Activité sur le satellite

B – Retour sur le mouvement circulaire et uniforme
1°) Mouvement circulaire


Vecteurs vitesse v et accélération a dans le repère de Frenet

Le vecteur vitesse est ............... à la trajectoire : v = .... . ....



L’accélération a est la somme de composantes tangentielle a T et normale a N .




(admis)
a = d v /dt = ..…… .  + ............ . n
L'accélération est dirigée vers l'intérieur de la trajectoire.
aT = ……… : accélération tangentielle .
aN = ……… : accélération normale.
2°) Mouvement circulaire uniforme
Un solide de trajectoire circulaire à vitesse constante est animé d'un mouvement circulaire
uniforme.

v = ……… . Sa valeur v est …………. mais sa direction ……..
On a donc : dv/dt = ... , aT = ... , a = .... = ……… .
Période de révolution (durée d’un tour) : v = …….. = …………..
T = ………….
C – Loi de la gravitation universelle
Deux corps A et B (à répartition sphérique de masse) exercent l'un sur l'autre une force
attractive gravitationnelle dirigée par la droite AB.


F A / B = - F B / A = ..................................

u AB : vecteur unitaire dirigé de A vers B.
G : constante de gravitation universelle : G = 6,67.10 - 11 S.I

Au voisinage de la Terre, cette force est appelée le poids P .
F = P = ……… = ………….. , g = ………….
D – Application de la seconde loi de Newton à un satellite de la
Terre
1°) Des satellites autour de la Terre
La Lune est le satellite naturel de la Terre. On évalue à environ 3000 le nombre des satellites
artificiels destinés aux télécommunications, aux observations du sol, à la météo … La
majorité de ces satellites à une trajectoire elliptique mais certains ont une trajectoire
circulaire.
2°) Les satellites géostationnaires :
Certains des satellites possédant une orbite circulaire sont géostationnaires. Un satellite a une
position …… dans le référentiel terrestre, il est toujours à la ………. d'un même point de la
Terre.
Pour être géostationnaire, un satellite doit avoir une trajectoire ………… dans le sens de
rotation de la Terre, dans un plan ………………… à l'axe Nord-Sud et comme tout satellite
terrestre, son centre est celui de la ………., la trajectoire est donc dans le plan de
……………….
Sa période T de révolution doit être égale à celle de la …….. (≈ …. h) et cela lui impose
d’évoluer sur une orbite précise.
3°) Etude du mouvement d’un satellite en orbite circulaire autour de la
Terre
On étudie le mouvement d’un satellite de masse m situé à une altitude h (distance entre le
satellite et la surface de la Terre). L’excentricité orbitale de ce satellite étant très faible, on
supposera sa trajectoire circulaire.
On considère que la Terre est un corps à répartition de masse à symétrie sphérique. Les rayons
des orbites des satellites sont supposés grands devant leur taille.
On considère que la seule force gravitationnelle exercée sur le satellite provient de la Terre.
Données :
G = 6,67.10-11 S.I. : constante de gravitation universelle.
Terre : RT = 6,4.106 km (rayon de la Terre).
MT = 5,97.1024 kg (masse de la Terre).
a) Définir le référentiel d'étude.
b) Nommer la (les) force(s) extérieure(s) appliquée(s) au satellite de masse m.
c) Schématiser la Terre, le satellite, et la(les) force(s) extérieure(s) appliquée(s) sur le satellite.
d) Donner l’expression vectorielle de cette(ces) force(s).
e) Exprimer l'accélération vectorielle du satellite en précisant la loi utilisée.
 

f) On se place dans le repère orthonormé (  , n ) centrée en S dans laquelle  est un vecteur

unitaire porté par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement et n un

vecteur unitaire perpendiculaire à  et dirigé vers l’intérieur de la trajectoire.



a = at .  + an . n
Donner les expressions littérales de at et de an en fonction de la vitesse v du satellite.
 
g) Compléter le schéma précédent, avec le repère (  , n ) et l’accélération  du satellite.
h) Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
i) Retrouver l’expression de la vitesse du satellite en orbite autour de la Terre :
GMT
v = v
RT  h
j) Déterminer une relation liant la période TS d’un satellite, sa vitesse v et le rayon (RT + h) de
son orbite.
k) Retrouver la troisième loi de Kepler.
l) On cherche à déterminer l’altitude h à laquelle devrait se trouver le satellite pour être
géostationnaire (immobile au-dessus d’un point de l’équateur de la Terre).
- Quelle condition doit-on avoir sur les périodes T (période de rotation de la Terre sur ellemême) et TS ( période de révolution du satellite autour de la Terre) pour que le satellite
soit géostationnaire ?
- Montrer que l’altitude h du satellite peut s'écrire :
2

3
h T GMT   R
 2 
-
Calculer la valeur de h.