APPROFONDISSEMENT POUR LE PROFESSEUR - À PROPOS DU SINUS ET DU COSINUS D’UN NOMBRE Au collège La notion de cosinus d'un angle est introduite en 4e, dans un triangle rectangle, comme rapport de longueurs. En classe de 3e, le sinus et la tangente d'un angle aigu d’un triangle rectangle sont également ˆ sin 2 Aˆ 1 et tan Aˆ introduits comme rapports de longueurs. Les relations cos2 A démontrées. L'unité d'angle est le degré décimal. Au lycée professionnel sin Aˆ sont cos Aˆ Il s'agit donc de passer du sinus d'un angle à celui d'un nombre. Les élèves doivent comprendre le "cheminement" qui permet d'obtenir le sinus ou le cosinus d'un nombre : faire correspondre à un réel donné, un point du cercle trigonométrique ; le cosinus et le sinus de ce nombre sont, par définition, les coordonnées du point image de ce réel sur le cercle trigonométrique. Associer à tout réel un point du cercle trigonométrique, utiliser la définition du sinus et du cosinus d'un réel Une animation informatique comme, par exemple "enroulement de R", permet de visualiser l'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique. o À tout nombre réel correspond un unique point du cercle trigonométrique, mais un point du cercle a plusieurs antécédents (qui diffèrent de 2kp (avec k entier relatif)). o Des activités de détermination graphique du sinus et du cosinus d'un réel peuvent être conduites alors. o Inversement, il est alors possible de déterminer graphiquement l'un des réels dont le cosinus ou le sinus a une valeur donnée. Faire le lien avec le sinus et le cosinus d'un angle Introduire la mesure en radian d'un angle géométrique : M étant un point quelconque du cercle trigonométrique, il existe un unique réel x, tel que x , dont M soit l’image ; le point A étant l’extrémité du vecteur unitaire de l’axe des abscisses, la mesure en radian de l’angle géométrique saillant ;AOM est égale à x si 0 x et égale à - x si x 0 . Faire le lien entre la mesure en radian d'un angle géométrique saillant et sa mesure en degré. Construction de la courbe représentant la fonction sinus Une animation informatique comme, par exemple "fonction sinus" permet de visualiser la construction point par point de la courbe représentative de la fonction sinus. Remarque concernant la calculatrice La touche sin de la calculatrice permet d'obtenir le sinus d'un angle (selon le mode choisi rad ou deg par exemple). Le sinus d'un nombre s'obtient en mettant la calculatrice en mode touche rad et en utilisant la sin. 1 Le schéma ci-dessous résume ce qui précède. Nombre réel Cercle trigonométrique x M rad Angle Angle ; AOM de mesure x rad Sinus du réel x sin sin(x) fonction sinus 2