Terminale S – Spécialité Maths Corrigé du contrôle de mathématiques du lundi 3 novembre 2008 ______________________________________________________________________________________ Exercice 1 (3 points) Trouver l'ensemble des entiers naturels n tels que 2n+1 soit un diviseur à la fois de 5n+4 et de 7n+2. Solution: Soit n un entier naturel tel que 2n+1 divise à la fois de 5n+4 et de 7n+2. 2n+1 divise toute combinaison linéaire dans Î de 5n+4 et de 7n+2, en particulier il divise 7(5n+4)-5(7n+2) qui est égal à 18. C'est donc un entier naturel diviseur de 18. Par ailleurs c'est un nombre impair, les seules valeurs qu'il peut prendre sont donc 1, 3 ou 9, ce qui donne pour n les valeurs 0, 1 ou 4. Réciproquement: n = 0 donne 2n+1 = 1 qui divise bien 5n+4 = 4 et 7n+2 = 2. n = 1 donne 2n+1 = 3 qui divise bien 5n+4 = 9 et 7n+2 = 9. n = 4 donne 2n+1 = 9 qui ne divise ni 5n+4 = 24 et 7n+2 = 30. La valeur 4 est à rejeter. Conclusion: L'ensemble solution de ce problème est S = {0 ; 1}. ______________________________________________________________________________________ Exercice 2 (7 points) 1. Justifier la primalité du nombre 419. En déduire la décomposition de 1257 en produit de nombres premiers. Solution: 419 20,5 et 419 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Donc 419 est premier. 1257 = 3419. 2. On considère l'équation (E) d'inconnue x É: a) (E) x² - x + 1257 = 0 , où est un entier naturel. Pour quelle valeur de le nombre 3 est-il solution de (E) ? Quelle est alors l'autre solution ? Solution: 3 est solution de (E) 3² - 3 + 1257 = 0 = 422. Pour trouver l'autre solution, il suffit de résoudre l'équation: x² - 422x + 1257 = 0 , ce qui donne 419. b) Démontrer que si un entier naturel n est une solution de (E) alors n divise 1257. Solution: si un entier naturel n est une solution de (E) alors n vérifie cette équation soit: n² - n + 1257 = 0 . On en déduit que 1257 = n( - n), ce qui prouve que n divise 1257. c) Pour quelles valeurs de l'équation (E) admet-elle des solutions dans É ? Solution: Soit une valeur pour laquelle l'équation (E) admet une solution dans É. Cette solution est un diviseur de 1257 d'après le b). Or 1257 = 3419, donc ses diviseurs dans É sont: 1, 3, 419 et 1257. En remplaçant n par 1, on obtient = 1258. En remplaçant n par 3, on obtient = 422. En remplaçant n par 419, on obtient = 422. En remplaçant n par 1257, on obtient = 1258. Les valeurs possibles de sont donc 422 et 1258. Document réalisé par Edmond Brahimcha Réciproquement, si = 422, la résolution de l'équation donne deux solutions dans É, 3 et 419 et si = 1258, la résolution de l'équation donne deux solutions dans É, 1 et 1257. Conclusion: L'ensemble des valeurs de pour lesquelles l'équation (E) admet des solutions dans É est {422 ; 1258}. ______________________________________________________________________________________ Exercice 3 (10 points) 1. Démontrer que, pour tous entiers naturels k et r, 54k+r 5r (13). Solution: 5² = 25 donc 5² -1 (13), il en résulte que 54 (-1)² 1 (13). On en déduit: 54k+r (54)k5r 1k5r 5r (13). 2. Calculer le reste de la division de 1864237 par 13. Solution: Comme 1864 = 14313 + 5, alors 1864 5 (13) ce qui donne: 1864237 5237 (13). Or 237 = 459 + 1, d'où, par application du 1., 5237 5 (13). Le reste de la division de 1864237 par 13 est donc égal à 5. 3. Pour tout entier naturel n, on pose: An = 53n + 52n + 5n + 1. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, An (5n + 1)((-1)n + 1) (13). Solution: on factorise An : An = 53n + 52n + 5n + 1 = 52n(5n + 1) + 5n + 1 = (5n + 1)(52n + 1). Or 5² -1 (13), d'où 52n + 1 (-1)n + 1 (13). Il en résulte que An (5n + 1)((-1)n + 1) (13). b) En déduire que si n est impair, alors An est un multiple de 13. Solution: si n est impair (-1)n = -1 et par suite (-1)n + 1 = 0, ce qui donne An (5n + 1)((-1)n + 1) 0 (13). An est donc un multiple de 13. c) Démontrer que lorsque n = 4q + 2, q É, alors An est un multiple de 13. Solution: lorsque n = 4q + 2, q É, 5n 54q+2 5² -1 (13) d'après le 1. Il en résulte que 5n + 1 -1 + 1 0 (13), ce qui donne An (5n + 1)((-1)n + 1) 0 (13). d) Démontrer que An est un multiple de 13 si, et seulement si, n n'est pas un multiple de 4. Solution: Condition nécessaire: on suppose que An est un multiple de 13, et on va montrer par l'absurde que n n'est pas un multiple de 4. Supposons que n est un multiple de 4, alors 3n, 2n sont aussi des multiples de 4. La première question donne que 53n 1 (13), 52n 1 (13), 5n 1 (13), d'où An 4 (13) ce qui est contraire à l'hypothèse que An est un multiple de 4. On en déduit que si An est un multiple de 13, alors n n'est pas un multiple de 4. Condition suffisante: Supposons que n n'est pas un multiple de 4. Le reste de la division de n par 4 est alors 1, 2 ou 3. Si le reste est 1 ou 3, n est impair et alors An est un multiple de 13 d'après le b). Si le reste est 2, alors n = 4q + 2 et par suite An est un multiple de 13 d'après le c). Dans tous les cas, lorsque n n,est pas un multiple de 4, An est un multiple de 13. Document réalisé par Edmond Brahimcha