DERIVATION

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DERIVATION
Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur ℝ ou une partie de ℝ
§ 1 Dérivabilité en un point
1. Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I. Les deux assertions suivantes sont
équivalentes :
1) Il existe un réel ℓ tel que l'accroissement moyen ait pour limite ℓ :
h)x(f)hx(f
lim 00
0h
= ℓ
2) Il existe un réel ℓ et une fonction φ tels que pour tout h tel que x0 + h ∈ I :
f(x0 + h) = f(x0) + ℓh + hφ(h) où
0)h(φlim0h 
2. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I.
Lorsque l'une des deux conditions du théorème ci-dessus est vérifiée, on dit que : f est dérivable en x0
Le nombre ℓ s'appelle alors le nombre dérivé de f en x0 et on le note f '(x0).
Remarques :
 La limite de l'accroissement moyen de f en x0 (lorsqu'il existe) peut encore s'écrire sous la forme
suivante
0
0
xx xx )x(f)x(f
lim0
 Graphiquement, la quantité
h)x(f)hx(f 00 
représente le coefficient directeur de la sécante à la
courbe Cf de f entre les points d'abscisses x0 et x0 + h
 Lorsque l'accroissement moyen n'admet pas de limite en x0, il se peut qu'il en admette une à droite
(ou à gauche) de x0. On dit alors que f est dérivable à droite (ou à gauche) en x0.

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Exemples d'utilisation de la définition :
1) On considère la fonction f définie sur ℝ+ par f(x) =
x
. Étudier sa dérivabilité en 0.
Pour cela, on évalue la limite de l'accroissement moyen de f en x0 = 0 :
h0h0
lim
h)x(f)hx(f
lim 0h
00
0h
=
h
h
lim0h
=
h
1
lim0h
= + ∞
La limite n'est pas finie. La fonction "racine carrée" n'est donc pas dérivable en 0. Cependant, la courbe
admet, au point d'abscisse 0, une demi-tangente verticale.
2) On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = | x |. Étudier sa dérivabilité en 0.
h
h
lim
h
0h0
lim 0h0h  
Or, la quantité
h
h
n'a pas de limite en 0. En effet :
1
h
h
lim
h
h
limet1
h
h
lim
h
h
lim
0h 0h 0h 0h 0h 0h 0h 0h 
(Les limites à gauche et à droite sont différentes...)
L'accroissement moyen de la fonction f n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n'est
pas dérivable en 0.
Cependant, elle est dérivable "à droite" de 0 et "à gauche" de 0.
La courbe admet donc deux demi-tangentes distinctes de coefficients directeurs respectifs 1 et -1
§ 2 Différentes interprétations du nombre dérivé
1. Interprétation graphique du nombre dérivé
Il représente le coefficient directeur de la tangente à Cf au point de Cf d'abscisse x0 (dans l'hypothèse où ce
coefficient directeur et cette tangente existent !)

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Le coefficient directeur de la sécante (AB) est :
h)x(f)hx(f 00 
Lorsque h tend vers 0 :
. le point B tend vers le point A
. la droite (AB) tend alors vers la tangente à Cf en A
. l'accroissement moyen de f en x0 tend vers f '(x0). À la limite, le point B est en A, la droite (AB) est alors
tangente à Cf en A et son coefficient directeur est f '(x0).
2. Interprétation numérique du nombre dérivé
f est dérivable en x0, on a
f(x) = f(x0) + f '(x0) (x – x0) + (x – x0) φ(x – x0) où
)h(φlim0h
= 0
Ainsi lorsque x est voisin de x0, on a l'approximation :
f(x) ≈ f(x0) + f '(x0)(x – x0)
L'application x f(x0) + f '(x0)(x – x0) s'appelle approximation affine de f en x0.
3. Détermination d'une équation de la tangente T à Cf au point A d'abscisse x0
Soit M(x ; y) un point quelconque de cette tangente T distinct de A. Le coefficient directeur de T est :
f ’(x0) =
0
0
xx )x(fy
D'où une équation de T :
y = f(x0) + f '(x0)(x – x0)
On constate que la tangente T n'est autre que la représentation graphique de l'approximation affine de f (en
x0).
Exemples :
f(x) = - x2 + 3
Équation de la tangente T au point d'abscisse x0 = 2
On calcule f '(2) :
f '(x) = - 2x, on obtient immédiatement f '(2) = - 4.
L'équation de T est donc :
y = f(2) + f '(2)(x - 2) = - 1 – 4 (x - 2) = - 4x + 7

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§ 3 Dérivées des fonctions usuelles
§ 4 Opérations sur les fonctions dérivables
(k u)’ = k u’ (u + v)’ = u’ + v’ (u v)’ = u’ v + u v’
²v 'uvv'u v
u
§ 5 Dérivation d’une fonction composée
Théorème :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable en f(x) pour tout x appartenant à
I, alors la fonction composée g f est dérivable sur I, et pour tout x de I, on a
(g f)'(x) = f '(x) g'(f(x))
Principe de la démonstration :
Soit f une fonction dérivable en x0 g une fonction dérivable en f(x0). Étudions si go f est dérivable en x0.
Puisque f est dérivable en x0, il existe un intervalle I contenant 0 tel que :
Pour tout h I f(x0 + h) = f(x0) + h f '(x0) + h (h) (1)
étant une fonction telle que
0)h(lim0h 
.
Puisque g est dérivable en f(x0), il existe un intervalle J contenant 0 tel que :
Ensemble de définition
Fonction
Dérivée
Ensemble de
dérivabilité
ℝ
x
k (k constante)
x
0
ℝ
ℝ
x
xn (n ∈ ℕ*)
x
nxn-1
ℝ
ℝ*
x
x
1
x
²x
1
ℝ
ℝ*
x
n
x
1
(n ∈ ℕ*)
x
1n
xn
ℝ*
ℝ+
x
x
x
x2
1
ℝ*+
ℝ
x
sin x
x
cos x
ℝ
ℝ
x
sin (ax + b)
x
a cos (ax + b)
ℝ
ℝ
x
cos x
x
- sin x
ℝ
ℝ
x
cos (ax + b)
x
- a sin (ax + b)
ℝ
ℝ \
 Zk;πk
2
π
x
tan x
x
1 + tan²x
x
x²cos
1
ℝ \
 Zk;πk
2
π
ℝ*+
x
ln x
x
x
1
ℝ*+
ℝ
x
ex
x
ex
ℝ

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Pour tout k J g [f(x0) + k] = g [f(x0)] + kg' [f(x0)] + k (k). (2)
étant une fonction telle que
0)k(lim0k 
.
D'après (1), on peut poser f(x0 + h)=f(x0) + k avec k = h f '(x0) + h (h). L'égalité (2) peut alors s'écrire au
voisinage de h = 0 :
g[f(x0 + h)] = g[f(x0)] + [h f '(x0) + h (h)]g' [f(x0)] + h (h)
g[f(x0 + h)] = g[f(x0)]+ h f '(x0) g' [f(x0)] + h (h)
g[f(x0 + h)] = g f(x0) + h [g' f(xo) f '(xo) + h (h) (3)
où
et
sont des fonctions de h de limite 0 quand h tend vers 0
Donc g f est dérivable en x0, le nombre dérivé étant : g' f(x0) f '(x0)
Ensemble de définition
Fonction
Dérivée
I
u
u2
'u
I
un n ∈ℕ*
n u’un-1
I
v
1
²v'v
I
n
v
1
(n ∈ ℕ*)
1n
v'nv
I
eu
u’ eu
I
ln u
u'u