Modèle mathématique.

T GE – Rappels sur la dérivation
Définition : on dit qu’une fonction f a pour limite 0 en 0 si f(h) se rapproche de zéro dès que h est assez
petit (proche de zéro). On note lim f (h )  0 : « la limite de f quand h tend vers zéro vaut zéro »
h 0
Exemples : Les fonctions suivantes ont comme limite zéro en zéro
lim h  0
lim h 2  0
lim h 3  0
lim h  0
h 0
h 0
h 0
h 0
Approximation affine :
On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction f au
voisinage de 1 :
Pour h voisin de zéro, on a :
1  h 2  1  2h
1  h 2  1  2h  h 2  1  2h car lim h 2  0
1  h 3  1  3h
h 0
1
 1 h
1 h


Démonstrations : 1  h   1  3h  3h  h  1  3h car lim 3h 2  h 3  0
3
2
3
h 0
 h2 
 h2
1
h2


 1 h 
 1  h car lim 
 lim 
h 0 1  h 
1 h
1 h

 h 0  1
h
1 h  1
2

  0

Exemples :
1,012  1,0201  1,02
1,0053  1,015075125  1,015
1,01  1,004987  1 
0,1
soit 1,005
2
Taux de variation
F est définie sur un intervalle I de R et C est sa courbe représentative dans un repère. a et x sont deux réels
distincts de I.
Définition : Le taux de variation de la fonction f entre a et x est le quotient
x  a  h , ce quotient s’écrit aussi
f ( x )  f (a )
. En posant
xa
f (a  h )  f (a )
.
h
Exemple : pour f définie sur R par f (x)  x 2 , le taux de variation entre a et a + h est :
f (a  h )  f (a ) a  h   a 2

h
h
2
f (a  h )  f (a ) a  2ah  h 2  a 2

h
h
f (a  h )  f (a )
 2a  h
h
Nombre dérivé
2
Définition : On dit que f est dérivable en a si la limite du taux de variation en 0 existe. On note f ’(a) cette
limite que l’on appelle nombre dérivé en a de f.
f (a  h )  f (a )
f ' (a )  lim
h 0
h
Interprétation graphique :
Lorsque h se rapproche de zéro, le point M se rapproche de A et (AM) se rapproche de la tangente T à C
au point A.
f ’(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
y
5
T
4
3
C
A
2
1
-4
o
-2
M
2
3A' 4
6
8 x
-1
Exemple : Pour f définie sur R par f (x)  x 2  4x  5 , calculer le nombre dérivé de f en 3.


f (a  h )  f (a ) a  h   4a  h   5  a 2  4a  5
f ( a  h )  f (a )


 2a  4  h
h
h
h
f ' (a )  lim 2a  4  h   f ' (a )  2a  4. D' où f ' (3)  2
2
h 0
(On retrouve ce résultat graphiquement sur la figure ci-dessus)
Fonction dérivée :
Soit f une fonction dérivable en tout point x d’un intervalle I. La fonction qui à x associe f ’(x) est
appelée la fonction dérivée de f sur I. On la note f ’.
df ( x )
: c’est la notation différentielle.
dx
Si f ’(x) est dérivable sur I, f est deux fois dérivable sur I et on note f ’’(x) cette dérivée seconde, ou bien
d 2f
encore
.
dx 2
On peut aussi noter la fonction dérivée f ' ( x ) 
Tableau des fonctions dérivées usuelles :
Fonction f
Fonction f ’ Ensemble de définition de f Ensemble de dérivabilité
R
R
k (constante)
0
R
R
ax + b
a
n
n 1
R ou R* si n < 0
R ou R* si n < 0
x , n Z
nx
1
x
1
n N*
xn
x
1
x2
n
 n 1
x
1
sin(x)
cos(x)
2 x
cos(x)
- sin(x)

R*
R*
R*
R*
R+
R+*
R
R
R
R
Opérations sur les fonctions dérivables :
u et v sont deux fonctions définies sur un même intervalle I de R.
Opération
Fonction Dérivée
Condition éventuelle
Addition
u+v
u’ + v’
Multiplication par un réel k
k.u
k.u’
Multiplication
u.v
u’.v + u.v’
Carré
u²
2.u.u’
n
Puissance n ( n  N)
u
n.u n1 .u '
Quotient
Error! u '.v  u.v'
Si v( x )  0 sur I
2
v
Inverse
Error!
Si v( x )  0 sur I
v'
 2
v
Si u(x) > 0 sur I
u
' (x)
u(x)
Racine
2 u(x)
Fonction composée
f(ax + b) a.f ’(ax + b)
Equation de la tangente Ta à la courbe représentative C d’une fonction f au point d’abscisse a :
y  f ' (a)x  a   f (a)
Théorème :
f est dérivable sur un intervalle I de R.
 Si, pour tout réel x de I, f ’(x) est strictement positif, alors f est strictement croissante sur I
 Si, pour tout réel x de I, f ’(x) est strictement négatif, alors f est strictement décroissante sur I
Théorème:
Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I de R et si f admet un extremum relatif en un point x0
(distinct des bornes de I), alors la dérivée est nulle en x0 (exemple a. )
ATTENTION : La réciproque n’est pas vraie (exemple b.). Pour qu’il y ait extremum, il faut que la
dérivée s’annule et change de signe.
exemple a :
exemple b :
y
y
3
1
2
-3
-2
-1
0
x 1
1
-1
-2
-3
-2
-1
0
-1
1
2 x
Résolution approchée d’équations de la forme f(x) = .
On ne dispose pas de méthode pour déterminer l’existence et les valeurs éventuelles d’équations comme
x 7  3x 4  9x  7 . Nous allons voir un théorème qui permet de montrer l’existence (et de trouver les
valeurs approchées) des solutions lorsqu’elles existent.
Théorème :
f est définie sur [a , b], avec a < b, et  est un réel tels que :
- f est dérivable sur [a , b]
- f est strictement croissante sur [a , b]
- f(a) <  < f(b)
Alors l’équation admet une solution unique dans [a , b].
Remarque : on obtient un théorème équivalent avec f strictement décroissante sur [a , b] et f(b) <  <
f(a).
Exemple : Soit l’équation x 3  3x ²  45x  50 sur I = [-5 , 5].
Soit f (x)  x 3  3x ²  45x
f ' (x)  3x ²  6x  45
x
-5
f ’(x)
+
-3
0
81
-
  576
2 racines :  3 et 5
5
0
f(x)
25
- 175
Sur l’intervalle [- 5 , - 3] , f est dérivable, strictement croissante et f(- 5) < 50 < f(- 3). Donc l’équation
f(x) = 50 admet une solution unique sur cet intervalle. A l’aide du tableau de valeurs de la calculette et
par approximations successives, cette solution a pour valeur approchée – 4,5 à 10-1 près. En effet :
x
-5 -4 -3
f(x) 25 68 81
x
- 5 - 4,9 - 4,8 - 4,7 - 4,6 - 4,5 - 4,4 - 4,3 - 4,2
f(x) 25
41,4 46,2 50,6
De même, sur l’intervalle [- 3 , 5], f est dérivable et strictement décroissante avec f(5) < 50 < f(- 3).
L’équation f(x) = 50 admet donc une solution unique sur [- 3 , 5] dont la valeur approchée est – 2,8 à 10-1
près.
f est paire sur un intervalle I si f(- x) = f(x) pour tout réel x de I. L’axe des ordonnées est alors axe de
symétrie pour la courbe représentative de f.
f est impaire sur un intervalle I si f(- x) = - f(x) pour tout réel x de I. L’origine du repère O est alors
centre de symétrie pour la courbe représentative de f.
TP p.17
Exercices :
p.20 n° 4,5,7,9,11,12,16,17,20,21,24,25,28,34,35,37,40,43,44,45,46,48,56 (2 cm comme unités en
abscisses et 1 cm en ordonnées).
DM p.24 n°57 et 59
Recherche : n°60