Propositions pour le test du 23 septembre

Document réalisé par Edmond Brahimcha
Terminale S – Spécialité Maths Corrigé du contrôle de mathématiques
du lundi 3 novembre 2008
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Exercice 1 (3 points)
Trouver l'ensemble des entiers naturels n tels que 2n+1 soit un diviseur à la fois de 5n+4 et de 7n+2.
Solution:
 Soit n un entier naturel tel que 2n+1 divise à la fois de 5n+4 et de 7n+2.
2n+1 divise toute combinaison linéaire dans Î de 5n+4 et de 7n+2, en particulier il divise 7(5n+4)-5(7n+2) qui est
égal à 18. C'est donc un entier naturel diviseur de 18. Par ailleurs c'est un nombre impair, les seules valeurs qu'il peut
prendre sont donc 1, 3 ou 9, ce qui donne pour n les valeurs 0, 1 ou 4.
 Réciproquement:
n = 0 donne 2n+1 = 1 qui divise bien 5n+4 = 4 et 7n+2 = 2.
n = 1 donne 2n+1 = 3 qui divise bien 5n+4 = 9 et 7n+2 = 9.
n = 4 donne 2n+1 = 9 qui ne divise ni 5n+4 = 24 et 7n+2 = 30. La valeur 4 est à rejeter.
Conclusion: L'ensemble solution de ce problème est S = {0 ; 1}.
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Exercice 2 (7 points)
1. Justifier la primalité du nombre 419.
En déduire la décomposition de 1257 en produit de nombres premiers.
Solution:
419
 20,5 et 419 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Donc 419 est premier.
 1257 = 3419.
2. On considère l'équation (E) d'inconnue x  É: (E) x² - x + 1257 = 0 , où est un entier naturel.
a) Pour quelle valeur de le nombre 3 est-il solution de (E) ? Quelle est alors l'autre solution ?
Solution: 3 est solution de (E)  3² - 3 + 1257 = 0  = 422.
Pour trouver l'autre solution, il suffit de résoudre l'équation: x² - 422x + 1257 = 0 , ce qui donne 419.
b) Démontrer que si un entier naturel n est une solution de (E) alors n divise 1257.
Solution: si un entier naturel n est une solution de (E) alors n vérifie cette équation soit: n² - n + 1257 = 0 .
On en déduit que 1257 = n( - n), ce qui prouve que n divise 1257.
c) Pour quelles valeurs de l'équation (E) admet-elle des solutions dans É ?
Solution:
 Soit une valeur pour laquelle l'équation (E) admet une solution dans É. Cette solution est un diviseur de 1257
d'après le b). Or 1257 = 3419, donc ses diviseurs dans É sont: 1, 3, 419 et 1257.
En remplaçant n par 1, on obtient = 1258. En remplaçant n par 3, on obtient = 422. En remplaçant n par 419, on
obtient = 422. En remplaçant n par 1257, on obtient = 1258.
Les valeurs possibles de sont donc 422 et 1258.

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 Réciproquement, si = 422, la résolution de l'équation donne deux solutions dans É, 3 et 419 et si = 1258, la
résolution de l'équation donne deux solutions dans É, 1 et 1257.
Conclusion: L'ensemble des valeurs de pour lesquelles l'équation (E) admet des solutions dans É est {422 ; 1258}.
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Exercice 3 (10 points)
1. Démontrer que, pour tous entiers naturels k et r, 54k+r  5r (13).
Solution: 5² = 25 donc 5²  -1 (13), il en résulte que 54  (-1)²  1 (13).
On en déduit: 54k+r  (54)k5r  1k5r  5r (13).
2. Calculer le reste de la division de 1864237 par 13.
Solution: Comme 1864 = 14313 + 5, alors 1864  5 (13) ce qui donne: 1864237  5237 (13).
Or 237 = 459 + 1, d'où, par application du 1., 5237  5 (13).
Le reste de la division de 1864237 par 13 est donc égal à 5.
3. Pour tout entier naturel n, on pose: An = 53n + 52n + 5n + 1.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, An  (5n + 1)((-1)n + 1) (13).
Solution: on factorise An : An = 53n + 52n + 5n + 1 = 52n(5n + 1) + 5n + 1 = (5n + 1)(52n + 1).
Or 5²  -1 (13), d'où 52n + 1  (-1)n + 1 (13). Il en résulte que An  (5n + 1)((-1)n + 1) (13).
b) En déduire que si n est impair, alors An est un multiple de 13.
Solution: si n est impair (-1)n = -1 et par suite (-1)n + 1 = 0, ce qui donne An  (5n + 1)((-1)n + 1)  0 (13).
An est donc un multiple de 13.
c) Démontrer que lorsque n = 4q + 2, q  É, alors An est un multiple de 13.
Solution: lorsque n = 4q + 2, q  É, 5n  54q+2  5²  -1 (13) d'après le 1.
Il en résulte que 5n + 1  -1 + 1  0 (13), ce qui donne An  (5n + 1)((-1)n + 1)  0 (13).
d) Démontrer que An est un multiple de 13 si, et seulement si, n n'est pas un multiple de 4.
Solution:
 Condition nécessaire: on suppose que An est un multiple de 13, et on va montrer par l'absurde que n n'est pas
un multiple de 4. Supposons que n est un multiple de 4, alors 3n, 2n sont aussi des multiples de 4. La première
question donne que 53n  1 (13), 52n  1 (13), 5n  1 (13), d'où An  4 (13) ce qui est contraire à l'hypothèse que An
est un multiple de 4.
On en déduit que si An est un multiple de 13, alors n n'est pas un multiple de 4.
 Condition suffisante: Supposons que n n'est pas un multiple de 4. Le reste de la division de n par 4 est alors 1, 2
ou 3. Si le reste est 1 ou 3, n est impair et alors An est un multiple de 13 d'après le b). Si le reste est 2, alors n = 4q + 2
et par suite An est un multiple de 13 d'après le c). Dans tous les cas, lorsque n n,est pas un multiple de 4, An est un
multiple de 13.