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Intégrales et dérivées : deux
notions intimement liées
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1. Théorème fondamental du calcul intégral :
1.1. Introduction :
Dans chacun des exemples ci-dessous, f est une fonction continue et positive sur
;0
. X
est un réel positif quelconque et
)(XA
désigne l’aire de la surface délimitée par
f
C
, l’axe des
abscisses et les droites d’équation
0x
et
Xx 
.
Exemple 1 :
La fonction f est constante et égale à 2.
Alors
XdxXA X22)( 0 
.
Exemple 2 :
La fonction f est définie par
xxf )(
Alors
2
2
1
2
)( X
XX
xA 

Exemple 3 :
La fonction f est définie par
1)(  xxf
XX
XX
XA  2
2
1
2)11(
)(
Dans ces trois cas, on remarque que la dérivée de la fonction A est f .
Ceci est un résultat général que nous allons énoncer .
1.2. Lien entre intégrale et dérivée ____
T
TH HE EO OR RE EM ME E : :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel quelconque de I . Alors la fonction
x
adttfxF )(: 
est dérivable sur I et sa dérivée est f .
Démonstration : On démontrera ce théorème uniquement dans le cas où f est croissante
sur I .
Soit
0
x
un réel quelconque de I . On doit démontrer que le quotient
0
0)()( xx xFxF
a une
limite finie lorsque x tend vers
0
x
et que cette limite est exactement
)( 0 xf
.
Pour tout x appartenant à
0
xI 
,
x
x
a
x
x
a
x
a
x
adttf
xx
dttfdttf
xx
dttfdttf
xxxx xFxF
00
0)(
1
)()(
1
)()(
1
)()(
0000
0
Distinguons maintenant le cas où
0
xx 
de celui où
0
xx 
:
Si
0
xx 
, f étant croissante sur l’intervalle I et donc aussi sur
xx ;
0
, on aura, pour
tout
xxt ;
0
:
)()()( 0xftfxf 
. D’après l’inégalité e la moyenne on en déduit
alors que :
)()()()()( 000 0xfxxdttfxfxx x
x 
. Puis en divisant chaque membre
par
0
xx 
qui est strictement positif, on obtient que :
)(
)()(
)(
0
0
0xf
xx xFxF
xf 
.

Or f étant continue en
0
x
,
)()(lim 0
0
xfxf
xx 
. Donc d’après le théorème des gendarmes,
)(
)()(
lim 0
0
0
0
xf
xx xFxF
xx 
.
Si
0
xx 
, f étant croissante cette fois sur l’intervalle
0
;xx
, on aura pour tout réel
0
;xxt 
,
)()()( 0 xftfxf 
. En utilisant ensuite l’inégalité de la moyenne, on
obtient que :
)()()()()( 000
0xfxxdttfxfxx x
x 
. Puis en divisant chaque membre
par
xx 
0
qui est strictement positif, on aboutit à
)()(
1
)( 0
0
0xfdttf
xx
xf x
x
.
Soit encore
)()(
1
)( 0
00xfdttf
xx
xf x
x
, d’où :
)(
)()(
)( 0
0
0xf
xx xFxF
xf 
.
Or toujours par continuité
)()(lim 0
0
xfxf
xx 
, donc d’après le théorème des
gendarmes :
)(
)()(
lim 0
0
0
0
xf
xx xFxF
xx 
.
Les limites du taux d’accroissement de F en
0
x
sont égales à
)( 0 xf
lorsque x tend vers
0
x
et
0
x
, donc
)(
)()(
lim 0
0
0
0xf
xx xFxF
xx 
. On en déduit que la fonction F est
dérivable en
0
x
et que son nombre dérivé en
0
x
est
)( à xf
. Ceci étant vrai pour tout
Ix 
0
, on peut conclure que F est dérivable sur I et que sa fonction dérivée est f .
Exemple :
Soit
F
la fonction définie sur  par
xdt
t
xF 02
11
)(
. Etudier le sens de variation de F
sur :
La fonction
2
11t
t
est continue sur  donc d’après le théorème précédent la
fonction F est dérivable sur  et
fF '
. Or f est strictement positive sur  donc F est
strictement croissante sur .
2. Primitives d’une fonction :
D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F
dérivable sur I et telle que
fF '
.
Exemples :
1. Les fonctions
kxx cos
,
k
, sont des primitives de la fonction sinus sur 
2. Les fonctions
kxx 
3
3
1
,
k
, sont des primitives de la fonction carré sur .

P
PR RO OP PR RI IE ET TE E : : E EX XI IS ST TE EN NC CE E D DE E P PR RI IM MI IT TI IV VE ES S
Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Alors f admet des primitives sur I .
Démonstration :
C’est une conséquence immédiate du théorème énoncé dans le paragraphe 1 . En effet,
puisque f est continue sur I, alors la fonction
x
adttfxF )(: 
, où a est un réel
quelconque de I, est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction f. Donc F est une
primitive de f sur I .
On en déduit que n’importe quelle fonction de la forme
kF 
,
k
, est aussi une
primitive de f .
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E : : E EN NS SE EM MB BL LE E D DE ES S P PR RI IM MI IT TI IV VE ES S D D’ ’U UN NE E F FO ON NC CT TI IO ON N C CO ON NT TI I N NU UE E
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel quelconque appartenant à I . Alors
l’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble
kkdttfx x
a,)(
.
Démonstration :
1. On a déjà prouvé précédemment que toute fonction de la forme
kdttfx x
a
)(
,
k
,
est une primitive de f .
2. Réciproquement, soit G une primitive de f sur I et a un réel quelconque de I. Notons F la
fonction
x
adttfx )(
. Alors G et F sont dérivables sur I et leur dérivée commune est f. On
en déduit que la fonction
FG
est aussi dérivable sur I et que sa dérivée est la fonction nulle.
Par conséquent cette fonction
FG
est constante sur I. Donc il existe un réel k tel que
kFG 
. Donc G est bien une fonction de la forme
kdttfx x
a
)(
.
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel quelconque de I. Alors
x
adttfxF )(: 
est l’unique primitive de f qui s’annule pour
ax 
.
Démonstration :
F est bien une primitive de f. Cela a été prouvé précédemment. De plus
 a
adttfaF 0)()(
.
Donc elle s’annule bien pour
ax 
.
Reste à prouver l’unicité : soit donc G une primitive de f telle que
0)( aG
. Alors il existe
une constante k telle que
kFG 
. Alors
kaFaG  )()(
. Mais comme
0)()(  aFaG
,
cela impose que
0k
et donc que
FG 
. D’où l’unicité.
Un exemple important :