Exercices 17

MPSI CHAPITRE 17
EXERCICES
17-1 Étude mécanique d'un haut-parleur
On modélise la partie mécanique d'un haut-parleur par une masse m, assimilée à un point matériel M, se déplaçant sur une
tige horizontale Ox, reliée à un ressort de longueur à vide L0 et de raideur k, et liée à un amortisseur fluide (piston solidaire de M, se
déplaçant dans un liquide) qui exerce sur M la force
vf
. La masse m est celle du noyau de fer et du cône du haut-parleur, elle est
soumise en plus à une force magnétique
F
proportionnelle au courant i(t) entrant dans la bobine (fixe) du haut-parleur.
On a
x uKiF
avec i = Im cos(t) ; m = 10 g ; k = 15.103 N.m–1 ; K = 200 N.A–1 ; Im = 1,0 A ;  = 2.103 rad.s–1.
1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse x =
OM
de M (O étant la position de M lorsque le ressort n'est ni tendu
ni comprimé).
2) La "normaliser" (c'est-à-dire la réécrire avec Q et 0).
On veut
2
1
Q
. Calculer le coefficient f.
3) Déterminer l'expression de la réponse forcée x = Xm cos(t + ) en calculant Xm et .
4) Tracer l'allure de la courbe représentant Xm en fonction de . Quelle est la bande passante du système pour l'amplitude Xm.
i(t)
aimant
bobine
cône
suspension
élastique
noyau de fer
Haut-parleur
i(t)
aimant
bobine
cône
suspension
élastique
noyau de fer
Haut-parleur
x
M
O
.
F
(L0, k)
Modèle
mécanique
f
x
M
O
.
F
(L0, k)
Modèle
mécanique
x
M
O
.
F
(L0, k)
x
M
O
.
F
(L0, k)
Modèle
mécanique
f

17-2 Ressorts en série, ressorts en parallèle
On dispose de deux ressorts parfaitement élastiques, de masses négligeables devant la masse m du point matériel M, de
raideurs k et k ', de longueurs à vide L0 et L'0.
1) Les ressorts et M sont enfilés sur une tige horizontale comme l'indique le dessin ci-dessous. La distance entre les deux
supports est fixe et vaut L0 + L'0. Le point O est la position de M quand les ressorts ont leurs longueurs à vide et la position de M est
repérée par
OMx
.
La force de frottement exercée par la tige sur M est négligée mais l'ensemble est plongé dans un fluide de viscosité , de
masse volumique µ, et M qui est une sphère de rayon r subit une force de frottement fluide
vr6
. On notera  = 6r.
Écrire l'équation différentielle du mouvement. Quelle est la raideur K du ressort équivalent aux deux ressorts.
Représenter le dispositif sous la forme d'un circuit mécanique après avoir précisé si les ressorts sont analogues à des
condensateurs en série ou en parallèle.
2) Les deux ressorts sont maintenant attachés l'un à l'autre comme le montre le dessin ci-dessous.
Exprimer la longueur L' du ressort (L'0,k ') en fonction de la longueur L de l'autre ressort, avec k, k ' , L0 et L'0 et en déduire la
relation entre l'abscisse x de M et la longueur L, avec k, k ' et L0.. Exprimer la force de rappel exercée sur M par le ressort auquel il est
attaché. Quelle est la raideur du ressort équivalent, pour le point M, aux deux ressorts ainsi groupés.
Représenter le dispositif sous la forme d'un circuit mécanique après avoir précisé si les ressorts sont analogues à des
condensateurs en série ou en parallèle.
3) Les deux ressorts sont enfilés l'un dans l'autre, accrochés au point A fixe et, à l'autre extrémité, à M. Le tout est suspendu
verticalement. On note L la longueur AM commune aux deux ressorts et Léq sa valeur à l'équilibre.
Démontrer que l'ensemble des deux ressorts exerce sur M la même force qu'un ressort unique (K,0) : exprimer K avec k et k
' et 0 avec L0, L'0, k et k '.
Écrire la relation vérifiée par la valeur Léq de L à l'équilibre, avec K, 0, L, m, g, µ et r (rayon de la boule M).
La position O de M à l'équilibre (en l'absence de force excitatrice) est prise comme origine des abscisses x.
M est soumis, en plus de son poids, de la poussée d'Archimède, de la force de frottement visqueux et des forces exercées par
les ressorts, à une force excitatrice
x uff
. Écrire l'équation différentielle vérifiée par x avec K, , m et f.
Représenter le dispositif sous la forme d'un circuit mécanique
.
O M
L0L'0
x
kk '
.
O M
L0L'0
x
kk '
(k ' , L'0)(k , L0)
M
x
.
O
L0+ L'0
(k ' , L'0)(k , L0)
M
x
.
O
(k ' , L'0)(k , L0)
M
x
.
O
L0+ L'0
M
x
A
M
x
A