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Intégrales et dérivées : deux
notions intimement liées
1. Théorème fondamental du calcul intégral :
1.1. Introduction :
Dans chacun des exemples ci-dessous, f est une fonction continue et positive sur  0 ;    . X
est un réel positif quelconque et A( X ) désigne l’aire de la surface délimitée par C f , l’axe des
abscisses et les droites d’équation x  0 et x  X .
Exemple 1 :
La fonction f est constante et égale à 2.
Alors A( X )  
X
0
Exemple 2 :
2dx  2 X .
La fonction f est définie par f ( x)  x
XX 1 2
 X
Alors A( x) 
2
2
Exemple 3 :
La fonction f est définie par f ( x)  x  1
(1  X  1)  X 1 2
A( X ) 
 X X
2
2
Dans ces trois cas, on remarque que la dérivée de la fonction A est f .
Ceci est un résultat général que nous allons énoncer .
1.2. Lien entre intégrale et dérivée
____
THEOREME :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel quelconque de I . Alors la fonction
x
F : x   f (t )dt est dérivable sur I et sa dérivée est f .
a
Démonstration : On démontrera ce théorème uniquement dans le cas où f est croissante
sur I .
F ( x)  F ( x0 )
Soit x 0 un réel quelconque de I . On doit démontrer que le quotient
a une
x  x0
limite finie lorsque x tend vers x 0 et que cette limite est exactement f ( x0 ) .
Pour tout x appartenant à I   x0 ,
x0
a
F ( x)  F ( x0 )
1  x
1  x
1

f (t )dt   f (t )dt  
f (t )dt   f (t )dt  


 x  x0  a
 x  x0
a
x0
x  x0
x  x0  a
Distinguons maintenant le cas où x  x0 de celui où x  x0 :
Si x  x0 , f étant croissante sur l’intervalle I et donc aussi sur  x0 ; x  , on aura, pour
tout t   x0 ; x  : f ( x0 )  f (t )  f ( x) . D’après l’inégalité e la moyenne on en déduit
x
alors que : ( x  x0 ) f ( x0 )   f (t )dt  ( x  x0 ) f ( x) . Puis en divisant chaque membre
x0
par x  x0 qui est strictement positif, on obtient que : f ( x0 ) 
F ( x)  F ( x 0 )
 f ( x) .
x  x0

x
x0
f (t )dt
Or f étant continue en x 0 , lim  f ( x)  f ( x0 ) . Donc d’après le théorème des gendarmes,
x  x0
lim 
x  x0
F ( x)  F ( x 0 )
 f ( x0 ) .
x  x0
Si x  x0 , f étant croissante cette fois sur l’intervalle  x ; x0  , on aura pour tout réel
t   x ; x0 , f ( x)  f (t )  f ( x0 ) . En utilisant ensuite l’inégalité de la moyenne, on
x0
obtient que : ( x0  x) f ( x)   f (t )dt  ( x0  x) f ( x0 ) . Puis en divisant chaque membre
x
x0
1
f (t )dt  f ( x0 ) .
x0  x x
x
F ( x)  F ( x0 )
1
   f (t )dt  f ( x0 ) , d’où : f ( x) 
Soit encore f ( x) 
 f ( x0 ) .
x0
x  x0
x  x0
Or toujours par continuité lim  f ( x)  f ( x0 ) , donc d’après le théorème des
par x0  x qui est strictement positif, on aboutit à f ( x) 
x  x0
F ( x)  F ( x0 )
 f ( x0 ) .
x  x0
x  x0
Les limites du taux d’accroissement de F en x 0 sont égales à f ( x0 ) lorsque x tend vers
F ( x)  F ( x 0 )


 f ( x0 ) . On en déduit que la fonction F est
x0 et x0 , donc lim
x  x0
x  x0
dérivable en x 0 et que son nombre dérivé en x 0 est f ( x à ) . Ceci étant vrai pour tout
x0  I , on peut conclure que F est dérivable sur I et que sa fonction dérivée est f .
gendarmes : lim 
Exemple :
Soit F la fonction définie sur  par F ( x)  
x
0
sur :
1
dt . Etudier le sens de variation de F
1 t2
1
est continue sur  donc d’après le théorème précédent la
1 t2
fonction F est dérivable sur  et F '  f . Or f est strictement positive sur  donc F est
strictement croissante sur .
La fonction t 
2.
Primitives d’une fonction :
DEFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F
dérivable sur I et telle que F '  f .
Exemples :
1. Les fonctions x  cos x  k , k  , sont des primitives de la fonction sinus sur 
1
2. Les fonctions x  x 3  k , k  , sont des primitives de la fonction carré sur .
3
PROPRIETE : EXISTENCE DE PRIMITIVES
Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Alors f admet des primitives sur I .
Démonstration :
C’est une conséquence immédiate du théorème énoncé dans le paragraphe 1 . En effet,
x
puisque f est continue sur I, alors la fonction F : x   f (t )dt , où a est un réel
a
quelconque de I, est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction f. Donc F est une
primitive de f sur I .
On en déduit que n’importe quelle fonction de la forme F  k , k  , est aussi une
primitive de f .
PROPRIETE : ENSEMBLE DES PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTI NUE
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel quelconque appartenant à I . Alors


x
l’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble x   f (t )dt  k , k   .
a
Démonstration :
x
1. On a déjà prouvé précédemment que toute fonction de la forme x   f (t )dt k , k  ,
a
est une primitive de f .
2. Réciproquement, soit G une primitive de f sur I et a un réel quelconque de I. Notons F la
x
fonction x   f (t )dt . Alors G et F sont dérivables sur I et leur dérivée commune est f. On
a
en déduit que la fonction G  F est aussi dérivable sur I et que sa dérivée est la fonction nulle.
Par conséquent cette fonction G  F est constante sur I. Donc il existe un réel k tel que
x
G  F  k . Donc G est bien une fonction de la forme x   f (t )dt  k .
a
PROPRIETE
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel quelconque de I. Alors
x
F : x   f (t )dt est l’unique primitive de f qui s’annule pour x  a .
a
Démonstration :
a
F est bien une primitive de f. Cela a été prouvé précédemment. De plus F (a)   f (t )dt  0 .
a
Donc elle s’annule bien pour x  a .
Reste à prouver l’unicité : soit donc G une primitive de f telle que G (a)  0 . Alors il existe
une constante k telle que G  F  k . Alors G (a)  F (a)  k . Mais comme G (a)  F (a)  0 ,
cela impose que k  0 et donc que G  F . D’où l’unicité.
Un exemple important :
1
est continue sur * , donc elle admet des primitives sur * . Parmi celle-ci, il en
x
existe une seule qui s’annule pour x  1. Il existe donc une seule fonction F dérivable sur *
x
1

*
x   , F ' ( x) 
telle que 
x
 F (1)  0
On démontre ainsi l’existence de la fonction logarithme népérien et donc du même coup
l’existence de sa fonction réciproque : la fonction exponentielle ( qui n’avait pas été prouvée
jusqu’alors) .
PROPRIETE
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels quelconques de I. Soit F
une primitive quelconque de f sur I. Alors
Notation : On écrit aussi

b
a

b
a
f ( x)dx  F (b)  F (a) .
f ( x)dx  F ( x)a .
b
Démonstration :
Soit F une primitive quelconque de f sur I. Alors il existe un réel k tel que :
x
x  I , F ( x)   f (t )dt  k .
a
b
a
b
On en déduit que F (b)  F (a)   f (t )dt  k    f (t )dt  k    f (t )dt .
 a
  a
 a
Exemple :
Calculer
1
 x²dx :
0
Une primitive sur de la fonction carré étant x 
1 3
x on peut écrire que :
3
1
1 3 1 3 1
1 3 
0 x²dx   3 x  0  3 1  3  0  3
1
Calculer une intégrale se ramène donc au problème de la recherche de primitives
3. Recherche d’une (ou des) primitive(s) d’une fonction :
3.1. Tableaux de primitives :
____
Primitives des fonctions usuelles :
f ( x)  k , k  *
Intervalle(s) d’intégration


Une primitive F de f
F ( x)  a , où a  
F ( x)  k  x
f ( x)  x n , n   *

 0;   
1 n 1
x
n 1
F ( x)  ln x
  ; 0 
F ( x)  ln(  x)
   ; 0  ou  0 ;   
F ( x)  
Fonction f
f ( x)  0
1
x
1
f ( x) 
x
1
f ( x)  n , n   et n  2
x
1
f ( x) 
x
x
f ( x)  e
f ( x)  cos x
f ( x)  sin x
f ( x) 
 0;   

f ( x)  cos( ax  b) , a  *



f ( x)  sin( ax  b) , a  *

f ( x) 
1
 1  tan ² x
cos ² x
F ( x) 

 
  2  k ; 2  k

 , k  
1
1
 n 1
n 1 x
F ( x)  2 x
F ( x)  e x
F ( x)  sin x
F ( x)   cos x
1
F ( x)  sin( ax  b)
a
1
F ( x)   cos( ax  b)
a
F ( x)  tan x
Opérations sur les primitives :
u et v sont deux fonctions continues sur un intervalle I (dérivables sur I pour les lignes 3, 4, 5
7, 8 et 9) .On note U et V des primitives respectives de u et de v sur I.
f  k  u, k  *
Intervalle d’intégration
I
I
Une primitive F de f
F  U V
F  k U
f  u 'u n , n   *
I
F
f 
u'
, n   et n  2
un
f  u'e u
Sur tout intervalle inclus dans
I où u ne s’annule pas
I
f ( x)  u (ax  b) , a  *
Sur tout intervalle J tel que
x  J , ax  b  I
Fonction f
f uv
1
 u n 1
n 1
1
1
F 
 n 1
n 1 u
u
F e
1
F ( x)  U (ax  b)
a
f 
u'
u
u'
f 
u
u'
f 
u
Sur tout intervalle inclus dans
I où u  0
F 2 u
Sur tout intervalle inclus dans
I où u  0
Sur tout intervalle inclus dans
I où u  0
F  ln  u
F  ln  (u )
Exemples :
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes en précisant l’intervalle
d’intégration :
1
1. f ( x)  4 x ²  5 x 
x²
4
5
1
La fonction F définie par F ( x)  x 3  x 2  est une primitive de f sur    ; 0  et
3
2
x
sur  0 ;    .
2. f ( x)  tan ² x
f ( x)  1  tan ² x  1 .
La fonction F définie par F ( x)  tan x  x est une primitive de f sur tout intervalle de la

 

forme    k ;  k  , k  .
2
 2

3. f ( x)  3 sin( 4 x  1)
3
La fonction F définie par F ( x)   cos( 4 x  1) est une primitive de f sur .
4
3
4. f ( x)  x(5 x²  2)
Posons u ( x)  5 x ²  2 . u est dérivable sur  et u ' ( x)  10 x .
1
f est alors de la forme f  u '  u 3 .
10
1 1
1
5 x²  24 est une primitive de
Donc la fonction F définie par F ( x)   u ( x) 4 
10 4
40
f sur .
4 x²
5. f ( x)  3
.
( x  1) 2
Posons u( x)  x 3  1 ; u est dérivable sur  et ne s’annule pas sur    1  et
u ' ( x)  3x ² .
4 u'
f est de la forme f   2 .
3 u
4 1
4

Donc la fonction F définie par F ( x)  
est une primitive de f sur
3
3 u ( x)
3x  1
les intervalles    ; 1  et   1;    .
1
6. f ( x) 
.
x ln x
Posons u ( x)  ln x ; u est dérivable sur * , strictement positive sur 1;    et
1
strictement négative sur  0 ;1  et u ' ( x)  .
x
u'
f est de la forme f 
u
Donc la fonction F définie par F ( x)  ln u( x)  ln ln x est une primitive de f sur
1;    et la fonction G définie par G( x)  ln  u( x)  ln  ln x est une primitive de f
sur  0 ;1  .
3.2. Primitives d’une fonction rationnelle :
__________
Exemple :
Soit f ( x) 
1
x²  5x  6
1) Déterminer deux réels a et b tels que x      2 ;  3 ,
 f ( x) 
a
b

.
x2 x3
a( x  3)  b( x  2) (a  b) x  3a  2b
a
b
x      2 ;  3 , ,



.
x2 x3
( x  2)( x  3)
x²  5x  6
a  b  0
Il suffit donc de choisir a et b de telle sorte que 
.
3a  2b  1
a  b  0
b  a
a  1
.
 
 

3a  2b  1
3a  2a  1
b  1
2) Déterminer une primitive de f sur l’intervalle   3;  2  :
Posons u ( x)  x  2 et v( x)  x  3 ; u et v sont dérivables sur   3;  2  et
u ' ( x)  v' ( x)  1. De plus u  0 et v  0 sur   3;  2  .
u ' v'
f est de la forme f   .
u v
Donc la fonction F définie par
x2
F ( x)  ln  u ( x)  ln v( x)  ln(  x  2)  ln( x  3)  ln
est une primitive de f sur
x3
  3;  2  .
3.3. Primitives d’un polynôme trigonométrique :
____
Exemple :
Soit f ( x)  cos 4 x . Déterminer une primitive de f sur .
Dans un 1er temps, on linéarise f ; c’est-à-dire qu’on l’écrit sous la forme d’une somme
de fonctions du type sin( ax) et cos(ax) :
D’après les formules d’Euler : cos x 
e ix  e ix
. Donc :
2
4
 e ix  e ix 
e 4ix  4e 3ix e  ix  6e 2ix e 2ix  4e ix e 3ix  e 4ix
 
cos x  
2
16


4 ix
4 ix
2ix
2 ix
e e
4e e
 6 2 cos( 4 x)  8 cos( 2 x)  6 1
1
3
cos 4 x 

 cos( 4 x)  cos( 2 x) 
16
16
8
2
8
1
1
3
Donc la fonction F définie par F ( x)  sin( 4 x)  sin( 2 x)  x est une primitive de f
32
4
8
sur .
4

 

4. Intégration par parties :
PROPRIETE
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u ' et v ' soient continues
sur I. Alors pour tous réels a et b appartenant à I, on a :

b
a
u( x)  v' ( x) dx  u( x)  v( x)a   u' ( x)  v( x) dx .
b
b
a
Démonstration :
Cette propriété s’appuie sur l’égalité u  v'  u'v  u  v' .
De cette égalité, on déduit que
a u  v' ( x)dx  a u'v  u  v'( x) dx  a u' ( x)  v( x) dx  a u( x)  v' ( x) dx .
b
b
b
Or une primitive de u  v' est u  v , donc
b
 u  v' ( x)dx   u( x)  v( x) .
b
a
b
a
D’où u( x)  v( x)a   u' ( x)  v( x)dx   u( x)  v' ( x)dx , soit par transposition :
b
b
b
a
a
 u( x)  v' ( x) dx  u( x)  v( x)   u' ( x)  v( x) dx .
b
b
b
a
a
a
Cette formule est utile lorsqu’on doit intégrer une fonction de la forme u ( x)  v' ( x) et qu’on
ne sait pas trouver une primitive de cette fonction alors qu’on sait déterminer une primitive de
u ' ( x)  v( x) .
Exemples :

1. Calculer l’intégrale I   x sin x dx .
0
Posons : u ( x)  x et v' ( x)  sin x
u ' ( x )  1 et v( x)   cos x .
u et v sont dérivables sur  0 ;  et leurs dérivées sont continues sur cet intervalle . On
peut donc intégrer par parties :
I    cos x  x 0    cos x dx   cos   0 cos 0   cos x dx    sin x0    sin   sin 0



0
0

I 

2. Calculer l’intégrale J   x 2 cos x dx .
0
Posons u ( x)  x ² et v' ( x)  cos x
u ' ( x )  2 x et v( x)  sin x .
u et v sont dérivables sur  0 ;  et leurs dérivées sont continues sur cet intervalle . On
peut donc intégrer par parties :
J  x² sin x0   2 x sin x dx   ² sin   0² sin 0  2I  2


0
3. Déterminer la primitive F de la fonction ln sur * ,qui s’annule en 1 : pour tout
x
x  * , F ( x)   ln t dt
1
Posons u (t )  ln t et v ' (t )  1
1
u ' (t )  et v (t )  t
t
Pour tout réel x  0 , u et v sont dérivables sur l’intervalle d’extrémités 1 et x et leurs
dérivées sont continues sur cet intervalle . On peut donc intégrer par parties :
x
x
1
x
x
F ( x)  t ln t 1   t  dt  x ln x  ln 1   1dt  x ln x   t 1  x ln x  x  1 .
1
1
t
5 Applications du calcul intégral :
5.1. Calcul d’aire :

__________
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle  a; b  et D la surface délimitée
par C f , l’axe (Ox) et les droites d’équation x  a et x  b . Alors
b
Aire( D)   f ( x)dx u.a.
a
Exemple :
f ( x)  sin x et  a ; b    0 ;  .
f est continue et positive sur  0 ;
Donc
Aire( D)   sin x dx    cos x0

0
  cos   cos 0
D’où Aire ()  2 u.a.



Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle  a; b  et D la surface délimitée
par C f , l’axe (Ox) et les droites d’équation x  a et x  b . Alors
b
Aire( D)   f ( x)dx u.a.
a
Exemple :
f ( x)  sin x et  a ; b     ; 2 
f est continue et négative sur   ; 2
Donc
Aire( D)  
2


sin xdx   cos x
2
 cos 2  cos   2
D’où Aire ( D )  2 u.a.

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle  a; b  et telles que
x   a ; b , f ( x)  g ( x) . Soit D la surface comprise entre C f , C g et les droites
d’équation : x  a et x  b . Alors Aire( D)   g ( x)  f ( x)dx .
b
a
Exemples :
 
1. f ( x)  sin x , g ( x)  cos x et  a ; b    0 ;  .
 4
 
f et g sont continues sur  0 ;  et
 4
 
x   0 ;  f ( x)  g ( x) , donc
 4
Aire ( D)  

4
0

cos x  sin xdx  sin x  cos x04
 sin
D’où : Aire( D)  2  1 u.a .
2.
 
f ( x)  sin x , g ( x)  cos x et  a ; b    0 ;  .
 2

4
 cos

4
 sin 0  cos 0  2  1
 
 
 
f et g sont continues sur  0 ;  et f  g sur  0 ;  mais f  g sur  ;  , donc
 2
 4
 4 2


Aire ( D)   4 cos x  sin x dx  2 sin x  cos x dx
0
4


Aire( D)  sin x  cos x   cos x  sin x2
4
0
4
Aire ( D)  2  1  1  2  2 2  2 u.a.
5.2. Calcul de volumes :
PROPRIETE DE BASE
  


 O ; i ; j ; k  est un repère orthonormé de l’espace.


 est un solide limité par deux plans orthogonaux à (Oz) d’équations z  a et z  b .
Pour tout z   a ; b  , on note S (z ) l’aire de la section de  avec le plan orthogonal à (Oz) de
cote z.
Si la fonction S : z  S ( z ) est continue sur l’intervalle  a; b  , alors le volume de  est
donné par la formule :

b
a
S ( z ) dz .
Exemples : volumes des solides usuels
1. Volume d’un cylindre de révolution :
z
h
H
m
o
x
y
Soit  un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur h. Alors  est limité par les
plans d’équations z  0 et z  h et pour tout z   0 ; h , S ( z)   R² .
La fonction S étant constante sur l’intervalle  0 ; h  , elle est continue sur cet intervalle
et on a V ( z )    R 2 dz   R 2  1dz   R 2  z 0   R 2 h .
h
h
0
0
h
2. Volume d’un cône de révolution :
hz
z
y
o
x
Soit  un cône de révolution de rayon R et de hauteur h. Alors  est limité par les
plans d’équations z  0 et z  h et pour tout z   0 ; h , S ( z )   r 2 , le rayon r vérifiant
r
z
z
R2 2
 , soit r  R . D’où : S ( z )   2 z .
d’après le théorème de Thalès
R h
h
h
La fonction S est continue sur l’intervalle  0 ; h  , donc
h
h
0
0
V ()   S ( z ) dz  
R2 2
R2
 2 z dz   2
h
h

h
0
h
z
2
dzz  
R 2 1 3 
R2 1 3 1
z    2  h   R2h
2 
3
3
h 3  0
h
3. Volume d’une demi-sphère :
h
m'
z
m
y
o
x
Soit  une demi-sphère de rayon R. Alors  est limité par les plans d’équations z  0
et z  R et pour tout z   0 ; R , S ( z )   r 2 , le rayon r vérifiant d’après le théorème


de Pythagore r  R 2  z 2 . D’où S ( z )   R 2  z 2 .
La fonction S est continue sur l’intervalle  0 ; R , donc :
R
R


V ()   S ( z )dz    R  z dz   R
0
0
V ( )   R 
3
 R3
3
2
2
2

R
0
R
1 dz    z dz   R
2
2
à
z 
R
0
R
 z3 
  
 3 0
2 R 3
.

3
On en déduit que le volume de la sphère est égal à
4
 R3 .
3
4. Volume d’une pyramide :
z
S
H
C
D
o
B
y
A
x
Soit  une pyramide de hauteur h dont la base est un polygone B. Alors  est limité
par les plans d’équations : z  0 et z  h et S (z ) est l’aire d’un polygone qui d’après le
z
théorème de Thalès est une réduction du polygone B de coefficient . Donc
h
2
z
S ( z )  aire ( B) 2 .
h
La fonction S est continue sur l’intervalle  0 ; h  , donc :
h
V ( )  
h
0
z2
aire ( B) h 2
aire ( B)  z 3 
aire ( B) h 3 1
aire ( B)  2 dz 
z
dz



 aire ( B)  h
 
3 3
h
h 2 0
h2  3 0
h2
PROPRIETE
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle  a; b  . Alors le volume du solide
b
 engendré en faisant tourner C f autour de (Ox) est donné par V ()    f ( x) 2 dx .
a
Exemple :
Calculer le volume engendré par rotation de la courbe représentative de la fonction carré
autour de (Ox) sur l’intervalle 0;1 
La fonction carré est positive et continue sur l’intervalle 0;1  , donc
1
1
V  
0
 x5 

x dx     
unités de volume
 5 0 5
4
5.3. Application à la cinématique :
____
déjà exposé au chapitre précédent
5.4. Calcul de valeur moyenne :
____
Exemple :
La capacité pulmonaire exprimée en litres de l’être humain suivant son âge x exprimé
110(ln x  2)
en années est donnée par la fonction f définie par f ( x) 
pour x  10 ; 90
x
Déterminer la valeur moyenne de la capacité pulmonaire de 20 à 70 ans, à 0,1 litre près
par défaut :
70
1
110 70 ln x  2
cm 
f ( x)dx 
dx .

70  20 20
50 20
x
1
Posons u ( x)  ln x  2 ; u est dérivable sur  20 ; 70  et u ' ( x)  .
x
ln x  2
 u ' ( x)  u ( x) . Donc
Alors
x
70

11  1
11

ln x  22
c m   u ( x) 2  
5 2
 20 10
D’où cm  4,5 litres.

70
20


11
ln 70  22  ln 20  22
10
