1 Chap. 2 Changements de Référentiels I. Introduction : ........................................................................................................................... 2 I.1. Intérêt du changement de référentiel : ............................................................................. 2 I.2. Exemple qualitatif de changement de référentiel :........................................................... 2 II. Vitesses dans deux référentiels distincts – Loi de composition : .......................................... 3 II.1. Lois de composition des vitesses : .................................................................................. 3 II.2. Cas particuliers : ............................................................................................................. 4 II.2.1. Mouvement de translation pure : ............................................................................. 4 II.2.2. Mouvement de rotation pure :.................................................................................. 4 II.3. Cas général : ................................................................................................................... 5 II.4. Application au mouvement d'une roue : ......................................................................... 5 II.4.1. Référentiel non tournant : ........................................................................................ 5 III. Accélération dans deux référentiels distincts – Loi de composition : .................................. 7 III.1. Loi de composition des accélérations : ......................................................................... 7 III.2. Cas particuliers : ............................................................................................................ 8 III.2.1. Translation pure : ................................................................................................... 8 III.2.2. Rotation pure : ........................................................................................................ 8 2 Chap. 2 Changements de Référentiels I. Introduction : I.1. Intérêt du changement de référentiel : Nous avons introduit la vitesse et l'accélération dans un référentiel fixe, donc galiléen, ou absolu. Comme nous l'avons mentionné, ce référentiel est pratique, mais n'est pas conforme à la réalité. La Terre ayant un mouvement de rotation autour du Soleil et sur elle-même, un référentiel lié à la Terre n'est pas en toute rigueur galiléen. Pour expliquer la déviation d'un obus, pour comprendre ce qui se passe lorsqu'un observateur est dans une voiture qui tourne, il est nécessaire d'introduire des référentiels non galiléens. Le but de ce chapitre est donc de déterminer le passage de référentiels galiléen à des référentiels non galiléens, et de déterminer les nouvelles expressions des vecteurs position, vitesse, et accélération. I.2. Exemple qualitatif de changement de référentiel : Etudions qualitativement le mouvement d'un point M sur une roue qui tourne ssans glisser (Figure 1). Prenons deux référentiels R et R' , le 1er étant fixe, le 2ème étant mobile et lié au centre de la roue. Dans le référentiel R , c'est à dire pour un observateur lié à O, le point M décrit une cycloïde, alors que, pour observateur lié à R' , il décrit un cercle. un Figure 1 3 II. Vitesses dans deux référentiels distincts composition : II.1. Lois de composition des vitesses : Supposons un référentiel fixe R , et un référentiel R1 animé d'un mouvement quelconque par rapport à R . Un repère O, ex , ey , ez est lié à R , repère O1, i1, j1, k1 est lié à R tandis qu'un 1 (Figure 2). Nous allons calculer la vitesse et l'accélération dans le référentiel fixe. Nous les appellerons par la suite vitesse absolue et accélération absolue. Figure 2 OM OO1 O1M va d OM d OO1 d O1M dt dt dt Le vecteur O1M a pour coordonnées dans le repère O1, i1, j1, k1 , x1, y1 et z1. d O1M d x1i1 y1 j1 z1 k1 d x1i1 d y1 j1 d z1 k1 dt dt dt dt dt dx1 d i dy d j dz dk i1 x1 1 1 j1 y1 1 1 k1 z1 1 dt dt dt dt dt dt dy dz d i dj dk dx 1 i1 1 j1 1 k1 x1 1 y1 1 z1 1 dt dt dt dt dt dt La vitesse absolue devient : va d OO1 dx1 dy dz d i dj dk i1 1 j1 1 k1 x1 1 y1 1 z1 1 dt dt dt dt dt dt dt – Loi de 4 que l'on écrit encore : va vr ve avec dy dz dx v r 1 i1 1 j1 1 k1 dt dt dt ve d OO1 d i1 dj dk x1 y1 1 z1 1 dt dt dt dt Le vecteur v r a une signification physique simple. C'est la vitesse de M dans le référentiel mobile considéré comme fixe. Il est appelé vitesse relative de M. Le vecteur v e est appelé vitesse d'entraînement et comporte deux composantes, le 1er décrivant la vitesse d'un référentiel par rapport à l'autre, le 2ème faisant intervenir les dérivées par rapport au temps des vecteurs de base du référentiel mobile. II.2. Cas particuliers : II.2.1. Mouvement de translation pure : Supposons que R1 soit animé d'un mouvement de translation par rapport à R . Dans ce cas, les vecteurs de base ne varient pas dans le temps. La vitesse d'entraînement se réduit à : ve d OO1 dt II.2.2. Mouvement de rotation pure : Supposons maintenant que R1 tourne autour de R avec une vitesse angulaire , pas nécessairement constante, et supposons pour simplifier que la rotation s'effectue autour de l'axe (Oz). Les vecteurs i1 et j1 tournent autour de (Oz), alors que le vecteur k1 est constant. d i1 d i1 d j1 dt d dt 5 d j1 d j1 d i1 dt d dt v e x1 j1 y1i1 x1 j1 y1i1 Posons k1 et calculons O1M O1M k1 x1i1 y1 j1 z1 k1 v e v e O1M Le vecteur est appelé vecteur rotation et est orthogonal au plan de rotation. II.3. Cas général : Supposons que R1 ait un mouvement quelconque par rapport à R . On peut montrer qu'à chaque instant ce mouvement est décomposable en un mouvement de translation et de rotation. Alors le vecteur change à chaque instant. Il est appelé vecteur rotation instantané. La vitesse absolue est : va vr ve vr d OO1 O1M dt II.4. Application au mouvement d'une roue : Prenons comme exemple une roue qui tourne sans glisser avec une vitesse angulaire , dont le centre O1 se déplace avec une vitesse uniforme vo, et appliquons la loi de composition des vitesses. Nous prendrons deux exemples de référentiels mobiles. L'un est en translation par rapport à R, l'autre tourne à la même vitesse angulaire que la roue. II.4.1. Référentiel non tournant : Le référentiel R ' est en translation par rapport à R (Figure 3). Les vecteurs de base associés sont donc constants au cour du temps. 0 0 O' M R cos t dans le repère O' , ex' , e y ' , ez ' et OO ' v ot R sin t R 6 0 d OO ' d OO1 ve O' M vo dt dt 0 puisque = 0. 0 0 v r R sin t d'où v a v o R sin t R cos t R cos t Par ailleurs, l'exemple est tellement simple que la vitesse absolue peut être calculée directement, sans passer par la loi de Figure 3 composition des vitesses. Prenons maintenant un référentiel tournant qui suit le point M (Figure 4). Figure 4 0 0 et O ' M R dans le repère O' , ex' , e y ' , ez ' 0 0 0 donc O' M 0 dans ce même repère. Il faut transformer cette quantité dans le repère R O, ex , ey , ez pour avoir la vitesse absolue dans ce repère-ci. 7 ex ' ex 0 e y ' cos t e y sin t ez , ce qui donne O' M R cos t R sin t ez ' sin t e y cos t ez Les deux autres termes ne changent pas. Nous obtenons la même expression de la vitesse absolue. III. Accélération dans deux référentiels distincts – Loi de composition : III.1. Loi de composition des accélérations : La procédure est identique à celle que nous avons adoptée pour les vitesses. va vr ve vr d OO1 O1M dt donc d v a d v r d v e d v r d 2 OO1 d O1M dt dt dt dt dt dt 2 d v r d 2 x1 d2y d 2z dx d i dy d j dz d k 2 i1 21 j1 21 k1 1 1 1 1 1 1 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Le terme d 2 x1 dt 2 i1 d 2 y1 dt 2 a r . Le deuxième terme de la même manière que x1 j1 d 2 z1 dt 2 dv r est analogue à ce que nous avions trouvé précédemment. De dt d i1 dj dk y1 1 z1 1 O1M , nous obtenons : dt dt dt dx1 d i1 dy1 d j1 dz1 d k1 vr dt dt dt dt dt dt d O1M d dO M O1M 1 dt dt dt d O1M v r O1M dt donc k1 est appelé accélération relative de M et est noté 8 d O1M d O1M v r O1M dt dt d O1M v r O1M dt Finalement, l'accélération absolue s'écrit : aa ar ae ac avec ar ae d 2 x1 dt 2 d 2 OO1 dt 2 i1 d 2 y1 dt 2 j1 d 2 z1 dt 2 k1 d O1M O1M dt ac v r Les termes ae et ac sont appelés respectivement accélérations d'entraînement et complémentaire (ou de Coriolis). Les expressions des diverses composantes peuvent paraître effrayantes, mais dans la plupart des cas concrets, ces expressions se simplifient fortement. III.2. Cas particuliers : III.2.1. Translation pure : Il n'y a pas de rotation, donc = 0, ce qui se traduit par ac = 0 et a e d 2 OO1 dt 2 III.2.2. Rotation pure : d 2 OO1 dt 2 0 . De plus, si la rotation est uniforme, d O1M 0 . Dans de nombreux cas, les dt axes tournant sont choisis de telle manière que le point M soit fixe dans le référentiel tournant, ce qui donne v r 0 , donc ac = 0.