I – Rappels

3ème - chap II TP 2 : PGCD de deux nombres entiers DOC II-2
Mme JORRO Année scolaire 2013 – 2014 Page 1 sur 3
Activité 1 : Retour sur la division euclidienne
On rappelle que : si a et b sont des nombres entiers (b non nul), diviser a par b, c’est trouver q et r tels que :
avec
 Depuis votre « home », dans les ressources de votre classe, lancer (double clic) le fichier 3e_DOCII2.ods .
 Le but est de remplir les cellules A7, C7, E7 et G7 (à l’aide des cellules B3 et B4) de sorte que :
Etant donnés deux nombres entiers positifs renseignés en B3 et B4 :
 C7 renvoie le nombre indiqué en B4.
 E7 renvoie le quotient de la division du nombre en B3 par le nombre en B4.
 G7 renvoie le reste de la division du nombre en B3 par le nombre en B4.
 A7 vérifie l’égalité donc A7 renvoie la somme du produit de C7 par E7 et de G7. On doit retrouver
le nombre entré en B3.
N.B. : une formule commence toujours par « = ».
La touche permet d’accéder aux formules prédéfinies du tableur.
Parmi celles-ci :
QUOTIENT(a ; b) permet le calcul du quotient de la division entière du nombre a par le nombre b.
MOD(a ; b) permet le calcul du reste de la division entière du nombre a par le nombre b.
Penser à enregistrer régulièrement le fichier modifié dans votre « Home ».
 Quelle égalité peut-on écrire pour traduire la division euclidienne de 568 par 13 ?
…………………………………………………………………………………………………………………
 En modifiant les valeurs de B3 et B4, tester la division euclidienne de 988 par 19 :
o Que dire du reste obtenu ? …………………………………………………………………………
o Qu’en déduire ?..................................................................................................................................

3ème - chap II TP 2 : PGCD de deux nombres entiers DOC II-2
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Activité 2 : Calcul du PGCD de deux nombres entiers par l’algorithme des différences successives
On se propose pour commencer de calculer le PGCD de 493 et de 377.
 Cliquer sur la seconde feuille de calcul, appelée « PGCD » et la remplir selon le modèle ci-dessous :
 Entrer en D3 la formule qui va donner la différence entre le nombre donné en B3 et celui en C3.
Reporter cette formule ici : ……………………………………………………………………
 On passe à la ligne 4. Afin d’incrémenter (augmenter de 1) le numéro de l’étape, taper en A4 la formule
« =A3+1 ».
Formules utiles pour la suite : toujours par la touche
MIN(a ; b) renvoie a si a < b, sinon renvoie b.
MAX(a ; b) renvoie a si sinon renvoie b.
 En B4, on veut le plus grand des deux nombres écrits en C3 et D3. Quelle formule faut-il entrer ?
L’écrire ici puis sur le tableur en B4 : ……………………………………………………………………..
 En C4, on veut le plus petit des deux nombres écrits en C3 et D3. Quelle formule faut-il entrer ?
L’écrire ici puis sur le tableur en C4 : …………………………………………………………………….
 On veut en D4 la formule qui va donner la différence entre le nombre entré en B4 et celui en C4.
L’écrire ici puis sur le tableur en D4 : ……………………………………………………………………...
Attention : pas de nombres rentrés directement sur la ligne 4. Uniquement avec utilisation de formules !
Vous devez obtenir :
On pourrait passer aux lignes suivantes et ressaisir les formules à la main. Mais l’utilisation du tableur aurait
alors peu d’intérêt. Il est bien plus rapide d’utiliser pour cela la poignée de copie.
 Commencer par sélectionner la plage de cellules A4 : D4 puis tirer vers le bas autant que nécessaire.
Conclusion :
PGCD(493 ; 377) = ………………….. . Calcul effectué en ………………… étapes.
 Modifier les nombres en B3 et C3 afin de compléter les lignes ci-dessous :
PGCD(31 929 ; 15 047) = ………………………………. . Calcul effectué en ………………….. étapes.
PGCD(5 432 ; 3 894) = …………………………………. . Calcul effectué en ………………….. étapes.
a
a
b
b

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Activité 3 : une nouvelle méthode
 Reprendre l’algorithme des différences avec les nombres 493 et 377.
 Faire une remarque sur les étapes 2 à 4: ……………………..……………………………………….………..
……………………………………………………………………………………………………………………...
Avec quel type d’opération pourrait-on raccourcir les étapes 2 à 4 en une seule étape ? …………………………
Observer de même les étapes 5 à 8. Elles pourraient se résumer en une seule étape.
 Se placer à la colonne F et remplir comme le modèle ci-dessous :
 Taper en I3 la formule qui va donner le reste dans la division entière du nombre entré en G3 et celui en H3.
 On passe à la ligne 4. En F4, incrémenter de 1 le numéro de l’étape.
 En G4, on veut la valeur de la cellule H4.
 En H4, on veut la valeur de la cellule I4.
 Grâce à la poignée de copie, recopier la formule de I3 en I4.
 Sélectionner la plage de cellules F4 : I4 puis tirer la poignée de copie vers le bas autant que nécessaire.
Conclusion :
PGCD(493 ; 377) = ………………….. . Calcul effectué en ………………… étapes.
Cette méthode s’appelle qui utilise des divisions successives s’appelle l’algorithme d’Euclide.
 Modifier les nombres en G3 et H3 afin de compléter les lignes ci-dessous :
PGCD(31 929 ; 15 047) = ………………………………. . Calcul effectué en ………………….. étapes.
PGCD(5 432 ; 3 894) = …………………………………. . Calcul effectué en ………………….. étapes.
Quelle remarque peut-on faire si l’on compare les deux méthodes ? ..…………………………………………….
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