Modèle mathématique.

T GE – Rappels sur la dérivation
Définition : on dit qu’une fonction f a pour limite 0 en 0 si f(h) se rapproche de zéro dès que h est assez
petit (proche de zéro). On note
0)h(flim0h 
: « la limite de f quand h tend vers zéro vaut zéro »
Exemples : Les fonctions suivantes ont comme limite zéro en zéro
0hlim0hlim0hlim0hlim 0h
3
0h
2
0h0h  
Approximation affine :
On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction f au
voisinage de 1 :
Pour h voisin de zéro, on a :
2
h
1h1
h1
h1 1
h31h1
h21h1
3
2
Démonstrations :
0
1
h
lim
h1h
limcarh1
h1h
h1
h1 1
0hh3limcarh31hh3h31h1
0hlimcarh21hh21h1
2
0h
2
0h
2
32
0h
32
3
2
0h
2
2
Exemples :
005,1soit
21,0
1004987,101,1015,1015075125,1005,102,10201,101,1 32 
Taux de variation
F est définie sur un intervalle I de R et C est sa courbe représentative dans un repère. a et x sont deux réels
distincts de I.
Définition : Le taux de variation de la fonction f entre a et x est le quotient
ax )a(f)x(f
. En posant
hax 
, ce quotient s’écrit aussi
h)a(f)ha(f 
.
Exemple : pour f définie sur R par
2
x)x(f 
, le taux de variation entre a et a + h est :
ha2
h)a(f)ha(f hahah2a
h)a(f)ha(f haha
h)a(f)ha(f
222
2
2
Nombre dérivé
Définition : On dit que f est dérivable en a si la limite du taux de variation en 0 existe. On note f ’(a) cette
limite que l’on appelle nombre dérivé en a de f.
h)a(f)ha(f
lim)a('f 0h
Interprétation graphique :
Lorsque h se rapproche de zéro, le point M se rapproche de A et (AM) se rapproche de la tangente T à C
au point A.
f ’(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

T
x
y
o
-
4
-
2
2
4
6
8
-
1
1
2
3
4
5
A
A
'
M
C
3
Exemple : Pour f définie sur R par
5x4x)x(f 2
, calculer le nombre dérivé de f en 3.
2)3('foù'D.4a2)a('fh4a2lim)a('f
h4a2
h)a(f)ha(f h5a4a5ha4ha h)a(f)ha(f
0h
2
2
(On retrouve ce résultat graphiquement sur la figure ci-dessus)
Fonction dérivée :
Soit f une fonction dérivable en tout point x d’un intervalle I. La fonction qui à x associe f ’(x) est
appelée la fonction dérivée de f sur I. On la note f ’.
On peut aussi noter la fonction dérivée
dx )x(df
)x('f 
: c’est la notation différentielle.
Si f ’(x) est dérivable sur I, f est deux fois dérivable sur I et on note f ’’(x) cette dérivée seconde, ou bien
encore
2
2
dxfd
.
Tableau des fonctions dérivées usuelles :
Fonction f
Fonction f ’
Ensemble de définition de f
Ensemble de dérivabilité
k (constante)
0
R
R
ax + b
a
R
R
n,xn
Z
1n
nx 
R ou R* si n < 0
R ou R* si n < 0
x
1
2
x
1
R*
R*
n
x
1n
N*
1n
xn
R*
R*
x
x2
1
R+
R+*
sin(x)
cos(x)
R
R
cos(x)
- sin(x)
R
R

Opérations sur les fonctions dérivables :
u et v sont deux fonctions définies sur un même intervalle I de R.
Opération
Fonction
Dérivée
Condition éventuelle
Addition
u + v
u’ + v’
Multiplication par un réel k
k.u
k.u’
Multiplication
u.v
u’.v + u.v’
Carré
u²
2.u.u’
Puissance n (
n
N)
n
u
'u.u.n 1n
Quotient
Error!
2
v'v.uv'.u
Si
0)x(v 
sur I
Inverse
Error!
2
v'v
Si
0)x(v 
sur I
Racine
)x(u
)x(u2
)x('u
Si u(x) > 0 sur I
Fonction composée
f(ax + b)
a.f ’(ax + b)
Equation de la tangente Ta à la courbe représentative C d’une fonction f au point d’abscisse a :
)a(fax)a('fy 
Théorème :
f est dérivable sur un intervalle I de R.
 Si, pour tout réel x de I, f ’(x) est strictement positif, alors f est strictement croissante sur I
 Si, pour tout réel x de I, f ’(x) est strictement négatif, alors f est strictement décroissante sur I
Théorème:
Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I de R et si f admet un extremum relatif en un point x0
(distinct des bornes de I), alors la dérivée est nulle en x0 (exemple a. )
ATTENTION : La réciproque n’est pas vraie (exemple b.). Pour qu’il y ait extremum, il faut que la
dérivée s’annule et change de signe.
exemple a :
-1-2-3
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
exemple b :
2-1-2
2
3
-1
0 1
1
x
y

Résolution approchée d’équations de la forme f(x) = .
On ne dispose pas de méthode pour déterminer l’existence et les valeurs éventuelles d’équations comme
7x9x3x 47 
. Nous allons voir un théorème qui permet de montrer l’existence (et de trouver les
valeurs approchées) des solutions lorsqu’elles existent.
Théorème :
f est définie sur [a , b], avec a < b, et  est un réel tels que :
- f est dérivable sur [a , b]
- f est strictement croissante sur [a , b]
- f(a) <  < f(b)
Alors l’équation admet une solution unique dans [a , b].
Remarque : on obtient un théorème équivalent avec f strictement décroissante sur [a , b] et f(b) <  <
f(a).
Exemple : Soit l’équation
50x45²x3x3
sur I = [-5 , 5].
Soit
5et3:racines257645x6²x3)x('fx45²x3x)x(f 3
x
- 5
- 3
5
f ’(x)
+
0
-
0
81
f(x)
25
- 175
Sur l’intervalle [- 5 , - 3] , f est dérivable, strictement croissante et f(- 5) < 50 < f(- 3). Donc l’équation
f(x) = 50 admet une solution unique sur cet intervalle. A l’aide du tableau de valeurs de la calculette et
par approximations successives, cette solution a pour valeur approchée – 4,5 à 10-1 près. En effet :
x
- 5
- 4
- 3
f(x)
25
68
81
x
- 5
- 4,9
- 4,8
- 4,7
- 4,6
- 4,5
- 4,4
- 4,3
- 4,2
f(x)
25
41,4
46,2
50,6
De même, sur l’intervalle [- 3 , 5], f est dérivable et strictement décroissante avec f(5) < 50 < f(- 3).
L’équation f(x) = 50 admet donc une solution unique sur [- 3 , 5] dont la valeur approchée est – 2,8 à 10-1
près.
f est paire sur un intervalle I si f(- x) = f(x) pour tout réel x de I. L’axe des ordonnées est alors axe de
symétrie pour la courbe représentative de f.
f est impaire sur un intervalle I si f(- x) = - f(x) pour tout réel x de I. L’origine du repère O est alors
centre de symétrie pour la courbe représentative de f.
TP p.17
Exercices :
p.20 n° 4,5,7,9,11,12,16,17,20,21,24,25,28,34,35,37,40,43,44,45,46,48,56 (2 cm comme unités en
abscisses et 1 cm en ordonnées).
DM p.24 n°57 et 59
Recherche : n°60