Convergence des intégrales impropres

CONVERGENCE DES INTEGRALES IMPROPRES
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1. Problématique des sujets de concours
Il est fréquent de rencontrer des intégrales dites généralisées ou impropres c’est-à-dire dont
l’une des deux bornes d’intégration ou les 2 bornes :
 n’appartiennent pas au domaine de définition de la fonction à intégrer ;
 sont égales à + ou –
Dire qu’une intégrale convergence revient à considérer que son calcul (que l’on n’effectue pas
à ce stade et qu’il est parfois difficile à effectuer car la fonction à intégrer n’admet pas de
primitive, comme c’est le cas de
2
x
e
) conduirait à trouver un nombre réel et non une forme
indéterminée ou + ou – .
2. Critères de Riemann
Remarque liminaire.
Si, au voisinage de l’infini ou d’un point n’appartenant pas à son domaine de définition, une
fonction f est équivalente à une fonction g dont l’intégrale est convergente alors l’intégrale de
f est également convergente.
Par conséquent :
Pour répondre à la question de la convergence de l’intégrale, il convient – quasi
systématiquement – de se ramener, via des équivalents, aux critères de Riemann à savoir :
 l’intégrale
ax
dx
converge si >1
 les intégrales
b
aax dx
)(
et
b
abx dx
)(
convergent si < 1
3. Autres critères de convergence et de divergence
Si une intégrale impropre I est majorée par une intégrale convergente, alors I est également
convergente.
Si une intégrale impropre I est minorée par une intégrale divergente, alors I est également
divergente.

4. Eléments de résolution du problème de la convergence au voisinage de -
Si f est paire alors
 dxxf )(
= 2
0)( dxxf
. La question de la convergence est alors limitée
au voisinage de + et on utilise alors les critères précédents.
Si f est impaire alors
 dxxf )(
= 0. La question de la convergence est alors d’emblée
résolue.
5. Exemples introductifs simples
Etudier la convergence des intégrales suivantes :
a)
2x
dx
,
b)
1x
dx
,
c)
2
132x
dx
a) la fonction à intégrer est définie et continue sur
*. Le problème de la convergence
se pose donc au voisinage de + . Or, d’après le critère de Riemann, on sait que, au
voisinage de + , l’intégrale de la fonction
x
1
converge si >1. Or ici =1 donc
l’intégrale diverge.
NB : son calcul conduirait à écrire
2
ln x
=lim lnx (pour x ) – ln2 =+
b) la fonction à intégrer est définie et continue sur *+. Le problème de la convergence
se pose donc au voisinage de + . Or, d’après le critère de Riemann, on sait que, au
voisinage de + , l’intégrale de la fonction
x
1
converge si >1. Or ici =0,5<1
donc l’intégrale diverge.
c) la fonction à intégrer est définie et continue sur -
2
. Le problème de la
convergence se pose donc au voisinage de 1. Or, d’après le critère de Riemann, on sait
que , au voisinage de b, l’intégrale de la fonction
)( 1bx 
converge si <1. Or ici b
b=2 et =1/3 <1 donc l’intégrale converge

6. Exemples plus sophistiqués mais TRES CLASSIQUES dans les problèmes de
concours.
Etudier la convergence des intégrales suivantes :
a)
021xx dx
,
b)
1
1321x
dx
,
c)
0dxex axn
avec a>0 et n N ,
d)
2
2
x
e
dx.
a) La fonction f définie par f(x)=
1
1
2 xx
est définie et continue sur (le discriminant
du dénominateur étant négatif, l’équation x2+x+1=0 n’admet pas de solution réelle ;
par conséquent, le dénominateur ne peut être égal à 0 . Le problème de la convergence
de l’intégrale impropre se pose donc exclusivement au voisinage de l’infini.
Or, au voisinage de l’infini
1
1
2 xx
2
1
x
=
x
1
avec =2>1. Donc, d’après le critère de
Riemann, l’intégrale converge.
b) La fonction f définie par f(x)=
1
1
2x
est définie et continue sur -
1;1
. Le
problème de la convergence de l’intégrale impropre se pose donc aux deux bornes de
l’intégrale. Or :
f(x)=
321
1
x
=
3)1)(1(
1
 xx
. Donc :
 Au voisinage de –1 : f(x)
32
1
3)1(
1
x
=
32
1
3
1
)1(
1
x
=
32
1
)1( 1 x
avec
=1/3<1 donc, d’après le critère de Riemann, l’intégrale est convergente au voisinage
de –1.
 Au voisinage de +1 : f(x)
32
1
3)1(
1
x
=
32
1
3
1
)1(
1
x
=
32
1
)1( 1 x
avec
=1/3<1 donc, d’après le critère de Riemann, l’intégrale est également convergente
au voisinage de +1.
Conclusion : l’intégrale est convergente.

c) La fonction f définie par f(x)=
axnex 
est définie et continue sur . La question de la
convergence se pose donc au voisinage de l’infini.
Or on sait que lim
axnex 
=0 quand x . Donc de même : lim
axnex 2
=0 quand x
ce qui équivaut à écrire :
  axnexx 2 ,/0,0
Soit
1
. Dès lors :0
axnex 2
<1. Donc :
axnex 
<
2
1
x
=
x1
avec =2>1. Donc, d’après le
critère de Riemann, l’intégrale converge.
NB : il est essentiel de retenir cette démonstration avec notamment l’astuce du passage par la
limite connue de x2f(x), comme si elle constituait une partie intégrante du cours.
d) La fonction f définie par f(x)=
2
2
x
e
est définie et continue sur . La question de la
convergence se pose donc au voisinage de l’infini.
En outre f (-x)=
2
2
x
e
=f(x) donc f est paire. Par conséquent :
2
2
x
e
dx=2
0
2
2
x
e
. La
question de la convergence se pose donc finalement seulement au voisinage de + .
Or on sait que lim
2
2
x
nex 
=0 quand x . Donc de même : lim
2
2
2
x
nex 
==0 quand x
ce qui équivaut à écrire :
2 2
2
,/0,0 x
nexx
Soit
1
. Dès lors :0
2
2
2
x
nex 
<1. Donc :
2
2
x
nex 
<
2
1
x
=
x1
avec =2>1. Donc, d’après le
critère de Riemann, l’intégrale converge.
NB : il est essentiel de retenir cette démonstration avec notamment l’astuce du passage par la
limite connue de x2f(x), comme si elle constituait une partie intégrante du cours.
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