nombres entiers et rationnels

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
I NOMBRES RATIONNELS-NOMBRES IRRATIONNELS
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme
Error!
où a et b sont
deux entiers relatifs, b étant différent de 0.
Error!
,
Error!
sont des nombres rationnels.
Error!
n’ est pas un nombre rationnel car π n’est pas un nombre entier relatif.
Remarque : Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels.
Exemples : – 13,5 peut s’écrire sous la forme
Error!
, c’est donc un nombre rationnel.
7 peut s’écrire sous la forme
Error!
, c’est donc un nombre rationnel.
Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel.
π , 7 sont des nombres irrationnels.
II DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS NATURELS
1. Preuve de la division euclidienne ( rappel).
19 = 7 2 + 5 Le reste 5 est bien inférieur au diviseur 7.
DIVIDENDE = DIVISEUR QUOTIENT + RESTE
RESTE < DIVISEUR
2. Diviseur d’un nombre entier naturel.
Un entier naturel a est un diviseur de l’entier naturel b si le reste de la division
euclidienne de b par a est 0.
Dans ce cas, on peut dire que : b est un multiple de a
b est divisible par a
a est un diviseur de b
a divise b
7 n’est pas un diviseur de 19 car le reste de la division de 19 par 7 est égal à 5.
36 = 4 9
4 est un diviseur de 36. On peut dire que 36 est divisible par 4ou que 36 est un multiple de 4.
19
7
5
2
36
4
0
9

On peut écrire :
Error!
= 9
3. Diviseurs communs à deux entiers naturels.
Dire que a est un diviseur commun à b et c signifie que a est un diviseur de b et aussi
un diviseur de c.
7 est un diviseur commun à 21 et 56 puisque c’est un diviseur de 21 et de 56.
4. Plus grand commun diviseur.
Le plus grand diviseur commun aux entiers naturels a et b est appelé PGCD de a et b.
On le note : PGCD (a ;b)
PGCD : Plus Grand Commun Diviseur
Diviseurs de 21 : 1 , 3 , 7 , 21 Diviseurs de 56 : 1 , 2 , 4 , 7 , 8, 14, 28 , 56
Le plus grand diviseur commun à 21 et 56 est 7. PGCD (21 ; 56) = 7
5. Nombres premiers entre eux.
Les entiers naturels a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
21 et 56 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous deux divisibles par 7 donc leur plus
grand diviseur commun n’est pas 1.
Diviseurs de 13 : 1, 13 Diviseurs de 27 : 1 , 3 , 9 , 27
PGCD ( 13 ; 27) = 1
13 et 27 sont bien premier entre eux.
Propriétés :
PGCD (a ;a) = a Si a est un diviseur de b : PGCD(a ; b) = a.
PGCD( 24 ;24) = 24
4 est un diviseur de 24 : 24 = 4 6 On a : PGCD( 4 ; 24 ) = 4
III FRACTION IRREDUCTIBLE
1. Définition
Une fraction est irréductible lorsqu’on ne peut plus la simplifier.

Error!
n’est pas une fraction irréductible. On peut la simplifier par 8 par exemple.
Error!
=
Error!
Error!
est une fraction irréductible. On ne peut plus la simplifier.
2. Propriétés
Lorsqu’on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son
dénominateur, on obtient la fraction irréductible qui lui est égale.
PGCD( 495 ; 210) = 15
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!
est une fraction irréductible.
Le PGCD du numérateur et du dénominateur d’une fraction irréductible est égal à 1.
PGCD( 33 ; 14) = 1