Principes de la morphologie mathématique

Master 1 Electronique Biomédicale
La morphologie
mathématique
Préparé par :
*Benmalek Imen
*Lahmar Asma
Plan de travail
Etudier théoriquement la morphologie mathématique
Objectifs
Introduction
Historique
Applications
Morphologie mathématique : problématique
Principes de la morphologie mathématique
Notions élémentaires
 Voisinage
 Connexité
Transformation morphologique, élément structurant
Morphologie binaire (cas ensembliste)
 Image binaire
 La réflexion
 Le complément et la différence
 ensembliste
 L’addition et la soustraction de Minkowski
 L’érosion et la dilatation
 L’érosion
 La dilatation
 Algorithme de dilatation et érosion
 L’ouverture et la fermeture
Etudier la morphologie mathématique cotée programmation
Le programme sous MATLAB (érosion-dilatation-ouverture-fermeture)
Conclusion
Bibliographie
Etudier théoriquement la morphologie mathématique
Objectifs :
 Obtention d’un ensemble de points connectés ayant une forme simple
(pour une image binaire).
 Obtention des principales composantes connexes (en faible nombre).
 Régularisation des formes du signal d’image.
Introduction :
La morphologie mathématique a été conçue au milieu des années 60 à l’ENSMP, au
laboratoire de Fontainebleu. Les inventeurs principaux ont été George Matheron et son
étudiant en thèse Jean Serra.
La morphologie mathématique fut introduire dans le but initialement de mesurer des objets
binaires dans des images. Rapidement, elle est devenue une théorie complète basée sur des
ensembles. Elle est aujourd’hui très couramment utilisée en traitement d’image dans des
phases de prétraitement telles que le lissage, le dé-bruitage, la détection de contours,
l’extraction de primitives ou de squelette. La morphologie est basée sur l’utilisation
d’opérateurs sur les ensembles (interaction, union, inclusion, complément) pour transformer
une image. L’image transformée possède généralement moins de détails, mais ses
principales caractéristiques restent présentes. Une fois l’image simplifiée, elle devient plus
propice à l’analyse.
Bien qu’elle ne soit pas limitée au traitement des images, la morphologie mathématique y
trouve un immense champ d’applications. Cette technique repose sur le principe consistant
à comparer des structures inconnues (les images que l’on étudie) à un ensemble de formes,
les éléments structurants, dont on maitrise les caractéristiques. La comparaison est effectuée
au travers de relations booléennes telles l’intersection ou l’inclusion.
Historique :
La morphologie mathématique a été inventée en 1964 par Georges Matheron et Jean
Serra dans les laboratoires de Mines Paris Tech. Son développement a toujours été
fortement motivé par des applications industrielles. Dans un premier temps, il s'est agi de
répondre à des problèmes dans le domaine de l'exploitation minière, mais très vite ses
champs d'applications se sont diversifiés : biologie, imagerie médicale, sciences des
matériaux, vision industrielle, multimédia, télédétection et géophysique constituent
quelques exemples de domaines dans lesquels la morphologie mathématique a apporté une
contribution importante.
La morphologie mathématique a été créée pour résoudre certains problèmes pour lesquels
les méthodes classiques étaient inadaptées. C’était le cas, en particulier en géologie et
métallurgie ou la notion d’objet individuel perdait tout son sens puisque celui-ci ne pouvait
être connu que partiellement dans le champ d’un oculaire de microscope.
La quantification des structures géologiques a conduit Georges Matheron de l’école des
Mines de paris à construire les outils mathématiques nécessaires à cette analyse. Il a été
aidé très rapidement par Jean Serra. Ils ont ainsi constitué un groupe de recherche qui est
devenu le Centre de Morphologie Mathématique et de Géostatique de Fontainebleu.
La période historique se divise en deux étapes. En effet, dans ces premiers développements
la morphologie mathématique n’avait qu’un caractère strictement ensembliste. Ensuite ces
notions ont été étendues aux fonctions.
Première époque « ensembliste » :
Il va de soi que les deux époques ne sont pas strictement séparables, mais pour simplifier,
on peut dire que cette première époque s’arrête lorsque les concepteurs de la morphologie
mathématique l’étendent au domaine fonctionnel.
Cette époque commence « officiellement » en 1965 par la parution du premier livre de
G.Matheron suivi du second. En 1969, J.Serra publie un document synthétique décrivant les
grands principes de la morphologie mathématique.
Deuxième époque « généralisation des concepts » :
Dès 1982 C.Lantuéjoul et J.Serra rédigent une publication étendant aux fonctions les
opérateurs morphologiques. En 1984, un cours sur les filtrages est fait par J.Serra à
Fontainebleu. Enfin, en 1989 un second tome complète le livre de 1982.
Applications :
On distingue trois grandes classes d’applications :
• Filtrage d’images : suppression d’objets ne satisfaisant pas certains critères
morphologiques.
• Mesure d’images : à chaque image (mesure globale) ou à chaque point d’une image
(mesure locale) on associe une mesure. Exemple : courbes granulométriques, extraction de
caractéristiques fondée sur des critères morphologiques et géométriques.
• Segmentation d’images : paradigme de la segmentation morphologique, s’appuyant sur le
concept de ligne de partage des eaux.
Morphologie mathématique : problématique
Par les technique de filtrage et d’analyse basée sur des théories ensemblistes et
algébriques ; la séparation de deux composantes en appliquant un certain nombre de filtres
qui permettent de modifier la forme et la topologie des structures dans l’image et enfin
comparer deux formes en utilisant un élément de référence qui est l’élément structurant.
J.Piaget a défini la morphologie mathématique comme suit :
Figure 1 Problème résolus dans la MM
« L’action commence par conférer aux objets des caractères qu’ils ne possédaient pas par
eux-mêmes, et l’expérience porte sur la liaison entre les caractères introduits par l’action
dans l’objet et non pas sur les propriétés antérieures de celui-ci »
Principes de la morphologie mathématique :
Le principe de base de la morphologie mathématique est de comparer les objets d’une
image X à un objet B de référence, de taille et de formes données. Cet objet de référence
s’appelle l’élément structurant. A partir des opérations élémentaires qui sont la dilatation et
l’érosion, on peut construire des outils plus avancés, tels que l’ouverture et la fermeture.
L’application itérative de tels filtres permet de définir des opérations plus complexes telles
que le squelette, l’amincissement, l’épaississement, l’érosion ultime, l’ouverture par
reconstruction. Ces opérations peuvent être appliquées à des images binaires ou en niveau
de gris.
Notions élémentaires :
Voisinage :
On appelle un n-voisinage, l’ensemble des n pixels qui entourent le pixel central p (i,j) dans
toutes les directions possibles.
Figure 2 pixels et voisinage
Connexité :
Un ensemble E est connexe si, pour tout couple de points (A , B) de cet ensemble, il existe
au moins un chemin continu de E qui relie A à B ; illustré dans la figure suivante.
Figure 3 espace connexe
Transformation morphologique, élément structurant :
La transformation morphologique modifie la valeur d’un pixel de l’image en fonction de la
valeur de ses voisins. Pour cela, on utilise un élément structurant, qui est un ensemble
particulier de centre X, de géométrie et de taille connues. L’élément structurant est déplacé
de façon à ce que son centre x passe successivement par toutes les positions possibles dans
l’image et on se pose une question relative à l’union ou à l’intersection de l’élément
structurant avec les objets de l’image.
L’ensemble des points correspondant à une réponse positive permet de construire une
nouvelle image résultat.
Figure 4 éléments structurants
Morphologie binaire (cas ensembliste) :
Par I.Bloch ; Fil & Had ; JM.Vézien ; G.Almouzni.
Image binaire :
Une image binaire, c’est une image qui n’a que deux couleurs : le noir « 0 » et le blanc
« 1 ». on appelle binarisation, le fait de transformer une image en niveau de gris (dimension
255) en une image binaire (dimension 2). Il existe de très nombreux algorithmes de
binarisation ; on peut citer : le seuillage et le seuillage inverse. On choisit un seuil : c’est un
niveau de gris qui va nous permettre de prendre une décision ; on parcourt l’image :
 Si le pixel sur lequel on se trouve est plus clair que le seuil, il devient blanc.
 Sinon, il devient noir.
Pour le seuillage inverse, c’est le contraire : si le pixel est plus clair que le seuil, il devient
noir, sinon, il devient blanc. Pour binariser l’image de la figure suivante, on s’est fixé deux
seuils :
S1=0 et S2=100. Ainsi, à tous les niveaux de gris égaux ou compris entre 0 et 100 on a
attribué la valeur 0 et à ceux supérieurs à 100, la valeur 1.
Figure 5 Seuillage
Plaçons-nous dans E=ᵶ2, souvent utilisé comme modélisation du support des images
binaires à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable
dans Rn, ou n est un entier strictement positif.
La réflexion :
On introduit le symétrique d’un ensemble, noté B par B= {x=-b, bєB}, réflexion de B.
Figure 6 Réflexion de B
Le complément et la différence
ensembliste :
Ac= {x A}, complément de A.
A-B= {x,x є A, x B}, la différence.
Figure 7 Complément et différence
L’addition et la soustraction de Minkowski :
X Y= {x+y / x є X, y є Y}
X B= {z/ y є B, z-y є X}
L’érosion et la dilatation :
L’érosion :
L’érosion est issue de la soustraction ensembliste de Minkowski et définie par :
E(X, B)= X B = {x/ y є B,x-y є X}
 Propriétés de l’érosion :
 Opération locale car elle tient compte de son voisinage.
 Croissante : si X Y alors X B Y B
 Anti-extensive : X B X
 Distributive : (X Y) B=(X B) (Y B)
X (B1 B2)= (X B1) (X B2)
 Propriété d’itération : (X B1) B2= X (B1 B2)
 But : suppression des points blancs isolés.
Figure 8 Erosion: (a) Erosion par (c); (b) Erodé de (a); (c) l'élément
structurant carré 3*3; (d) L'érosion par un disque
La dilatation :
La dilatation de X par B est définie à partir de l’addition de Minkowski. Elle est l’opération
duale de l’érosion par rapport à la complémentation (dilatation= érosion du
complémentaire), définie par :
D( X, B)= X B= {x+y / x є X, y є B}
 Propriétés de la dilatation :
 Croissante : si X Y alors X B Y B
 Extensive : X X B
 Distributivité : (X Y) B=(X B) (Y B)
X (B1 B2)= (X B1) (X B2)
 Propriété d’itération : (X B1) B2= X (B1 B2)
 But : suppression des points noirs isolés.
Figure 9 Dilatation: (a) Dilatation par (c); (b) Dilaté de (a); (c)
l'élément structurant carré 3*3; (d) La dilatation par un disque.
Algorithme de dilatation et érosion :
Pour la dilatation, on prend une fenêtre de taille n*n (n impair, exemple : n=3). On effectue
pour chaque pixel le OU logique de ses (n2-1) voisins (c’est-à-dire tous les pixels de la
fenêtre sauf le point central).
Début
Pour tout point (x, y) de l’image IM Faire
Calculer OU (x, y) : OU entre les (n2-1) voisins du point (x, y) central
Si OU (x, y) alors WM [x, y]=VRAI /*OU(x, y) ≡ [ OU (x, y) = VRAI] */
Sinon WM [x, y] = IM [x, y] /*Recopie*/
Fsi
Fp
Fin
IM : image originale ; WM : image traitée.
Pour l’érosion, on effectue cette fois le ET logique des (n2-1) voisins du pixel courant :
Début
Pour tout point (x, y) de l’image IM Faire
Calculer ET (x, y) : ET entre les (n2-1) voisins du point (x, y) courant
Si ET (x, y) alors WM[x, y]= IM[x, y] /*Recopie*/
Sinon WM[x, y]= Faux
Fsi
Fp
Fin
IM : image originale ; WM : image traitée.
L’ouverture et la fermeture:
L’ouverture de X par B notée XOB est le résultat d’une érosion de X par B, suivie d’une
dilatation de l’ensemble érodé par le même élément structurant.
X B= (X B) B
 Propriétés de l’ouverture :
 Croissante : si X Y alors X O B Y O B
 Anti-extensive : X O B X
 Idempotente: [X O B] O B+ X O B
La fermeture est le résultat d’une dilatation suivie d’une érosion en utilisant le même
élément structurant. Elle correspond à l’ouverture du complémentaire de X.
X B= (X B) B
 Propriétés de la fermeture :
 Croissante : si X Y alors X B Y B
 Extensive : X X B
 Idempotente : [X B] B= X B
Figure 10 Ouverture et fermeture: (a) ouverture de l'image "figure
8" par un élément structurant 3*3; (b) fermeture de l'image "figure
8" par un élément structurant 3*3; (c) l'ouverture et la fermeture
par un disque.
Etudier la morphologie mathématique cotée programmation
Programme sous MATLAB :
clc;
clear all;
% Chargement de l’image
I = imread('C:\Users\acer\dossier mounicha\all my photos\download photos\Image37.jpg') ;
Ic = imcomplement(I); % inverse vidéo de l’image de départ
figure(1);
subplot(1,2,1);
imshow(I);title('image originale');
subplot(1,2,2);
imshow(Ic);title('inverse de l image');
On obtient la figure suivante :
% Erosion
SE = strel('ball',5,5) % définition de l’élément structurant
Ierod = imerode(Ic,SE);
figure(2);
subplot(2,2,1);
imshow(Ierod);title('érosion');
% Affichage des images en niveaux de gris non-inversés
subplot(2,2,2);
imshow(imcomplement(Ierod));title('inverse érosion');
% Dilatation
Idilat = imdilate(Ic,SE);
subplot(2,2,3);
imshow(Idilat);title('image dilaté');
subplot(2,2,4);
imshow(imcomplement(Idilat));title('inverse image dilaté');
On obtient la figure suivante :
% Ouverture
figure(3);
Iouv = imopen(Ic,SE);
subplot(2,2,1);
imshow(Iouv);title('ouverture');
subplot(2,2,2);
imshow(imcomplement(Iouv));title('inverse de ouverture');
% Fermeture
Iferm = imclose(Ic,SE);
subplot(2,2,3);
imshow(Iferm);title('fermeture');
subplot(2,2,4);
imshow(imcomplement(Iferm));title('inverse fermeture');
On obtient la figure suivante :
Conclusion :
La dilatation est utile pour boucher les trous mais augmente la taille
de l’objet. On passe alors une érosion pour revenir à la taille de
départ. La dilatation a tendance à éclaircir l’image, tandis que
l’érosion a tendance à l’assombrir.
L’ouverture et la fermeture sont des filtres passe bas, c’est-à-dire
des filtres éliminant les variations fortes (en+ ou en-) du signal.
Elles gardent à un peu près constant l’intensité de l’image.
Bibliographie :
http://perso.telecom-paristech.fr/~bloch/P6Image/Op_connex.pdf
http://www.unit.eu/cours/videocommunication/filtrage_non-lin%C3%A9aire.pdf
http://www.ensta-paristech.fr/~manzaner/Cours/IAD/TERI_MorphoMath.pdf
http://www.scourge.fr/mathdesc/documents/maths/morph_math/intro_morphologie.pdf
http://depinfo.mines.inpl-nancy.fr/Enseignements20072008/Cours2A2007/CET47/CET47_6.pdf