T GE – Rappels sur la dérivation Définition : on dit qu’une fonction f a pour limite 0 en 0 si f(h) se rapproche de zéro dès que h est assez petit (proche de zéro). On note lim f (h ) 0 : « la limite de f quand h tend vers zéro vaut zéro » h 0 Exemples : Les fonctions suivantes ont comme limite zéro en zéro lim h 0 lim h 2 0 lim h 3 0 lim h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 Approximation affine : On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction f au voisinage de 1 : Pour h voisin de zéro, on a : 1 h 2 1 2h 1 h 2 1 2h h 2 1 2h car lim h 2 0 1 h 3 1 3h h 0 1 1 h 1 h Démonstrations : 1 h 1 3h 3h h 1 3h car lim 3h 2 h 3 0 3 2 3 h 0 h2 h2 1 h2 1 h 1 h car lim lim h 0 1 h 1 h 1 h h 0 1 h 1 h 1 2 0 Exemples : 1,012 1,0201 1,02 1,0053 1,015075125 1,015 1,01 1,004987 1 0,1 soit 1,005 2 Taux de variation F est définie sur un intervalle I de R et C est sa courbe représentative dans un repère. a et x sont deux réels distincts de I. Définition : Le taux de variation de la fonction f entre a et x est le quotient x a h , ce quotient s’écrit aussi f ( x ) f (a ) . En posant xa f (a h ) f (a ) . h Exemple : pour f définie sur R par f (x) x 2 , le taux de variation entre a et a + h est : f (a h ) f (a ) a h a 2 h h 2 f (a h ) f (a ) a 2ah h 2 a 2 h h f (a h ) f (a ) 2a h h Nombre dérivé 2 Définition : On dit que f est dérivable en a si la limite du taux de variation en 0 existe. On note f ’(a) cette limite que l’on appelle nombre dérivé en a de f. f (a h ) f (a ) f ' (a ) lim h 0 h Interprétation graphique : Lorsque h se rapproche de zéro, le point M se rapproche de A et (AM) se rapproche de la tangente T à C au point A. f ’(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. y 5 T 4 3 C A 2 1 -4 o -2 M 2 3A' 4 6 8 x -1 Exemple : Pour f définie sur R par f (x) x 2 4x 5 , calculer le nombre dérivé de f en 3. f (a h ) f (a ) a h 4a h 5 a 2 4a 5 f ( a h ) f (a ) 2a 4 h h h h f ' (a ) lim 2a 4 h f ' (a ) 2a 4. D' où f ' (3) 2 2 h 0 (On retrouve ce résultat graphiquement sur la figure ci-dessus) Fonction dérivée : Soit f une fonction dérivable en tout point x d’un intervalle I. La fonction qui à x associe f ’(x) est appelée la fonction dérivée de f sur I. On la note f ’. df ( x ) : c’est la notation différentielle. dx Si f ’(x) est dérivable sur I, f est deux fois dérivable sur I et on note f ’’(x) cette dérivée seconde, ou bien d 2f encore . dx 2 On peut aussi noter la fonction dérivée f ' ( x ) Tableau des fonctions dérivées usuelles : Fonction f Fonction f ’ Ensemble de définition de f Ensemble de dérivabilité R R k (constante) 0 R R ax + b a n n 1 R ou R* si n < 0 R ou R* si n < 0 x , n Z nx 1 x 1 n N* xn x 1 x2 n n 1 x 1 sin(x) cos(x) 2 x cos(x) - sin(x) R* R* R* R* R+ R+* R R R R Opérations sur les fonctions dérivables : u et v sont deux fonctions définies sur un même intervalle I de R. Opération Fonction Dérivée Condition éventuelle Addition u+v u’ + v’ Multiplication par un réel k k.u k.u’ Multiplication u.v u’.v + u.v’ Carré u² 2.u.u’ n Puissance n ( n N) u n.u n1 .u ' Quotient Error! u '.v u.v' Si v( x ) 0 sur I 2 v Inverse Error! Si v( x ) 0 sur I v' 2 v Si u(x) > 0 sur I u ' (x) u(x) Racine 2 u(x) Fonction composée f(ax + b) a.f ’(ax + b) Equation de la tangente Ta à la courbe représentative C d’une fonction f au point d’abscisse a : y f ' (a)x a f (a) Théorème : f est dérivable sur un intervalle I de R. Si, pour tout réel x de I, f ’(x) est strictement positif, alors f est strictement croissante sur I Si, pour tout réel x de I, f ’(x) est strictement négatif, alors f est strictement décroissante sur I Théorème: Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I de R et si f admet un extremum relatif en un point x0 (distinct des bornes de I), alors la dérivée est nulle en x0 (exemple a. ) ATTENTION : La réciproque n’est pas vraie (exemple b.). Pour qu’il y ait extremum, il faut que la dérivée s’annule et change de signe. exemple a : exemple b : y y 3 1 2 -3 -2 -1 0 x 1 1 -1 -2 -3 -2 -1 0 -1 1 2 x Résolution approchée d’équations de la forme f(x) = . On ne dispose pas de méthode pour déterminer l’existence et les valeurs éventuelles d’équations comme x 7 3x 4 9x 7 . Nous allons voir un théorème qui permet de montrer l’existence (et de trouver les valeurs approchées) des solutions lorsqu’elles existent. Théorème : f est définie sur [a , b], avec a < b, et est un réel tels que : - f est dérivable sur [a , b] - f est strictement croissante sur [a , b] - f(a) < < f(b) Alors l’équation admet une solution unique dans [a , b]. Remarque : on obtient un théorème équivalent avec f strictement décroissante sur [a , b] et f(b) < < f(a). Exemple : Soit l’équation x 3 3x ² 45x 50 sur I = [-5 , 5]. Soit f (x) x 3 3x ² 45x f ' (x) 3x ² 6x 45 x -5 f ’(x) + -3 0 81 - 576 2 racines : 3 et 5 5 0 f(x) 25 - 175 Sur l’intervalle [- 5 , - 3] , f est dérivable, strictement croissante et f(- 5) < 50 < f(- 3). Donc l’équation f(x) = 50 admet une solution unique sur cet intervalle. A l’aide du tableau de valeurs de la calculette et par approximations successives, cette solution a pour valeur approchée – 4,5 à 10-1 près. En effet : x -5 -4 -3 f(x) 25 68 81 x - 5 - 4,9 - 4,8 - 4,7 - 4,6 - 4,5 - 4,4 - 4,3 - 4,2 f(x) 25 41,4 46,2 50,6 De même, sur l’intervalle [- 3 , 5], f est dérivable et strictement décroissante avec f(5) < 50 < f(- 3). L’équation f(x) = 50 admet donc une solution unique sur [- 3 , 5] dont la valeur approchée est – 2,8 à 10-1 près. f est paire sur un intervalle I si f(- x) = f(x) pour tout réel x de I. L’axe des ordonnées est alors axe de symétrie pour la courbe représentative de f. f est impaire sur un intervalle I si f(- x) = - f(x) pour tout réel x de I. L’origine du repère O est alors centre de symétrie pour la courbe représentative de f. TP p.17 Exercices : p.20 n° 4,5,7,9,11,12,16,17,20,21,24,25,28,34,35,37,40,43,44,45,46,48,56 (2 cm comme unités en abscisses et 1 cm en ordonnées). DM p.24 n°57 et 59 Recherche : n°60