chap-2-cinematique-changements-de

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Chap. 2
Changements de Référentiels
I. Introduction : ........................................................................................................................... 2
I.1. Intérêt du changement de référentiel : ............................................................................. 2
I.2. Exemple qualitatif de changement de référentiel :........................................................... 2
II. Vitesses dans deux référentiels distincts – Loi de composition : .......................................... 3
II.1. Lois de composition des vitesses : .................................................................................. 3
II.2. Cas particuliers : ............................................................................................................. 4
II.2.1. Mouvement de translation pure : ............................................................................. 4
II.2.2. Mouvement de rotation pure :.................................................................................. 4
II.3. Cas général : ................................................................................................................... 5
II.4. Application au mouvement d'une roue : ......................................................................... 5
II.4.1. Référentiel non tournant : ........................................................................................ 5
III. Accélération dans deux référentiels distincts – Loi de composition : .................................. 7
III.1. Loi de composition des accélérations : ......................................................................... 7
III.2. Cas particuliers : ............................................................................................................ 8
III.2.1. Translation pure : ................................................................................................... 8
III.2.2. Rotation pure : ........................................................................................................ 8
2
Chap. 2
Changements de Référentiels
I. Introduction :
I.1. Intérêt du changement de référentiel :
Nous avons introduit la vitesse et l'accélération dans un référentiel fixe, donc galiléen, ou
absolu. Comme nous l'avons mentionné, ce référentiel est pratique, mais n'est pas conforme à
la réalité. La Terre ayant un mouvement de rotation autour du Soleil et sur elle-même, un
référentiel lié à la Terre n'est pas en toute rigueur galiléen. Pour expliquer la déviation d'un
obus, pour comprendre ce qui se passe lorsqu'un observateur est dans une voiture qui tourne,
il est nécessaire d'introduire des référentiels non galiléens. Le but de ce chapitre est donc de
déterminer le passage de référentiels galiléen à des référentiels non galiléens, et de déterminer
les nouvelles expressions des vecteurs position, vitesse, et accélération.
I.2. Exemple qualitatif de changement de référentiel :
Etudions
qualitativement
le
mouvement d'un point M sur une roue qui
tourne ssans glisser (Figure 1). Prenons
deux référentiels R et R' , le 1er étant fixe,
le 2ème étant mobile et lié au centre de la
roue.
Dans le référentiel R , c'est à dire pour
un observateur lié à O, le point M décrit
une
cycloïde,
alors
que,
pour
observateur lié à R' , il décrit un cercle.
un
Figure 1
3
II.
Vitesses
dans
deux
référentiels
distincts
composition :
II.1. Lois de composition des vitesses :
Supposons un référentiel fixe R , et un
référentiel R1
animé d'un mouvement
quelconque par rapport à R . Un repère
O, ex , ey , ez  est lié à R ,
repère O1, i1, j1, k1  est lié à R
tandis qu'un
1
(Figure 2).
Nous allons calculer la vitesse et
l'accélération dans le référentiel fixe. Nous
les appellerons par la suite vitesse absolue
et accélération absolue.
Figure 2
OM  OO1  O1M
va 
d OM d OO1 d O1M


dt
dt
dt


Le vecteur O1M a pour coordonnées dans le repère O1, i1, j1, k1 , x1, y1 et z1.

      
d O1M d x1i1  y1 j1  z1 k1
d x1i1 d y1 j1 d z1 k1




dt
dt
dt
dt
dt

dx1
d i dy
d j dz
dk
i1  x1 1  1 j1  y1 1  1 k1  z1 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dy
dz   d i
dj
dk 
 dx
  1 i1  1 j1  1 k1    x1 1  y1 1  z1 1 
dt
dt   dt
dt
dt 
 dt
La vitesse absolue devient :
va 
d OO1  dx1
dy
dz   d i
dj
dk 

i1  1 j1  1 k1    x1 1  y1 1  z1 1 
dt
dt
dt   dt
dt
dt 
 dt
–
Loi
de
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que l'on écrit encore :
va  vr ve
avec
dy
dz 
 dx
v r   1 i1  1 j1  1 k1 
dt
dt 
 dt
ve 
d OO1  d i1
dj
dk 
  x1
 y1 1  z1 1 
dt
dt
dt 
 dt
Le vecteur v r a une signification physique simple. C'est la vitesse de M dans le
référentiel mobile considéré comme fixe. Il est appelé vitesse relative de M. Le vecteur v e
est appelé vitesse d'entraînement et comporte deux composantes, le 1er décrivant la vitesse
d'un référentiel par rapport à l'autre, le 2ème faisant intervenir les dérivées par rapport au temps
des vecteurs de base du référentiel mobile.
II.2. Cas particuliers :
II.2.1. Mouvement de translation pure :
Supposons que R1 soit animé d'un mouvement de translation par rapport à R . Dans ce
cas, les vecteurs de base ne varient pas dans le temps. La vitesse d'entraînement se réduit à :
ve 
d OO1
dt
II.2.2. Mouvement de rotation pure :
Supposons maintenant que R1 tourne autour de R avec une vitesse angulaire , pas
nécessairement constante, et supposons pour simplifier que la rotation s'effectue autour de
l'axe (Oz). Les vecteurs i1 et j1 tournent autour de (Oz), alors que le vecteur k1 est constant.
d i1 d i1 d

  j1
dt d dt
5
d j1 d j1 d

  i1
dt
d dt

v e   x1 j1   y1i1   x1 j1  y1i1

Posons    k1 et calculons   O1M


  O1M   k1  x1i1  y1 j1  z1 k1  v e
v e    O1M
Le vecteur  est appelé vecteur rotation et est orthogonal au plan de rotation.
II.3. Cas général :
Supposons que R1 ait un mouvement quelconque par rapport à R . On peut montrer qu'à
chaque instant ce mouvement est décomposable en un mouvement de translation et de
rotation. Alors le vecteur  change à chaque instant. Il est appelé vecteur rotation
instantané. La vitesse absolue est :
va  vr  ve  vr 
d OO1
   O1M
dt
II.4. Application au mouvement d'une roue :
Prenons comme exemple une roue qui tourne sans glisser avec une vitesse angulaire ,
dont le centre O1 se déplace avec une vitesse uniforme vo, et appliquons la loi de composition
des vitesses. Nous prendrons deux exemples de référentiels mobiles. L'un est en translation
par rapport à R, l'autre tourne à la même vitesse angulaire que la roue.
II.4.1. Référentiel non tournant :
Le référentiel R ' est en translation par rapport à R (Figure 3). Les vecteurs de base
associés sont donc constants au cour du temps.
0
0
O' M R cos t dans le repère O' , ex' , e y ' , ez ' et OO ' v ot
R sin t
R


6
0
d OO '
d OO1
ve 
   O' M 
vo
dt
dt
0
puisque
 = 0.
0
0
v r  R sin t d'où v a v o  R sin t
R cos t
R cos t
Par ailleurs, l'exemple est tellement
simple que la vitesse absolue peut être
calculée directement, sans passer par la loi de
Figure 3
composition des vitesses.
Prenons maintenant un référentiel tournant qui suit le point M (Figure 4).
Figure 4

0
 0 et O ' M R dans le repère O' , ex' , e y ' , ez '
0
0

0
donc   O' M 0

dans ce même repère. Il faut transformer cette quantité dans le repère
R
O, ex , ey , ez  pour avoir la vitesse absolue dans ce repère-ci.
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ex '  ex
0

e y '  cos t e y  sin t ez , ce qui donne   O' M  R cos t

R sin t
ez '   sin t e y  cos t ez
Les deux autres termes ne changent pas. Nous obtenons la même expression de la vitesse
absolue.
III. Accélération dans deux référentiels distincts – Loi de
composition :
III.1. Loi de composition des accélérations :
La procédure est identique à celle que nous avons adoptée pour les vitesses.
va  vr  ve  vr 
d OO1
   O1M
dt
donc

d v a d v r d v e d v r d 2 OO1 d   O1M





dt
dt
dt
dt
dt
dt 2

d v r d 2 x1
d2y
d 2z
dx d i dy d j dz d k
 2 i1  21 j1  21 k1  1 1  1 1  1 1
dt
dt dt
dt dt
dt dt
dt
dt
dt
Le terme
d 2 x1
dt 2
i1 
d 2 y1
dt 2
a r . Le deuxième terme de
la même manière que x1
j1 
d 2 z1
dt 2
dv r
est analogue à ce que nous avions trouvé précédemment. De
dt
d i1
dj
dk
 y1 1  z1 1    O1M , nous obtenons :
dt
dt
dt
dx1 d i1 dy1 d j1 dz1 d k1


   vr
dt dt
dt dt
dt dt


d   O1M
d
dO M

 O1M    1
dt
dt
dt
d O1M
 v r    O1M
dt
donc
k1 est appelé accélération relative de M et est noté
8



d   O1M
d

 O1M    v r    O1M
dt
dt


d
 O1M    v r      O1M
dt


Finalement, l'accélération absolue s'écrit :
aa  ar  ae  ac
avec
ar 
ae 
d 2 x1
dt 2
d 2 OO1
dt
2

i1 
d 2 y1
dt 2
j1 
d 2 z1
dt 2

k1
d
 O1M      O1M
dt

ac    v r
Les termes ae et ac sont appelés respectivement accélérations d'entraînement et
complémentaire (ou de Coriolis). Les expressions des diverses composantes peuvent paraître
effrayantes, mais dans la plupart des cas concrets, ces expressions se simplifient fortement.
III.2. Cas particuliers :
III.2.1. Translation pure :
Il n'y a pas de rotation, donc  = 0, ce qui se traduit par ac = 0 et a e 
d 2 OO1
dt 2
III.2.2. Rotation pure :
d 2 OO1
dt 2
 0 . De plus, si la rotation est uniforme,
d
 O1M  0 . Dans de nombreux cas, les
dt
axes tournant sont choisis de telle manière que le point M soit fixe dans le référentiel tournant,
ce qui donne v r  0 , donc ac = 0.