Principes de la morphologie mathématique

Master 1 Electronique Biomédicale
La morphologie
mathématique
Préparé par :
*Benmalek Imen
*Lahmar Asma

Plan de travail
Etudier théoriquement la morphologie mathématique
Objectifs
Introduction
Historique
Applications
Morphologie mathématique : problématique
Principes de la morphologie mathématique
Notions élémentaires
 Voisinage
 Connexité
Transformation morphologique, élément structurant
Morphologie binaire (cas ensembliste)
 Image binaire
 La réflexion
 Le complément et la différence
 ensembliste
 L’addition et la soustraction de Minkowski
 L’érosion et la dilatation
 L’érosion
 La dilatation
 Algorithme de dilatation et érosion
 L’ouverture et la fermeture
Etudier la morphologie mathématique cotée programmation
Le programme sous MATLAB (érosion-dilatation-ouverture-fermeture)
Conclusion
Bibliographie

Etudier théoriquement la morphologie mathématique
Objectifs :
 Obtention d’un ensemble de points connectés ayant une forme simple
(pour une image binaire).
 Obtention des principales composantes connexes (en faible nombre).
 Régularisation des formes du signal d’image.
Introduction :
La morphologie mathématique a été conçue au milieu des années 60 à l’ENSMP, au
laboratoire de Fontainebleu. Les inventeurs principaux ont été George Matheron et son
étudiant en thèse Jean Serra.
La morphologie mathématique fut introduire dans le but initialement de mesurer des objets
binaires dans des images. Rapidement, elle est devenue une théorie complète basée sur des
ensembles. Elle est aujourd’hui très couramment utilisée en traitement d’image dans des
phases de prétraitement telles que le lissage, le dé-bruitage, la détection de contours,
l’extraction de primitives ou de squelette. La morphologie est basée sur l’utilisation
d’opérateurs sur les ensembles (interaction, union, inclusion, complément) pour transformer
une image. L’image transformée possède généralement moins de détails, mais ses
principales caractéristiques restent présentes. Une fois l’image simplifiée, elle devient plus
propice à l’analyse.
Bien qu’elle ne soit pas limitée au traitement des images, la morphologie mathématique y
trouve un immense champ d’applications. Cette technique repose sur le principe consistant
à comparer des structures inconnues (les images que l’on étudie) à un ensemble de formes,
les éléments structurants, dont on maitrise les caractéristiques. La comparaison est effectuée
au travers de relations booléennes telles l’intersection ou l’inclusion.

Historique :
La morphologie mathématique a été inventée en 1964 par Georges Matheron et Jean
Serra dans les laboratoires de Mines Paris Tech. Son développement a toujours été
fortement motivé par des applications industrielles. Dans un premier temps, il s'est agi de
répondre à des problèmes dans le domaine de l'exploitation minière, mais très vite ses
champs d'applications se sont diversifiés : biologie, imagerie médicale, sciences des
matériaux, vision industrielle, multimédia, télédétection et géophysique constituent
quelques exemples de domaines dans lesquels la morphologie mathématique a apporté une
contribution importante.
La morphologie mathématique a été créée pour résoudre certains problèmes pour lesquels
les méthodes classiques étaient inadaptées. C’était le cas, en particulier en géologie et
métallurgie ou la notion d’objet individuel perdait tout son sens puisque celui-ci ne pouvait
être connu que partiellement dans le champ d’un oculaire de microscope.
La quantification des structures géologiques a conduit Georges Matheron de l’école des
Mines de paris à construire les outils mathématiques nécessaires à cette analyse. Il a été
aidé très rapidement par Jean Serra. Ils ont ainsi constitué un groupe de recherche qui est
devenu le Centre de Morphologie Mathématique et de Géostatique de Fontainebleu.
La période historique se divise en deux étapes. En effet, dans ces premiers développements
la morphologie mathématique n’avait qu’un caractère strictement ensembliste. Ensuite ces
notions ont été étendues aux fonctions.
Première époque « ensembliste » :
Il va de soi que les deux époques ne sont pas strictement séparables, mais pour simplifier,
on peut dire que cette première époque s’arrête lorsque les concepteurs de la morphologie
mathématique l’étendent au domaine fonctionnel.
Cette époque commence « officiellement » en 1965 par la parution du premier livre de
G.Matheron suivi du second. En 1969, J.Serra publie un document synthétique décrivant les
grands principes de la morphologie mathématique.
Deuxième époque « généralisation des concepts » :
Dès 1982 C.Lantuéjoul et J.Serra rédigent une publication étendant aux fonctions les
opérateurs morphologiques. En 1984, un cours sur les filtrages est fait par J.Serra à
Fontainebleu. Enfin, en 1989 un second tome complète le livre de 1982.
Applications :
On distingue trois grandes classes d’applications :
• Filtrage d’images : suppression d’objets ne satisfaisant pas certains critères
morphologiques.
• Mesure d’images : à chaque image (mesure globale) ou à chaque point d’une image
(mesure locale) on associe une mesure. Exemple : courbes granulométriques, extraction de
caractéristiques fondée sur des critères morphologiques et géométriques.
• Segmentation d’images : paradigme de la segmentation morphologique, s’appuyant sur le
concept de ligne de partage des eaux.

Morphologie mathématique : problématique
Par les technique de filtrage et d’analyse basée sur des théories ensemblistes et
algébriques ; la séparation de deux composantes en appliquant un certain nombre de filtres
qui permettent de modifier la forme et la topologie des structures dans l’image et enfin
comparer deux formes en utilisant un élément de référence qui est l’élément structurant.
J.Piaget a défini la morphologie mathématique comme suit :
« L’action commence par conférer aux objets des caractères qu’ils ne possédaient pas par
eux-mêmes, et l’expérience porte sur la liaison entre les caractères introduits par l’action
dans l’objet et non pas sur les propriétés antérieures de celui-ci »
Principes de la morphologie mathématique :
Le principe de base de la morphologie mathématique est de comparer les objets d’une
image X à un objet B de référence, de taille et de formes données. Cet objet de référence
s’appelle l’élément structurant. A partir des opérations élémentaires qui sont la dilatation et
l’érosion, on peut construire des outils plus avancés, tels que l’ouverture et la fermeture.
L’application itérative de tels filtres permet de définir des opérations plus complexes telles
que le squelette, l’amincissement, l’épaississement, l’érosion ultime, l’ouverture par
reconstruction. Ces opérations peuvent être appliquées à des images binaires ou en niveau
de gris.
Notions élémentaires :
Voisinage :
On appelle un n-voisinage, l’ensemble des n pixels qui entourent le pixel central p (i,j) dans
toutes les directions possibles.
Figure 1 Problème résolus dans la MM
Figure 2 pixels et voisinage