Convergence des intégrales impropres

CONVERGENCE DES INTEGRALES IMPROPRES
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1. Problématique des sujets de concours
Il est fréquent de rencontrer des intégrales dites généralisées ou impropres c’est-à-dire dont
l’une des deux bornes d’intégration ou les 2 bornes :
 n’appartiennent pas au domaine de définition de la fonction à intégrer ;
 sont égales à + ou – 
Dire qu’une intégrale convergence revient à considérer que son calcul (que l’on n’effectue pas
à ce stade et qu’il est parfois difficile à effectuer car la fonction à intégrer n’admet pas de
2
primitive, comme c’est le cas de e  x ) conduirait à trouver un nombre réel et non une forme
indéterminée ou + ou –  .
2. Critères de Riemann
Remarque liminaire.
Si, au voisinage de l’infini ou d’un point n’appartenant pas à son domaine de définition, une
fonction f est équivalente à une fonction g dont l’intégrale est convergente alors l’intégrale de
f est également convergente.
Par conséquent :
Pour répondre à la question de la convergence de l’intégrale, il convient – quasi
systématiquement – de se ramener, via des équivalents, aux critères de Riemann à savoir :



dx
converge si  >1
x
b
b
dx
dx
les intégrales 
et
a ( x  b) convergent si  < 1
a ( x  a)
l’intégrale

a
3. Autres critères de convergence et de divergence
Si une intégrale impropre I est majorée par une intégrale convergente, alors I est également
convergente.
Si une intégrale impropre I est minorée par une intégrale divergente, alors I est également
divergente.
4. Eléments de résolution du problème de la convergence au voisinage de - 
Si f est paire alors



f ( x)dx = 2 

0
f ( x)dx . La question de la convergence est alors limitée
au voisinage de +  et on utilise alors les critères précédents.
Si f est impaire alors



f ( x)dx = 0. La question de la convergence est alors d’emblée
résolue.
5. Exemples introductifs simples
Etudier la convergence des intégrales suivantes :
a) 

dx
,
x
  dx
2
b) 
1
c) 
2
1 3
x
dx
,
x2
a) la fonction à intégrer est définie et continue sur  *. Le problème de la convergence
se pose donc au voisinage de +  . Or, d’après le critère de Riemann, on sait que, au
1
voisinage de +  , l’intégrale de la fonction  converge si  >1. Or ici  =1 donc
x
l’intégrale diverge.

NB : son calcul conduirait à écrire ln x 2 =lim lnx (pour x   ) – ln2 =+ 
b) la fonction à intégrer est définie et continue sur  *+. Le problème de la convergence
se pose donc au voisinage de +  . Or, d’après le critère de Riemann, on sait que, au
1
voisinage de +  , l’intégrale de la fonction  converge si  >1. Or ici  =0,5<1
x
donc l’intégrale diverge.
c) la fonction à intégrer est définie et continue sur  - 2. Le problème de la
convergence se pose donc au voisinage de 1. Or, d’après le critère de Riemann, on sait
1
que , au voisinage de b, l’intégrale de la fonction
converge si  <1. Or ici b
( x  b) 
b=2 et  =1/3 <1 donc l’intégrale converge
6. Exemples plus sophistiqués mais TRES CLASSIQUES dans les problèmes de
concours.
Etudier la convergence des intégrales suivantes :

dx
,
x  x 1
1
dx
b) 
,
1 3
x2 1
a) 
2
0

c)  x n e ax dx avec a>0 et n  N ,
0

d)  e

x2
2

dx.
1
est définie et continue sur  (le discriminant
x  x 1
du dénominateur étant négatif, l’équation x2+x+1=0 n’admet pas de solution réelle ;
par conséquent, le dénominateur ne peut être égal à 0 . Le problème de la convergence
de l’intégrale impropre se pose donc exclusivement au voisinage de l’infini.
1
1
1
 2 =  avec  =2>1. Donc, d’après le critère de
Or, au voisinage de l’infini 2
x  x 1 x
x
Riemann, l’intégrale converge.
a) La fonction f définie par f(x)=
2
est définie et continue sur  -  1;1 . Le
x2 1
problème de la convergence de l’intégrale impropre se pose donc aux deux bornes de
l’intégrale. Or :
1
b) La fonction f définie par f(x)=
f(x)=

1
3
x 1
2
=
1
3
( x  1)( x  1)
. Donc :
Au voisinage de –1 : f(x) 
1
1
3
2
3
( x  1)
=3
1
2
1
1
3
=3
1
avec

 2 ( x  1)
1
( x  1)
 =1/3<1 donc, d’après le critère de Riemann, l’intégrale est convergente au voisinage
de –1.
1
1
1
1
1
1
 Au voisinage de +1 : f(x)  3
=3
=3
avec

1
3
2 ( x  1)
2
 2 ( x  1)
3
( x  1)
 =1/3<1 donc, d’après le critère de Riemann, l’intégrale est également convergente
au voisinage de +1.
Conclusion : l’intégrale est convergente.
c) La fonction f définie par f(x)= x n e  ax est définie et continue sur  . La question de la
convergence se pose donc au voisinage de l’infini.
Or on sait que lim x n e  ax =0 quand x   . Donc de même : lim x n 2 e  ax =0 quand x  
ce qui équivaut à écrire :
  0,   0 / x   , x n  2 e  ax  
Soit   1. Dès lors :0  x n 2 e  ax <1. Donc : x n e  ax <
1
1
=  avec  =2>1. Donc, d’après le
2
x
x
critère de Riemann, l’intégrale converge.
NB : il est essentiel de retenir cette démonstration avec notamment l’astuce du passage par la
limite connue de x2f(x), comme si elle constituait une partie intégrante du cours.

x2
2
d) La fonction f définie par f(x)= e
est définie et continue sur  . La question de la
convergence se pose donc au voisinage de l’infini.
En outre f (-x)= e

x2
2
=f(x) donc f est paire. Par conséquent :



e

x2
2

dx=2  e
0

x2
2
. La
question de la convergence se pose donc finalement seulement au voisinage de +  .

x2
2
Or on sait que lim x e =0 quand x   . Donc de même : lim x
ce qui équivaut à écrire :
n
  0,   0 / x   , x
n2
Soit   1. Dès lors :0  x
n2
e
e

x2
2

x2
2
n2
e

x2
2
==0 quand x  

n
<1. Donc : x e

x2
2
<
1
1
=  avec  =2>1. Donc, d’après le
2
x
x
critère de Riemann, l’intégrale converge.
NB : il est essentiel de retenir cette démonstration avec notamment l’astuce du passage par la
limite connue de x2f(x), comme si elle constituait une partie intégrante du cours.
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