sujet 25

Lancement d'un satellite
A) Champ de gravitation terrestre
On assimile la Terre à une répartition de masse à symétrie sphérique de centre O, de rayon
R = 6,4.103 km. À la distance R de O, le champ de gravitation
G
créé par cette répartition de masse a pour
module G0 = 9,8 m.s–2. La constante de l'attraction universelle est G = 6,7.10–11 SI.
1) a) Rappeler le théorème de Gauss pour le champ électrostatique
E
.
b) Exprimer le champ de gravitation
G
créé en un point M tel que
OM
= r
er
(
er
étant le vecteur
unitaire orienté de O vers M) par une masse ponctuelle m placée en O.
c) Exprimer de même le champ électrostatique
E
créé en un point M par une charge ponctuelle q
placée en O.
d) En déduire l'expression du théorème de Gauss pour le champ de gravitation.
e) Appliquer le théorème de Gauss à la Terre pour établir l'expression de la masse  de la Terre avec
G0, R et G . Calculer numériquement .
f) En déduire l'expression de la masse volumique moyenne m de la Terre avec les mêmes constantes
et calculer numériquement m.
2) Soit la répartition de masse à symétrie sphérique de centre O. En M, tel que
OM
= r
er
, la masse
volumique est  = f(r). La masse englobée par la surface sphérique  de centre O et de rayon r est notée int.
Le champ de gravitation en M est donc
G
G
int
rer
2
. La masse volumique moyenne à l'intérieur de 
est notée m.
a) Exprimer la dérivée logarithmique
dG
G
du module de
G
avec les différentielles logarithmiques de
int et de r.
b) dint représente la masse de la coquille sphérique de centre O comprise entre les sphères de rayons
r et r + dr. Exprimer la dérivée logarithmique
d
int
int
avec
dr
r
,  et m. En déduire que pour une petite
variation r de la distance OM, la petite variation G correspondante est donnée par la relation
G
Gr r
m
3 2
.
c) On définit l'altitude par z = r – R. Appliquer la relation précédente à la Terre, en considérant que
la masse volumique de l'atmosphère est négligeable, pour calculer l'altitude z1 (z1 << R) pour laquelle le
module du champ de gravitation terrestre est diminué relativement de 10–3 par rapport à sa valeur G0 à
l'altitude z = 0.
d) Calculer de même l'altitude z2 (z2 < 0 et
z R
2
) pour laquelle le module du champ de
gravitation terrestre est augmenté relativement de 10–3 par rapport à sa valeur G0 à l'altitude z = 0, en
considérant que la masse volumique de la croûte terrestre à faible profondeur est de l'ordre
m
2
.

B) Trajectoire d'un satellite artificiel
On considère un satellite, assimilé à un point matériel M, de masse m. On étudie le mouvement de M
dans le référentiel géocentrique défini par le centre O de la Terre, les axes OX, OY et OZ sont orientés vers
des étoiles lointaines. Ce référentiel sera considéré comme galiléen.
On notera
OM rer
On néglige toute autre force agissant sur le satellite devant la force de gravitation exercée par la
Terre.
1) a) Exprimer l'accélération
a
du satellite avec , G , r et
er
, puis avec G0, R, r et
er
.
b) Démontrer que
COM
v
est constant et que le mouvement est plan.
2) On choisit les axes OX et OY dans le plan du mouvement de M, et OZ dans le sens de
C
. Le
satellite M est repéré par ses coordonnées cylindriques d'axe OZ : r,  et Z = 0. Les vecteurs unitaires
correspondant à ce système de coordonnées sont notés
er
,
e
et
eZ
.
.
O Z
Y
X
M
.
r
er
e
eZ
M0
v0
a) Exprimer la vitesse
v
, l'accélération
a
et la constante
C
avec r, ,
rdr
dt
,
rd r
dt
2
2
,
d
dt
,
 d
dt
2
2
et les vecteurs unitaires
er
,
e
et
eZ
.
b) Démontrer que le mobile suit la loi des aires, (on précisera la relation entre la vitesse aréolaire
d S
dt
et la constante
C
).
c) On note
ur 1
,
udu
d
'
et
ud u
d
"
2
2
.
Démontrer les formules de Binet : v2 = C2 (u2 + u'2) et
a
= – C2u2 (u" + u)
er
.
d) Démontrer que la trajectoire de M est une conique dont on mettra l'équation en coordonnées
polaires sous la forme
rp
e
 1 cos( ) 
, (avec p, paramètre et e > 0, excentricité de la conique).
Exprimer le paramètre p avec C, G0 et R.

3) Le largage du satellite par la fusée a lieu à la date t = 0, on a alors  = 0, r = r0 et
v v e 0
. On pose
 =
r v
G R
0 02
02
.
a) Exprimer la constante C exprimée avec r0 et v0? Exprimer le paramètre p avec  et r0.
b) Quelle est la valeur u'0 de u' à t = 0 ? (On utilisera la première formule de Binet).
c) Utiliser les conditions initiales sur u et u' pour établir la relation entre e et . Préciser les valeurs
de  suivant la nature de la conique : cercle, ellipse, parabole, hyperbole.
d) Dans le cas où  > 1, quelle est la valeur de  ? quelle est celle de l'excentricité e ? Quelle est la
valeur ra de r à l'apogée de la trajectoire (c'est-à-dire la valeur maximale de r) ? Quelle est la valeur rp de r au
périgée (c'est-à dire la valeur minimale de r) ?
e) Répondre aux mêmes questions dans le cas où  < 1. Écrire une expression de r avec , r0 et 
valable quel que soit .
f) Pour des trajectoires elliptiques, exprimer le demi grand axe a, c = ae et le demi petit axe b avec r0
et .
g) préciser les valeurs numériques de e,
p
r0
,
a
r0
,
b
r0
et
c
r0
pour les valeurs suivantes de  : 0,5 ; 1 et
1,5. Tracer les trajectoires correspondantes sur un même dessin où seront représentés les axes OX et OY et
le point de largage M0, avec r0 représenté par 4 cm.
4) On considère un satellite d'orbite elliptique, toujours lancé dans les conditions du 3).
a) En utilisant les résultats précédents et la définition de , exprimer C2 avec , G0, R et a.
b) Compte tenu de l'expression S = ab de la surface de l'ellipse et de la loi des aires donner une
autre expression de C2, avec , a et la période T de révolution du satellite et retrouver la troisième loi de
Kepler.
c) La période de révolution de la Terre dans le référentiel considéré est T0 = 86 164 s. Quel doit être
le plan XOY et quelle doit être la valeur R0 de r0 exprimée avec T0, R et G0 pour que le satellite soit
géostationnaire ? Calculer numériquement l'altitude d'un tel satellite.
d) Quelle doit être la valeur V0 de la vitesse initiale v0 d'un tel satellite, exprimée avec T0, R et G0 ?
Calculer numériquement cette valeur.
e) Exprimer la période de révolution T du satellite avec R, r0, G0 et .
f) On largue un satellite avec la valeur r0 = R0 nécessaire et dans le plan XOY convenable pour qu'il
soit géostationnaire, avec une vitesse initiale de direction convenable, mais de module v0 = V0 + v0 avec
v0 << V0. Sa période de révolution est alors T0 + T.
En utilisant les différentielles logarithmiques de T et de , démontrer que
T
Tv V
0
0
0
3
.
g) Calculer numériquement v0 si l'on veut que le satellite tourne d'un tour par an par rapport à la
Terre.
5) Le satellite est maintenant largué à t = 0, avec  = 0, r = r0 et une vitesse de module v0 faisant un
angle 
 ] ; [0 
avec OX :
v v e e
r0 0
 (cos sin )  
, alors que cet angle était précédemment de 90°. On
notera comme précédemment  =
r v
G R
0 02
02
a) Exprimer C avec r0 , v0 et , puis le paramètre p avec r0,  et .
b) Exprimer la valeur initiale u'02 de u'2 avec r0 et  (on pourra utiliser la première formule de Binet)
puis celle de u'0, après avoir précisé son signe suivant la valeur de .

c) En déduire le système de deux équations d'inconnues e et  écrites avec les seuls paramètres  et
, dont on déduira la relation : e2 = 1 +  ( – 2) sin2 .
d) Montrer que la nature de la conique, ellipse, parabole ou hyperbole, ne dépend que de , mais que
le cas particulier où l'ellipse devient un cercle n'est possible que si  = 90°.
e) Dans le cas d'une trajectoire elliptique, montrer que le demi grand axe a ne dépend que de r0 et de
v0, mais pas de la valeur de l'angle .
f) Pour  = 60° et  = 1, calculer e et , puis a, c, b, p, ra et rp en fonction de r0.
g) Dans les conditions du f), tracer la trajectoire du satellite, avec r0 représenté par 4 cm, en montrant
clairement la signification de l'angle .
C) Énergie du satellite et orbite de transfert
1) Le satellite est largué avec r = r0 ,  = 0 et v = v0. L'orientation de
v0
étant quelconque.
L'énergie potentielle d'interaction entre le satellite et la Terre est choisie nulle pour r tendant vers
l'infini. a) Exprimer l'énergie mécanique E du satellite avec m, r0, v0, G0 et R, puis avec m, r0, G0, R et .
b) Compte tenu de la relation établie au B) 5) c), en déduire une expression de E mettant en évidence
le lien entre la nature de la conique et le signe de E.
c) Dans le cas d'une orbite elliptique, montrer que E ne dépend que du demi grand axe a, puis
exprimer v2 avec R, G0, r et a.
d) Dans le cas d'une orbite circulaire de rayon r0, exprimer v2 avec R, G0 et r0.
2) Le satellite se trouve sur une orbite circulaire basse, de rayon r1. On veut le faire passer sur une
orbite circulaire haute, de rayon r2.
Pour ce faire, au point P de son orbite basse, on accroît son énergie mécanique de E1 pour le faire
passer sur une orbite elliptique dont P soit le périgée et dont l'apogée A se trouve sur l'orbite haute. En A, on
accroît à nouveau son énergie mécanique, de E2 pour lui faire adopter sa nouvelle trajectoire circulaire.
P
A
O
r1
r2
a) Exprimer E1 puis E2, avec m, G0, R, r1 et r2.
b) Calculer numériquement E1 et E2 pour r1 = R0 (rayon de l'orbite géostationnaire calculée au B)
4) c)) et r2 = 1,1 R0, si la masse du satellite est m = 103 kg.
c) D'où peut provenir l'énergie mécanique nécessaire pour ces changements d'orbite ?