FACTORISATION

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Diviseurs d’un nombre entier non nul. Notion de PGCD.
Objectifs :
1. Connaître les critères de divisibilité et être capable de les utiliser,
2. Etre capable de calculer le PGCD de deux nombres,
3. Etre capable de rendre irréductible une fraction,
4. Connaitre la définition des nombres premiers,
5. Etre capable de prouver que 2 nombres sont premiers entre eux.
Exercice type :
Un grossiste en fleurs a reçu un lot de 7 200 roses et 18 000 tulipes. Il veut réaliser des bouquets tous
identiques, composés de roses et de tulipes, en utilisant toutes les fleurs.
1. Quel nombre maximal de bouquets peut-il composer ?
2. Une rose coûte 1,50 € et une tulipe 1,10 €. Combien coûte un tel bouquet ?
I. Diviseurs d’un nombre entier :
Objectif n°1 :
1. Activité n°1 : Compléter le tableau suivant par OUI ou par NON.
Est divisible par
2
3
5
9
10
120
720
927
725
4 275
0
360
2. Critères de divisibilité :





Un nombre est divisible par 2 ……..………………………………………………………….
Un nombre est divisible par 3 …...……………………………………………………………
Un nombre est divisible par 5 ...………………………………………………………………
Un nombre est divisible par 9 ...………………………………………………………………
Un nombre est divisible par 10 .………………………………………………………………
3. Définition :
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
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II. Le Plus Grand Commun Diviseur : le PGCD :
Objectif n°2 :
1. Activité n°2 :
 Trouver les diviseurs des nombres suivants :
Diviseurs de 36 :
Diviseurs de 20 :
Quels sont les diviseurs communs de 20 et 36 ?
…………………………………………………………………………………………………………
Quel est le plus grand diviseur commun ? Autrement dit, quel est le PGCD de 20 et 36 ?
…………………………………………………………………………………………………………
NB : Dorénavant, nous noterons …………………………………
2. Détermination du PGCD de deux « grands » nombres :
Pour déterminer le PGCD de deux « grands » nombres, il est parfois long et fastidieux de procéder
comme précédemment. Nous utiliserons 2 autres méthodes expliquées ci-dessous.
Exercice : Trouver le PGCD (378 ; 216).
 Première méthode : Méthode par soustractions successives :
378 – 216 = ……..
…………………..
…………………..
…………………..
…………………...
Donc ……………………………..
 Deuxième méthode : Méthode par divisions successives :
378
….
216
….
…….. ……
…… …..
…….. ……
….
…..
Donc ……………………………..
Remarque : ……………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………..
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III. Application : Réduction de fractions :
Objectif n°3 :
Pour simplifier au maximum une fraction il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur
pgcd.
Exemple : Ainsi, reprenons le pgcd (378 ; 216) = 54
Donc
378 378  54 7


216 216  54 4
Exercice :
1. Calculer le pgcd (108 ; 72).
2. Simplifier la fraction suivante
108
.
72
IV. Prolongement : Nombres premiers :
Objectif n°4 :
Définition : ……………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………..
Objectif n°5 :
Exemple :
*Prouver que 5000 et 1323 sont premiers entre eux.
5000
*Peut on rendre irréductible la fraction suivante :
?
1323
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