fonctions usuelles

1
14 / les fonctions de référence
pour toute fonction, le schéma d’étude est le même :
ensemble de définition, tableau de variations, graphique.
les fonctions affines
Ce sont les fonctions de type f ( x )  ax  b . Elles sont définies sur R.
tableau de variations dans le cas général :
x
ax  b
pour a > 0



x
pour a < 0

ax  b

graphique : une droite, montante si a > 0, descendante si a < 0
Avec la figure ci-contre, l ( x ) désigne la longueur OB, p( x ) le
périmètre de ABCD et a( x) l’aire de ABCD. Montrez que l, p et a
sont des fonctions affines.

2
les fonctions affines engendrent
les fonctions affines par intervalle
Donner l’expression algébrique de la fonction dans chacun des cas suivants :
3
la fonction carré
C’est la fonction x  x 2 . Elle est définie sur R.
tableau de variations :
x
0



x2

0
graphique : une parabole tournée vers le haut, passant par
l’origine et par les points (11
; ) et (1;1) .
Cette parabole possède une symétrie remarquable, par rapport à l’axe des ordonnées. Ceci est
caractéristique des fonctions paires.
une fonction est paire quand deux réels quelconques opposés ont la même image :
pour tout réel x pour lequel f est définie, f(–x) = f(x).
Le graphique de la fonction est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Toutes les fonctions de type x  ax 2 sont des fonctions paires, ayant pour graphique des
paraboles passant par l’origine.
tableau de variations dans le cas général :
x
ax 2
pour a > 0
0




0
x
pour a < 0
0

0
ax 2



4
retrouvez l’équation de chaque parabole comme une fonctions de type x  ax 2 :
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
montrez que dans ces trois cas, les fonctions sont du type x  ax 2 :
f(x) est l’aire d’un triangle
rectangle isocèle de côté x
exercice 63 page 131
exercice 67 page 131
f(x) est l’aire d’un triangle
équilatéral de côté x.
x est le rayon du cercle inscrit
dans un carré de côté a, f(x) est
l’aire du domaine compris entre
le cercle et le carré..
5
la fonction inverse
1
C’est la fonction x  . Elle est définie sur R*.
x
tableau de variations :
x
0


1
x
graphique : une hyperbole passant par les points (11
; ) et ( 1;1) ,
dont les axes sont les asymptotes.

||

Cette hyperbole possède une symétrie remarquable par rapport à l’origine. Ceci est
caractéristique des fonctions impaires.
Une fonction est impaire quand deux réels quelconques opposés ont des images opposées :
pour tout réel x pour lequel f est définie, f(–x) = –f(x).
Le graphique de la fonction est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.
a
sont des fonctions impaires, et les axes du repères sont
x
les asymptotes de leurs graphiques.
Toutes les fonctions de type x 
6
retrouvez l’équation de chaque hyperbole comme une fonctions de type x 
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
exercice 67 page 162
exercice 93 page 167
a
:
x
7
les fonctions trigonométriques
une nouvelle unité d’angle : le radian
Pourquoi une nouvelle unité, alors que le degré semble faire l’unanimité dans la
vie courante ? Malheureusement, il n’est pas compatible avec des formules
mathématiques essentielles !
Dans la suite de ce chapitre, sauf indication contraire, tous les cercles auront pour rayon 1.
Dans un repère orthonormal, on appelle CERCLE
TRIGONOMÉTRIQUE le cercle de centre O et de rayon 1. Sur ce
cercle, le point I est par convention le point de départ et on appelle
« sens positif » ou « sens direct » le sens de rotation inverse des
aiguilles d’une montre.
Ce cercle a donc pour périmètre 2. On rappelle qu’un tour complet représente 360°.
Dans le tableau ci-dessous, indiquez les longueurs des arcs de cercle et les mesures en degrés
des angles représentés par les figures
figure
longueur
d’arc
mesure
d’angle
1/2 cercle
1/4 de cercle
1/6 de cercle
1/8 de cercle
1/12 de cercle
Par définition, la mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc
correspondant sur le cercle trigonométrique.
mesure en
degrés
mesure en
radians
Avec ce qui précède, on a donc aussitôt le tableau de correspondance :
0
30
45
60
90
180
360
8
Avec les sens positif et négatif, on obtient donc des angles positifs ou négatifs selon la
position des points correspondants sur le cercle trigonométrique. Il est essentiel de savoir
attribuer l’angle en radians correspondant à chacun de ces points ;
Ces angles sont, et de loin, ceux qui reviennent le plus souvent dans les exercices.
En fait on peut considérer que l’on fait un tour, ou deux, ou trois…, dans un sens ou dans
l’autre. Un même angle aura donc une infinité de mesures en radians, qui diffèrent toutes d’un
multiple de 2. Le plus souvent on utilise la « mesure principale de l’angle », . celle qui
appartient à l’intervalle   ;  .
9
Nouvelle définition des sinus et cosinus d’un angle.
Les définitions déjà connues, avec les rapports de côtés dans le triangle rectangle, ont
plusieurs inconvénients : elle ne permettent pas de définir les rapports pour les angles 0°, et
90°, encore moins pour les angles obtus (essayez donc de dessiner un triangle rectangle avec
un angle de 120° !), et pas davantage pour les angles négatifs. Il faut donc inventer une
nouvelle définition, compatible avec les précédentes, mais qui permette d’éviter ces tracas.
C’est là qu’intervient le cercle trigonométrique.
On a vu qu’à un angle correspondait un point du cercle trigonométrique. Par définition :
le cosinus de l’angle est l’abscisse du point
le sinus de l’angle est l’ordonnée du point
On en déduit aussitôt les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques :
valeur de x
(en degrés)
valeur de x
(en radians)
sin x
cos x
0
30
45
60
90
180
10
Nous allons maintenant étudier les graphiques des fonctions sinus et cosinus,
pour x exprimé en radians.
graphique
de la
fonction
sinus :
graphique
de la
fonction
cosinus :
On ne manquera pas de remarquer une évidence : tous les intervalles 2 les fonctions sinus et
cosinus reviennent aux mêmes valeurs. Ceci s’exprime par les deux formules :
sin (x + 2) = sin x et cos (x + 2) = cos x
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2.
Tout phénomène qui se reproduit à intervalle régulier est ainsi dit périodique. Les
phénomènes périodiques sont fondamentaux et omniprésents dans l’univers. Vous n’aurez je
pense aucun mal à en trouver de multiples exemples. Plus vous en chercherez, plus vous serez
étonnés de constater à quel point ils envahissent votre vie quotidienne.