Université d`Antananarivo

Université d’Antananarivo
Faculté des Sciences .
Département de Physique
COURS DE CALCUL FORMEL
MAPLE
CHAPITRE 1
Filière : LISTE 3
Année Universitaire – 2012
RAKOTOSALAMA
EXCLU DE PRÊT
Attention ! Toute reproduction intégrale ou partielle de cet ouvrage , par quelque procédé que ce soit constituerait une
contre – façon sanctionnée par le code pénal
1
CoursMaple7Liste2011 / CoursMaple / Bureau / Toshiba1
CHAPITRE 1 :
DÉCOUVERTE DES PREMIERES FONCTIONNALITÉS DU LOGICIEL MAPLE
I – Introduction
Maple est un système de calcul formel , c.à.d . un logiciel qui permet de faire des
mathématiques en manipulant des expressions symboliques . Contrairement à la plupart des
langages classiques de programmation il peut traiter non seulement des quantités numériques
( entières , réelles , complexes ) mais aussi des polynômes , des fonctions , des séries ,... et
d'effectuer des opérations courantes : dérivation , intégration , limites , simplifications ,.etc ,...
Maple permet aussi de faire les calculs numériques classiques : solution d'équations ou de
systèmes d'équations , résolution d'équations différentielles ,.de faire des représentations graphiques
( tracer des courbes en 2D , 3D ) , ….
Les possibilités sont nombreuses . Voici un exemple pour montrer un des avantages de
l’utilisation de ce logiciel :
Le calcul de la dérivée 5ème de cos(exp(ln(racine(x+2))) se fait en quelques secondes
avec Maple plutôt que de faire plusieurs pages de calculs manuels .
Soit y = cos( eLog x 2 ) , calculer y(5)
II – Le
logiciel
Le logiciel piraté se trouve dans le dossier MapleInstal du flash . Vous devez être très discret
puisque pirater un logiciel est passible d'une peine de 2 ans de prison et 2 Milliards Fmg d’amende .
Ce logiciel doit être d’une utilisation personnelle .
Maple est un logiciel commercial mais une vieille version ( la version 5rc4 - datant de 1996 )
est distribuée gratuitement . Cette version est largement suffisante pour le programme de cette
formation . On peut le télécharger sur le site dynamaths.free.fr : Maple.zip (13,3Mio) .
III – Installation
Insérer le flash contenant le logiciel , puis l’ouvrir .
Double Cliquer sur le répertoire MapleInstal
Double Cliquer sur le sous dossier singleuser
Double Cliquer sur le fichier Setup ( taille 53 Ko )
Suivre les instructions successives jusqu'à ce que l’installation soit terminée
Le numéro de la série qu’il va vous demander est : 690387923
L’installation terminée , l’icône Maple 7 apparaît sur l’écran de votre ordinateur .
2
IV – Lancement
Double Cliquer sur l’icône Maple 7 du bureau . La feuille se présente comme suit et vous
pouvez commencer à taper après le prompt ( > )
Les zones après le symbole > ( prompt ) sont des zones d'entrée ( input ) . On presse la touche
Entrée pour transmettre l'ordre au logiciel . Les lignes doivent impérativement se terminer par un
point – virgule ; ou par deux points :
Si la ligne se termine par un point-virgule , l'ordre est validé et le logiciel fournit une réponse
dans une zone de sortie ( output ) :
> 12+abs(4-3*sqrt(5));
83 5
Si la ligne se termine par deux points , l'ordre est simplement validé sans réponse du logiciel .
> 12+abs(4-3*sqrt(5)):
Des messages d'erreur peuvent apparaître en cas de mauvaise saisie ou d'opérations illicites :
> 12+abs(4-3*sqrt(5);
Error, `;` unexpected
> 1/cos(Pi/2);
Error, numeric exception: division by zero
On peut obtenir de l'aide sur une fonction en utilisant ? ou help . Ici on cherche de l'aide sur la
fonction solve .
> ? solve;
> help(solve);
Voici quelques exemples de calcul avec leurs résultats fournis par Maple :
V – Faire des calculs simples
Calculer 15 ! ( factoriel 15 )
> restart;
> 15!;
# ou factorial(15)
1307674368000
 1 2
Calculer l’expression : 1  .1  
 7 3
> restart;
> (1-1/7)*(1+2/3)^2;
2
50
21
3
Affecter une valeur à une variable en utilisant :
=
Calculer l’expression : expr = p – Log(p) avec p = 2,14
> restart;
> p:=2.14;
p := 2.14
> expr:=p-ln(p);
expr := 1.379194171
Développer , factoriser , ou simplifier une expression :
Développer l’expression f = ( a + b )6
> restart;
> f:=(a+b)^6;
f := ( ab )6
> expand(f);
a66 a5 b15 a4 b220 a3 b315 a2 b46 a b5b6
Factoriser l’expression y = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
> restart;
> y:=a^4+4*a^3*b+6*a^2*b^2+4*a*b^3+b^4;
y := a 44 a 3 b6 a 2 b 24 a b 3b 4
> y:=factor(y);
y := ( ab ) 4
Remarque :
% permet de rappeler la dernière expression calculée (% est le Ditto Operator)
%% permet de rappeler l'avant-dernière expression calculée.
%%% permet de rappeler l'avant-avant-dernière expression calculée.
Exemple :
> expand(%);
a 44 a 3 b6 a 2 b 24 a b 3b 4
Simplifier l’expression z = sin2(x) + cos2(x)
> restart;
> z:=sin(x)^2+cos(x)^2;
z := sin ( x ) 2cos( x ) 2
> z:=simplify(z);
z := 1
Substituer en utilisant la fonction : subs ( variable = remplacement , expression )
> restart;
> f:=(a+b)^6;
f := ( ab )6
> subs(a=c,f);
( cb )6
4
Calculer à une précision voulue: evalf (expression) ou evalf(expression , nbdécimales)
> evalf(sqrt(3)); # sqrt désigne la racine carrée
1.732050808
> evalf(sqrt(3),50);
1.7320508075688772935274463415058723669428052538104
# permet de définir un commentaire dans une ligne (tout ce qui est après le signe # est ignoré)
Ecrire une expression avec print ou lprint ou printf
> f:=a-3/a+1/(a*a+1);
3
1
f := a  2
a a 1
3
1
a  2
a a 1
> print(f);
> lprint(f);
a-3/a+1/(a^2+1)
Définir une fonction à une ou plusieurs variables:
Définir la fonction f(t) = sin(t) – t , puis calculer q = f(3) et g = f(3x+2)
> restart;
> f:=t-> sin(t)-t;
f := tsin( t )t
> q:=f(3);
q := sin ( 3 )3
> evalf(%);
-2.858879992
> g:=f(3*x+2);
g := sin ( 3 x2 )3 x2
Définir la fonction g(u,v,w) =
1
 eu  v  (u  v  w) 2 puis calculer X = g(1,1,1) et Y = g(a,b2,c)
u
> restart;
> g:=(u,v,w)-> 1/u+exp(u+v)+(u-v+w)^2;
1 ( uv )
g := ( u, v, w ) e
( uvw ) 2
u
> X:=g(1,1,1);
X := 2e 2
> X:=evalf(X);
X := 9.389056099
> Y:=g(a,b^2,c);
2
2
( ab )
1
Y := e
( ab2c )
a
5
Dériver une fonction à une ou plusieurs variables en utilisant la fonction diff :
Calculer la dérivée de la fonction f(t) = sin(t) – t
> restart;
> f:=t-> sin(t)-t;
f := tsin( t )t
> diff(f(t),t);
cos( t )1
1
 eu  v  (u  v  w) 2 par rapport à v
u
Calculer la dérivée de la fonction g(u,v,w) =
> restart;
> g:=(u,v,w)-> 1/u+exp(u+v)+(u-v+w)^2;
( uv )
1
g := ( u, v, w ) e
( uvw ) 2
u
> diff(g(u,v,w),v);
e
( u v )
2 u2 v2 w
> Diff(g(u,v,w),v)=diff(g(u,v,w),v);
( uv )
  1 ( uv )
( uvw ) 2 e
2 u2 v2 w
 e
v  u

Noter la forme inerte Diff qui affiche le signe de dérivée et la forme diff qui calcule la dérivée
Intégrer une fonction à une variable en utilisant la fonction int :
Calculer la primitive de la fonction f(t) = sin(t) – t
> restart;
> f:=t-> sin(t)-t;
f := tsin( t )t
> int(f(t),t); # donne une primitive de f
1
cos( t ) t 2
2
> Int(f(t),t)=int(f(t),t);
sin ( t )t dtcos( t )1 t 2

2

Calculer l’intégrale

0 (sin( t )  t ).dt
> restart;
> f:=t-> sin(t)-t;
( intégrale définie )
f := tsin( t )t
> Int(f(t),t=0..Pi)=int(f(t),t=0..Pi);

 sin ( t )t dt21 2

2
0
6
Calculer l’intégrale
1
  u  e
(u  v )

 (u  v  w) 2 .dv

> restart;
> g:=(u,v,w)-> 1/u+exp(u+v)+(u-v+w)^2;
1 ( uv )
g := ( u, v, w ) e
( uvw ) 2
u
> int(g(u,v,w),v);
( uv ) 1
v
e
 ( uvw ) 3
u
3
> Int(g(u,v,w),v)=int(g(u,v,w),v);
1
 e ( uv )( uvw ) 2 dv v e ( uv )1 ( uvw ) 3


u
3
u

Noter la forme inerte Int qui affiche le signe intégrale (  ) et la forme int qui calcule l'intégrale .
Calcul de limites , de sommes , de produits :
2.t  3
t  3.t  4
> restart;
> limit((2*t-3)/(3*t+4),t=infinity);
Calculer Lim
2
3
Calculer
2.t  3
 3.t  4
 4
t   
Lim
 3
> restart;
> X:=(2*t-3)/(3*t+4);
X :=
2 t3
3 t4
> Limit(X,t=-4/3,right)=limit(X,t=-4/3,right); #limite à droite
lim
t ( -4/3 )+
2 t3

3 t4
Noter la forme inerte Limit qui affiche le symbole limit et la forme limit qui calcule la limite .
10
Calculer
 i2
i 1
> restart;
10
> Sum(i^2,i=1..10)= sum(i^2,i=1..10);
Noter la forme inerte Sum qui affiche le symbole

7
 i 2385
i 1
et la forme sum qui calcule la somme .
5
Calculer
1
i
i 1
> restart;
> Product(1/i,i=1..5)=product(1/i,i=1..5);
5
 i 120
1
1
i 1
Noter la forme inerte Product qui affiche le symbole

et la forme product qui calcule le
produit .
Résoudre une équation à une inconnue en utilisant la fonction solve :
Résoudre l’ équation à une inconnue suivante : 2.t + 3 = – t + 6. 2
> restart;
> solve(2*t+3=-t+6*sqrt(2));
12 2
Résoudre par rapport à u l’ équation suivante :
> restart;
> u:=solve(t-15/4*u = 5/2*(u-t)+3,u);
u :=
14
12
t
25
25
Résoudre un système d'équations à plusieurs inconnues en utilisant la fonction solve :
Résoudre le système d’ équations suivant :
 a b  2

a  3.b  7
> restart;
> solve({a-b=2,a+3*b=7},{a,b});
13
5
{ a , b }
4
4
Approcher les solutions d'une équation ou d'un système d'équations en utilisant la fonction fsolve :
Trouver une racine approchée de l’ équation suivante : cos(t) = t
> restart;
> fsolve(cos(t)=t);
.7390851332
Trouver les racines approchées du système suivant :
 t 3  u  1

u  (t  1)3  t
> restart;
> fsolve({t^3+u=1,u-(t-1)^3=t},{t,u});
{ t.6941457205, u.6655340191 }
8
Représenter une fonction à une ou plusieurs variables en utilisant la fonction plot ou plot3d
sin( x)
Tracer la courbe y =
avec –20 ≤ x ≤ 20
x
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot(sin(x)/x,x=-20..20);
Tracer la surface d’équation z = x2 + y2 ( graphiques en 3 dimensions ) avec avec –2 ≤ x ≤ 2 et
–2 ≤ y ≤ 2
> restart;
> with(plots):
> plot3d(x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2,axes=boxed,style=patchnogrid);
9
FonctionMathMaple / TDMaple2011 / CourTDMapl011 / Bureau / Toshiba1
PRINCIPALES FONCTIONS MATHEMATIQUES DANS LE LANGAGE MAPLE
Fonctions
sin(x) , cos(x) ,
tan(x) , arcsin(x) ,
arcos(x) , arctan(x)
sinh(x) , cosh(x) ,
tanh(x) , arcsinh(x) ,
arcosh(x) , arctanh(x)
Description
Fonctions
trigonométriques
Exemples
> restart;
> sin(Pi); 0
> cos(Pi); -1
> tan(Pi); 0
1
> arcsin(1); 
2
> arccos(1); 0
1
> arctan(1); 
4
Fonctions
trigonométriques
hyperboliques
> restart;
> sinh(2); sinh ( 2 )
> evalf(%); 3.626860408
> cosh(2); cosh( 2 )
> evalf(%); 3.762195691
> tanh(2); tanh ( 2 )
> evalf(%); .9640275801
> arcsinh(1)= evalf(%);
ln ( 1 2 ).8813735869
> arccosh(1); 0
> arctanh(2); arctanh ( 2 )
> evalf(%); .54930614431.570796327 I
ln(x) , log(x)
sqrt(x)
floor(x)
ceil(x)
abs(x)
exp(x)
log[b](x)
iquo(a , b)
irem(a , b)
binomial(n,k)
> restart;
ln( 2 )
> log(2);
> evalf(%); .6931471806
Racine carrée de x
> sqrt(2)=evalf(%); 2 1.414213562
Partie entière de x
> floor(3.1416); 3
Entier immédiatement > ceil(3.1416); 4
supérieur à x
Valeur absolue de x
> abs(-1.678); 1.678
Exponentielle de x
> exp(1)=evalf(%); e2.718281828
> log[10](2)=evalf(%);
ln ( 2 )
Logarithme de base b
.3010299957
ln ( 10 )
Logarithme népérien
Quotient entier de la
division des 2 entiers
a et b
Reste entier de la
division des 2 entiers
a et b
C kn =
n!
k!.(n  k )!
> iquo(16,3); 5
> irem(-16,3); -1
> binomial(6,3); 20
10