Modèle mathématique.

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Les puissances
Exercice N° 1 : Calculer les puissances :
(- 4)3 = (-4) x (-4) x (-4) = (- 64)
(-4) multiplié 3 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = -
4 x 4 = 16
16 x 4 = 64
(- 2x)2 = (- 2x) x (- 2x) = 4x2
(- 2x) multiplié 2 fois par lui même
signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = +
2x x 2x = 2 x 2 x x x x
= 4x2
(-3)-5 = 1
(-3)5
a- n = 1
an
(-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3)
(-3) multiplié 5 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = -
3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
81 x 3 = 243
(-3)-5 = 1/- 243
(1
2)2 = 12
22 = 1
4
La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction
12 = 1 x 1 = 1 (signe + car la puissance est paire)
22 = 2 x 2 = 4 (signe + car la puissance est paire)
(-3)5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = - 243
(-3) multiplié 5 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + ; + x - = -
3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
81 x 3 = 243

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(2 5)2 ; j’ai deux termes différents dans ma parenthèse : la puissance se distribue sur les 2 termes
(2 5) = 2 x 5
DONC : (2 5)2 = (2) 2 x ( 5)2
(2) 2 = 2 x 2 = 4
( 5)2= 5 x 5 = 5
(2) 2 x ( 5)2 = 4 x 5 = 20
(-2x)3 = (- 2x) x (- 2x) x (- 2x)
(- 2x) multiplié 3 fois par lui même
signe du résultat : - car la puissance est impaire - x - = + x - = -
2x x 2x x 2x = 2 x 2 x 2 x x x x x x
2 x 2 = 4 x 2 = 8
x x x x x = x3
(-2x)3 = - 8x3
-(-5) 2 = - (- 5) x (- 5)
(- 5) multiplié 2 fois par lui même
signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = +
5 x 5 = 25
(-5) 2 = 25
DONC : -(-5) 2 = - 25
(-2
3)3 = - 23 33 = -8 27 = - 8 27
La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction
- 23 = (-2) x (-2) x (-2) = - 8 (signe - car la puissance est impaire)
33 = 3 x 3 x 3 = 27
(-5
-2) 2 = (-5)2 (-2) 2 = 25 4
La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur de la fraction
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25 (signe + car la puissance est paire)
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4 (signe + car la puissance est paire)
-34 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3)
(- 3) multiplié 4 fois par lui même
signe du résultat : + car la puissance est paire - x - = + x - = - x - = +
3 x 3 = 9 x 3 = 27 x 3 = 81
DONC : -34 = 81

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- 101 = (-10)
(- 10) multiplié 1 fois par lui même
Exercice N° 2 : Ecrire sous la forme :
1/ D’une puissance de 3 :
33 x 3- 2 x 37
J’applique la propriété de multiplication d’un même nombre avec des puissances différentes :
an x ap = an + p (les puissances s’ajoutent)
DONC : 33 x 3- 2 x 37 = 33 - 2 + 7
3 - 2 + 7 = 1 + 7 = 8
33 x 3- 2 x 37 = 38
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
36
32
J’applique la propriété de division d’un même nombre avec des puissances différentes :
an
ap = an-p (les puissances se soustraient)
DONC : 36
32 = 36 - 2
6 - 2 = 4
36
32 = 34
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
(3-3)2
3-4
Deux propriétés à appliquer :
Distribution d’une puissance sur un nombre qui possède déjà une puissance

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(an)p = an x p (les puissances se multiplient)
(3-3)2 = 3-3 x 2
- 3 x 2 = - 6
(3-3)2 = 3-6
Mon expression devient alors :
3-6
3-4
J’ai besoin ici d’appliquer la propriété de division de 2 mêmes nombres à une puissance différente :
an
ap = an - p (les puissances se soustraient)
DONC : 3-6
3-4 = 3 (-6) - (-4)
(-6) - (-4) = (-6) + 4 = - 2
3-6
3-4 = 3-2
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
1
3 x 1 3 x 1 3
Je dois appliquer la propriété inverse de celle-ci
Puissance négative :
a- n = 1
an
Ici, j’ai le contraire
1
3 = 1
an avec a = 3 et n = 1
Je peux donc écrire = 1
3 = 3-1
Et alors mon expression devient :
3-1 x 3-1 x 3-1
Je peux alors appliquer la propriété de multiplication d’un même nombre aux puissances différentes :
an x ap = an + p (les puissances s’ajoutent)
DONC : 3-1 x 3-1 x 3-1 = 3(-1) + (-1) + (-1)

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(-1) + (-1) + (-1) = -1 - 1 - 1 = - 3
1
3 x 1 3 x 1 3 = 3 -3
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
9 x 3 x 81
Je sais que :
9 = (3)2 car 3 x 3 = 9
3 = (3)1
81 = (3)4 car 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Mon expression devient donc :
32 x 31 x 34
Je peux alors appliquer la propriété de multiplication d’un même nombre aux puissances différentes :
an x ap = an + p (les puissances s’ajoutent)
DONC : 32 x 31 x 34 = 3 2 + 1 + 4
2 + 1 + 4 = 7
32 x 31 x 34 = 37
Mon expression est bien écrite sous la forme d’une puissance de 3
1
27
Je sais que 27 = (3)3 car 3 x 3 x 3 = 27
Je peux donc écrire :
1
27 = 1
33
Et ainsi appliquer la propriété :
1
an = a- n
1
33 = 1
an avec a = 3 et n = 3
DONC : 1
33 = 3-3