http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ Les puissances Exercice N° 1 : Calculer les puissances : 3 (- 4) = (-4) x (-4) x (-4) = (- 64) (-4) multiplié 3 fois par lui même signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = 4 x 4 = 16 16 x 4 = 64 2 2 (- 2x) = (- 2x) x (- 2x) = 4x (- 2x) multiplié 2 fois par lui même signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = + 2x x 2x = 2 x 2 x x x x 2 = 4x (-3) a -5 -n = 1 (-3) 1 5 = n a 5 (-3) = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) (-3) multiplié 5 fois par lui même signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = 3 x 3=9 9 x 3 = 27 27 x 3 = 81 81 x 3 = 243 (-3) -5 = 1/- 243 2 12 1 1 ( ) = 2 = 2 4 2 La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction 2 1 = 1 x 1 = 1 (signe + car la puissance est paire) 2 2 = 2 x 2 = 4 (signe + car la puissance est paire) 5 (-3) = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = - 243 (-3) multiplié 5 fois par lui même signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = 3 x 3=9 9 x 3 = 27 27 x 3 = 81 81 x 3 = 243 Page 1 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ 2 (2 5) ; j’ai deux termes différents dans ma parenthèse : la puissance se distribue sur les 2 termes (2 5) = 2 x 5 2 2 DONC : (2 5) = (2) x ( 5) 2 2 (2) = 2 x 2 = 4 2 ( 5) = 5x 2 2 5=5 (2) x ( 5) = 4 x 5 = 20 3 (-2x) = (- 2x) x (- 2x) x (- 2x) (- 2x) multiplié 3 fois par lui même signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + x - = 2x x 2x x 2x = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 4 x 2= 8 x x xx x x x x = x3 3 3 (-2x) = - 8x x x 2 -(-5) = - (- 5) x (- 5) (- 5) multiplié 2 fois par lui même signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = + 5 x 5 = 25 2 (-5) = 25 DONC : -(-5) 2 = - 25 2 3 - 23 -8 8 (- ) = 3 = =3 3 27 27 La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction 3 - 2 = (-2) x (-2) x (-2) = - 8 (signe - car la puissance est impaire) 3 3 = 3 x 3 x 3 = 27 -5 2 (-5)2 25 ( ) = = -2 (-2) 2 4 La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction 2 (-5) = (-5) x (-5) = 25 (signe + car la puissance est paire) 2 (-2) = (-2) x (-2) = 4 (signe + car la puissance est paire) 4 -3 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) (- 3) multiplié 4 fois par lui même signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = + x - = - x - = + 3 x 3 = 9 x 3 = 27 x 3 = 81 4 DONC : -3 = 81 Page 2 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ 1 - 10 = (-10) (- 10) multiplié 1 fois par lui même Exercice N° 2 : Ecrire sous la forme : 1/ D’une puissance de 3 : 3 3 x 3 -2 x3 7 J’applique la propriété de multiplication d’un même nombre avec des puissances différentes : n p a xa =a n+p 3 (les puissances s’ajoutent) -2 7 DONC : 3 x 3 x 3 = 3 3-2+7=1+7=8 3 3 x 3 -2 7 x3 =3 3-2+7 8 Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3 3 3 6 2 J’applique la propriété de division d’un même nombre avec des puissances différentes : a a n =a p n-p (les puissances se soustraient) 6 3 6-2 DONC : 2 = 3 3 6-2=4 3 3 6 2 =3 4 Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3 -3 2 (3 ) 3 -4 Deux propriétés à appliquer : Distribution d’une puissance sur un nombre qui possède déjà une puissance Page 3 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 (a n p ) Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ n p = a x (les puissances se multiplient) (3 ) = 3 x -3 x2=-6 -3 2 -3 -3 2 -6 (3 ) = 3 2 Mon expression devient alors : 3 -6 3 -4 J’ai besoin ici d’appliquer la propriété de division de 2 mêmes nombres à une puissance différente : a a n p =a n-p (les puissances se soustraient) -6 3 (-6) - (-4) DONC : -4 = 3 3 (-6) - (-4) = (-6) + 4 = - 2 3 3 -6 -4 = 3 -2 Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3 1 1 1 x x 3 3 3 Je dois appliquer la propriété inverse de celle-ci Puissance négative : 1 -n a = n a Ici, j’ai le contraire 1 1 = avec a = 3 et n = 1 3 an 1 -1 =3 3 Et alors mon expression devient : Je peux donc écrire = -1 3 x3 -1 x 3 -1 Je peux alors appliquer la propriété de multiplication d’un même nombre aux puissances différentes : n p a xa =a DONC : 3 n+p -1 (les puissances s’ajoutent) x3 -1 x 3 -1 =3 (-1) + (-1) + (-1) Page 4 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ (-1) + (-1) + (-1) = -1 - 1 - 1 = - 3 1 1 1 -3 x x =3 3 3 3 Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3 9 x 3 x 81 Je sais que : 2 9 = (3) car 3 x 3 = 9 3 = (3) 1 4 81 = (3) car 3 x 3 x 3 x 3 = 81 Mon expression devient donc : 3 2 1 x3 x 3 4 Je peux alors appliquer la propriété de multiplication d’un même nombre aux puissances différentes : n p a xa =a DONC : 3 n+p 2 (les puissances s’ajoutent) 1 4 x3 x 3 =3 2+1+4 2+1+4=7 3 2 1 4 x3 x 3 =3 7 Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3 1 27 3 Je sais que 27 = (3) car 3 x 3 x 3 = 27 Je peux donc écrire : 1 1 = 27 33 Et ainsi appliquer la propriété : 1 -n =a n a 1 3 3= 1 a n avec a = 3 et n = 3 1 -3 DONC : 3 = 3 3 Page 5 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3 1/ D’une puissance de 10 : 3 10 x 10 -5 7 x 10 x 10 2 Mon expression est sous la forme de multiplications d’un même nombre aux puissances différentes : j’applique la propriété de calcul correspondante n p a xa =a n+p (les puissances s’ajoutent) 3 DONC : 10 x 10 -5 7 2 x 10 x 10 = 10 3-5+7+2 3-5+7+2=7 3 10 x 10 -5 7 2 x 10 x 10 = 10 7 Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 10 0,000001 j’applique la propriété spécifique des puissances de 10 10 -n = = 0,0........1 (n chiffres après la virgule dont le 1) Ma puissance de 10 ici sera donc négative avec n = 6 (car j’ai 6 chiffres après la virgule) DONC : 0,000001 = 10 -6 10 000 j’applique la propriété spécifique des puissances de 10 n 10 = 1 suivi de n 0 Ma puissance de 10 ici sera donc positive avec n = 4 (car j’ai 4 zéros après le 1) DONC : 10 000 = 10 4 -1 -1 (10 ) La propriété à appliquer : Distribution d’une puissance sur un nombre qui possède déjà une puissance (a n p ) n p = a x (les puissances se multiplient) Page 6 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 (10 ) = 10 x - 1 x (-1) = + 1 -1 -1 -1 -1 -1 = 10 = 10 (10 ) Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ -1 1 un dix millième ; écriture mathématique = 1 10 000 La propriété à appliquer : 1 -n =a n a 1 1 = avec a = 10 et n = 4 (puissance positive ; 10 000 = 1 suivi de 4 zéros) 10 000 an 1 1 = 10 000 104 DONC : 1 -4 = 10 10 000 un million ; écriture mathématique : 1 000 000 j’applique la propriété spécifique des puissances de 10 n 10 = 1 suivi de n 0 Ma puissance de 10 ici sera donc positive avec n = 6 (car j’ai 6 zéros après le 1) DONC : 1 000 000 = 10 6 Exercice N° 3 : Calculer les expressions suivantes : En ce qui concerne les fractions, on les simplifiera avant de les calculer : 3 -2 3 -2 A = 10 + 5 x 10 A = 10 + 5 x 10 Je calcule les puissances ; elles sont prioritaires : 3 10 = puissance positive de 10 = DONC : 1 suivi de 3 zéros = 1 000 -2 10 = puissance négative de 10 = DONC : 0, suivi de 2 chiffres après la virgule dont 1 = 0,01 Page 7 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ A = 1000 + 5 x 0,01 Je calcule maintenant la multiplication : 5 x 0,01 = 0,05 A = 1000 + 0,05 A = 1000,05 4 B = 2 x 10 + 3 x 10 -2 J’effectue d’abord les puissances : 4 10 = puissance positive de 10 = DONC : 1 suivi de 4 zéros = 10 000 -2 10 = puissance négative de 10 = DONC : 0, suivi de 2 chiffres après la virgule dont 1 = 0,01 B = 2 x 10 000 + 3 x 0,01 Ensuite, les multiplications : 2 x 10 000 = 20 000 3 x 0,01 = 0,03 B = 20 000 + 0,03 B = 20 000,03 C=2 -2 x3 -3 J’effectue d’abord les puissances : 2 -2 = est du type a DONC : 2 -2 -n 1 qui donne : n , avec a = 2 et n = 2 a 1 1 = 2 = 4 2 2 2 =2x2=4 -3 3 = même chose : même type avec a = 3 et n = 3 1 1 -3 DONC : 3 = 3 = 27 3 3 3 = 3 x 3 x 3 = 27 C= 1 1 x 4 27 Je suis en multiplication de fractions : je multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux Page 8 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ 1x1 4 x 27 1 C= 108 C= 4 x 27 = 108 3 3 3 4 D= 2 x 5 4 3 Je suis en multiplication de fractions : je multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux :je ne calcule pas les puissances, car je vais chercher à simplifier avant de calculer 3 4 x3 3 D= 2 5 3 x4 Je peux écrire ma fraction autrement, et conformément à ma propriété : a a n =a p D= 4 4 n-p 3 4 5 x 3 3 3 2 3 4 5 =4 4 3-5 3 3 3 3 3-5 1 1 -2 =4 = 2 = 16 4 3-2 2 =3 3 3 -2 = 1 3 1 2 =3 =3 Mon expression devient : 1 D = 16 x 3 D= 5 3 3 16 -1 2 E = -2 x 5 2 Même chose que pour D : je suis en multiplication de fractions : je multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux :je ne calcule pas les puissances, car je vais chercher à simplifier avant de calculer Page 9 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 3 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ -1 5 x 2 E = -2 2 x 5 Je peux écrire ma fraction autrement, et conformément à ma propriété : a a n =a p n-p -1 3 2 5 E = x -2 5 2 3 5 3-1 2 =5 =5 5 2 -1 (-1)-(-2) 1 =2 =2 -2 = 2 2 (-1)-(-2) = - 1 + 2 = 1 2 E=5 x 2 2 5 = 5 x 5 = 25 E = 25 x 2 E = 50 Exercice N° 4 : Ecriture scientifique d'un nombre : 1. Donner l'écriture scientifique des nombres : Principe : Mettre un nombre en écriture scientifique, c’est le transformer en : 1 chiffre non nul (différent de 0) avant la virgule, multiplié par une puissance de 10 24,432 : 1er chiffre # 0 : 2 - Je mets une virgule après le 2 2,4432 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : Je regarde par quelle puissance de 10 je dois multiplier mes nombres pour arriver au nombre de départ, conformément à la règle : Règle : Si je dois déplacer ma virgule vers la droite je multiplie par une puissance de 10 positive - Si je dois déplacer ma virgule vers la gauche je multiplie par une puissance de 10 négative. Dans les 2 cas, la puissance correspond au nombre de fois où je dois déplacer ma virgule 2,4432 : pour trouver mon nombre de départ 24,432, je dois déplacer ma virgule vers la droite : ma puissance de 10 sera positive Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? Page 10 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ 1 fois = 24,432 : c’est mon nombre de départ : 1 Je devrai donc déplacer ma virgule une fois vers la droite DONC multiplier par 10 = 10 24,432 = 2,4432 x 10 en écriture scientifique La démarche sera identique pour tous les nombres : 0,000035 : 1er chiffre # 0 : 3 - Je mets une virgule après le 3 3,5 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera négative car je dois me déplacer vers la gauche pour retrouver mon nombre de départ : Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? 1 fois = 0,35 2 fois = 0,035 3 fois = 0,0035 4 fois = 0,00035 5 fois = 0,000035 Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : DONC : 0,000035 = 3,5 x 10 -5 en écriture scientifique 352 569 : 1er chiffre # 0 : 3 - Je mets une virgule après le 3 3,52569 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer vers la droite pour retrouver mon nombre de départ : Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? 1 fois = 35,2569 2 fois = 352,569 3 fois = 3525,69 4 fois =35256,9 5 fois = 352569 Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : 5 DONC : 352569 = 3,52569 x 10 en écriture scientifique 0,000657 : 1er chiffre # 0 : 6 - Je mets une virgule après le 6 6,57 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera négative car je dois me déplacer vers la gauche pour retrouver mon nombre de départ : Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? 1 fois = 0,657 2 fois = 0,0657 3 fois = 0,00657 4 fois =0,000657 Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : DONC : 0,000657 = 6,57 x 10 -4 en écriture scientifique Page 11 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ 3 432 x 10 : 1er chiffre # 0 : 4 - Je mets une virgule après le 4 4,32 x 10 3 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer vers la droite pour retrouver mon nombre de départ : Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? 1 fois = 43,2 x 10 2 fois = 432 x 10 3 3 Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : je dois multiplier le nombre par 10 3 2 5 DONC : 432 x 10 = 4,32 x 10 en écriture scientifique 5 3 2 10 = 10 x 10 (addition des puissances) 15,354 x 10 -2 : 1er chiffre # 0 : 1 - Je mets une virgule après le 1 1,5354 x 10 -2 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer vers la droite pour retrouver mon nombre de départ : Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? 1 fois = 15,354 x 10 -2 1 Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : je dois multiplier le nombre par 10 = 10 DONC : 15,354 x 10 10 -1 -2 -2 -1 = 1,5354 x 10 en écriture scientifique 1 = 10 x 10 (addition des puissances) 2. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat en écriture scientifique : 72 A = 15 x (10 ) x 3 x 10 -5 La multiplication est associative : je regroupe ensemble les nombres entiers et les puissances de 10 72 A = 15 x 3 x (10 ) x 10 -5 je les calcule : 15 x 3 = 45 72 (10 ) x 10 = 10 14 = 10 9 -5 -5 7 2 -5 = 10 x x 10 x 10 = 10 A = 45 x 10 14+ (-5) 9 Page 12 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ Mon résultat n’est pas en écriture scientifique ; je dois le mettre : 9 A = 45 x 10 : 1er chiffre # 0 : 4 - Je mets une virgule après le 4 4,5 x 10 9 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer vers la droite pour retrouver mon nombre de départ : Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? 1 fois = 45 x 10 9 1 Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : je dois multiplier le nombre par 10 = 10 9 DONC : A = 45 x 10 = 4,5 x 10 10 10 B= 9 10 en écriture scientifique 1 = 10 x 10 (addition des puissances) 7 x 10 -12 x 6 x 10 21 x 10 5 4 Même chose que A : la multiplication est associative : je regroupe ensemble les nombres entiers et les puissances de 10 B= 7 x 6 x 10 -12 21 x 10 x 10 5 4 je les calcule : 7 x 6 = 42 10 -12 = 10 5 x 10 = 10 -12 + 5 -7 42 x 10 B= 21 x 10 -7 4 Je simplifie ma fraction avant de la calculer : B= B= B= 10 21 x 2 x 10 21 x 10 4 21 x 2 x 10 21 x 10 2 x 10 10 -7 -7 4 -7 4 =2 x 10 -7 10 4 -7 10 4 = 10 -7 - 4 -7 - 4 = -11 B = 2 x 10 -11 Page 13 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ Mon résultat est déjà en écriture scientifique : 1 chiffre non nul multiplié par une puissance de 10 B = 2 x 10 -11 C = 0,008 x 2 000 x 50 000 Je n’effectue ici que les multiplications : 0,008 x 2 000 = 16 16 x 50 000 = 800 000 C = 800 000 Mon résultat n’est pas en écriture scientifique ; je dois le mettre : C = 800 000 : 1er chiffre # 0 : 8 - Je mets une virgule après le 8 8,00000 Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 : ma puissance de 10 sera positive car je dois me déplacer vers la droite pour retrouver mon nombre de départ : Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ? 1 fois = 80,0000 2 fois = 800,000 3 fois = 8000,00 4 fois = 80000,0 5 fois = 800000 Ça y est : je suis retombée sur mon nombre de départ : 5 DONC : C = 800 000 = 8 x 10 en écriture scientifique 2 D= 3 x 10 x 5 x 10 4 33 12 x (10 ) La multiplication est associative : je regroupe ensemble les nombres entiers et les puissances de 10 2 D= 3 x 5 x 10 x 10 4 33 12 x (10 ) je les calcule : 3 x 5 = 15 2 4 10 x 10 = 10 = 10 -2 + 4 6 33 3 3 (10 ) = 10 x Page 14 http ://perso.wanadoo.fr/stefbase Copyright © Stéphanie Racine 2002 = 10 D= Rubrique maths/Activité numérique/Correction des exercices de Stef@ 9 15 x 10 6 12 x 10 9 Je simplifie ma fraction avant de la calculer : D= D= D= 3 x 5 x 10 6 3 x 4 x 10 3 x 5 x 10 6 3 x 4 x 10 5 x 10 9 9 6 4 x 10 9 6 5 10 D= x 9 4 10 10 6 10 9 = 10 D= 6-9 = 10 -3 5 -3 x 10 4 5 = 5 : 4 = 1,25 4 D = 1,25 x 10 -3 Mon résultat est déjà en écriture scientifique : 1 chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10 D = 1,25 x 10 -3 Page 15