DERIVATION

DERIVATION
Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur ℝ ou une partie de ℝ
§ 1 Dérivabilité en un point
1. Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I. Les deux assertions suivantes sont
équivalentes :
1) Il existe un réel ℓ tel que l'accroissement moyen ait pour limite ℓ :
lim
h 0
f (x 0  h)  f (x 0 )
=ℓ
h
2) Il existe un réel ℓ et une fonction φ tels que pour tout h tel que x0 + h ∈ I :
f(x0 + h) = f(x0) + ℓh + hφ(h) où lim φ(h )  0
h 0
2. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I.
Lorsque l'une des deux conditions du théorème ci-dessus est vérifiée, on dit que : f est dérivable en x0
Le nombre ℓ s'appelle alors le nombre dérivé de f en x0 et on le note f '(x0).
Remarques :
 La limite de l'accroissement moyen de f en x0 (lorsqu'il existe) peut encore s'écrire sous la forme
suivante
f (x)  f (x 0 )
x x 0
x  x0
f (x 0  h)  f (x 0 )
 Graphiquement, la quantité
représente le coefficient directeur de la sécante à la
h
courbe Cf de f entre les points d'abscisses x0 et x0 + h
lim
 Lorsque l'accroissement moyen n'admet pas de limite en x0, il se peut qu'il en admette une à droite
(ou à gauche) de x0. On dit alors que f est dérivable à droite (ou à gauche) en x0.
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Exemples d'utilisation de la définition :
1) On considère la fonction f définie sur ℝ+ par f(x) =
x . Étudier sa dérivabilité en 0.
Pour cela, on évalue la limite de l'accroissement moyen de f en x0 = 0 :
f (x 0  h)  f (x 0 )
0h  0
lim
 lim
h 0
h 0
h
h
h
= lim
h 0 h
1
= lim
h0
h
=+∞
La limite n'est pas finie. La fonction "racine carrée" n'est donc pas dérivable en 0. Cependant, la courbe
admet, au point d'abscisse 0, une demi-tangente verticale.
2) On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = | x |. Étudier sa dérivabilité en 0.
lim
0h  0
h 0
h
Or, la quantité
lim
h 0
h 0
h
h
 lim
h 0
h
h
h
1
h 0 h
h 0
 lim
h
h
n'a pas de limite en 0. En effet :
et
lim
h 0
h 0
h
h
h
 1
h 0 h
h 0
 lim
(Les limites à gauche et à droite sont différentes...)
L'accroissement moyen de la fonction f n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n'est
pas dérivable en 0.
Cependant, elle est dérivable "à droite" de 0 et "à gauche" de 0.
La courbe admet donc deux demi-tangentes distinctes de coefficients directeurs respectifs 1 et -1
§ 2 Différentes interprétations du nombre dérivé
1. Interprétation graphique du nombre dérivé
Il représente le coefficient directeur de la tangente à Cf au point de Cf d'abscisse x0 (dans l'hypothèse où ce
coefficient directeur et cette tangente existent !)
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Le coefficient directeur de la sécante (AB) est :
f (x 0  h)  f (x 0 )
h
Lorsque h tend vers 0 :
. le point B tend vers le point A
. la droite (AB) tend alors vers la tangente à Cf en A
. l'accroissement moyen de f en x0 tend vers f '(x0). À la limite, le point B est en A, la droite (AB) est alors
tangente à Cf en A et son coefficient directeur est f '(x0).
2. Interprétation numérique du nombre dérivé
f est dérivable en x0, on a
f(x) = f(x0) + f '(x0) (x – x0) + (x – x0) φ(x – x0) où lim φ(h ) = 0
h0
Ainsi lorsque x est voisin de x0, on a l'approximation :
f(x) ≈ f(x0) + f '(x0)(x – x0)
L'application x  f(x0) + f '(x0)(x – x0) s'appelle approximation affine de f en x0.
3. Détermination d'une équation de la tangente T à Cf au point A d'abscisse x0
Soit M(x ; y) un point quelconque de cette tangente T distinct de A. Le coefficient directeur de T est :
y  f (x 0 )
f ’(x0) =
x  x0
D'où une équation de T :
y = f(x0) + f '(x0)(x – x0)
On constate que la tangente T n'est autre que la représentation graphique de l'approximation affine de f (en
x0).
Exemples :
f(x) = - x2 + 3
Équation de la tangente T au point d'abscisse x0 = 2
On calcule f '(2) :
f '(x) = - 2x, on obtient immédiatement f '(2) = - 4.
L'équation de T est donc :
y = f(2) + f '(2)(x - 2) = - 1 – 4 (x - 2) = - 4x + 7
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§ 3 Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de définition
Fonction
x  k (k constante)
ℝ
Dérivée
x 0
Ensemble de
dérivabilité
ℝ
n-1
x  nx
ℝ
ℝ
ℝ+
x  xn (n ∈ ℕ*)
1
x
x
1
x  n (n ∈ ℕ*)
x
x x
ℝ
x  sin x
1
x²
n
x   n 1
x
1
x
2 x
x  cos x
ℝ
x  sin (ax + b)
x  a cos (ax + b)
ℝ
ℝ
x  cos x
x  - sin x
ℝ
ℝ
x  cos (ax + b)
x  - a sin (ax + b)
ℝ
π

ℝ \   kπ ; k  Z 
2

x  tan x
π

ℝ \   kπ ; k  Z 
2

ℝ*+
x  ln x
ℝ
x  ex
x  1 + tan²x
1
x
cos ² x
1
x
x
x  ex
ℝ
ℝ*
ℝ*
x
ℝ*
ℝ*+
ℝ
ℝ*+
ℝ
§ 4 Opérations sur les fonctions dérivables
(k u)’ = k u’
(u + v)’ = u’ + v’
(u v)’ = u’ v + u v’

u ' v  uv '
u
  
v²
v
§ 5 Dérivation d’une fonction composée
Théorème :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable en f(x) pour tout x appartenant à
I, alors la fonction composée g  f est dérivable sur I, et pour tout x de I, on a
(g  f)'(x) = f '(x)  g'(f(x))
Principe de la démonstration :
Soit f une fonction dérivable en x0 g une fonction dérivable en f(x0). Étudions si go f est dérivable en x0.
Puisque f est dérivable en x0, il existe un intervalle I contenant 0 tel que :
Pour tout h  I
f(x0 + h) = f(x0) + h f '(x0) + h  (h) (1)
 étant une fonction telle que lim (h )  0 .
h 0
Puisque g est dérivable en f(x0), il existe un intervalle J contenant 0 tel que :
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Pour tout k  J
g [f(x0) + k] = g [f(x0)] + kg' [f(x0)] + k  (k). (2)
 étant une fonction telle que lim (k )  0 .
k 0
D'après (1), on peut poser f(x0 + h)=f(x0) + k avec k = h f '(x0) + h  (h). L'égalité (2) peut alors s'écrire au
voisinage de h = 0 :
g[f(x0 + h)] = g[f(x0)] + [h f '(x0) + h  (h)]g' [f(x0)] + h  (h)
g[f(x0 + h)] = g[f(x0)]+ h f '(x0)  g' [f(x0)] + h  (h)
g[f(x0 + h)] = g  f(x0) + h [g'  f(xo)  f '(xo) + h  (h)
(3)
où  et  sont des fonctions de h de limite 0 quand h tend vers 0
Donc g  f est dérivable en x0, le nombre dérivé étant : g'  f(x0)  f '(x0)
Ensemble de définition
I
I
I
I
I
I
Fonction
Dérivée
u'
u
un
n ∈ℕ*
1
v
1
(n ∈ ℕ*)
vn
eu
ln u
2 u
n u’un-1
v'
v²
nv '
 n 1
v
u’ eu
u'
u

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§ 6 Variations d’une fonction
1. Rappels
. Une fonction croissante sur un intervalle I est une fonction qui conserve l'ordre ; les images sont rangées
dans le même ordre que leurs antécédents :
pour tous les réels a et b de I, a  b entraîne f(a)  f(b).
. Une fonction décroissante sur un intervalle I est une fonction qui inverse l'ordre ; les images sont toujours
rangées dans l'ordre inverse de celui de leurs antécédents :
pour tous les réels a et b de I,
a  b entraîne f(a)  f(b).
2. Sens de variation et opérations
Propriétés
. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
Si f et g ont le même sens de variation sur I, alors la fonction f + g a aussi ce même sens de variation sur I.
Si f et g sont croissantes et positives sur I, alors la fonction f g est croissante sur I.
. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J, et g une fonction
définie sur l'intervalle J.
Si f et g ont le même sens de variation, l'une sur I et l'autre sur J, alors la fonction composée g o f est
croissante sur I.
Si f et g ont des sens de variation contraires, l'une sur I et l'autre sur J ,alors la fonction composée g o f est
décroissante sur I.
Exemples
. La fonction affine x  1 - x est décroissante sur ]-  ; 1 [ et prend ses valeurs dans] 0 ; +  [ .
La fonction x  x est croissante sur ] 0 ; +  [ .
Donc la composée x  1 x est décroissante sur ]-  ; 1 [ .
1
1
est décroissante sur ]0; +  [ , donc la composée x 
est croissante sur ]-  ;
x
1 x
1[. . La fonction x  (x + 2) x est croissante sur [0; +  [ comme produit des fonctions x  x + 2 et
Or, la fonction x 
x  x qui sont toutes les deux croissantes et positives sur [0; +  [ .
3. Dérivée et variations
Théorèmes admis
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
. Si la fonction dérivée f ' est nulle sur l'intervalle I, alors la fonction f est constante sur cet intervalle.
. Si la fonction dérivée f ' est strictement positive sur l'intervalle l, alors la fonction f est strictement
croissante sur cet intervalle.
. Si la fonction dérivée f ' est strictement négative sur l'intervalle I, alors la fonction f est strictement
décroissante sur cet intervalle.
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