisant l'inégalité de Tchébicheff. Montrer que la
limite supérieure de la probabilité donnée par Tchébicheff correspond, dans ce cas, à
la valeur effective.
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire dont la répartition suit une loi normale avec moyenne  et
variance  2 . L'inégalité de Tchébicheff dit que :
P x      
a)
b)
2
2
A partir de quelle valeur  cette inégalité dit-elle quelque chose d'utile?
Que valent les 2 membres de l'inégalité quand  vaut respectivement  , 2 , 3 ?
Que faut-il en conclure?
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c)
2/2
Soit un échantillon, de grandeur n, tiré de la loi X avec  2  0.05 . On désire estimer
la moyenne de la population à l'aide de la moyenne de l'échantillon de manière à ce
que l'erreur que l'on va faire ne dépasse pas 0.01 dans 95% des cas. Que doit valoir n?
Exercice 4
Soit X une variable aléatoire et f(x) sa densité de probabilité. Ses deux premiers moments sont
 et  2 (la moyenne et la variance respectivement).
a)
b)
c)
On sait que x a au moins 96% de chance de s'écarter de moins de 30 de sa moyenne et
que x est supérieure ou égale à 82 avec une probabilité plus grande ou égale à 0.75.
Trouver  et  2 si la densité de probabilité est supposée inconnue.
On suppose maintenant que x suit une loi normale avec comme moyenne et variance
les résultats du point a). Trouver, pour une probabilité d'au moins 96%, l'écart
maximal pour x autour de sa moyenne.
Comparer les intervalles autour de la moyenne pour la probabilité de 96% des points a)
et b). Comparer et commenter...