puissance

1
Chapitre 6
CALCULS DE PUISSANCES

2
I. Définitions
 Puissance instantanée p [Watts] :
)t(i)t(u)t(p 
En convention récepteur, p(t) est positif quand le dipôle est récepteur.
En convention générateur, p(t) est positif quand le dipôle est générateur.
Attention : un dipôle (condensateur, bobine) ou un circuit peut être temporairement
générateur (resp. récepteur) tout en étant en moyenne récepteur (resp. générateur).
 Puissance active P [Watts] :
C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée :
Tt
t
0
0
dt)t(p
T
1
)t(pP
La puissance active mesure la puissance réellement fournie ou consommée en moyenne par un
dipôle: c’est elle qui est associée aux conversions d’énergie (électrique  mécanique,
électrique  thermique, électrique  chimique, …) et qui permet de calculer un rendement
(
a
u
P
P
).
 Puissance réactive Q [var] :
La puissance réactive permet de quantifier les échanges de puissance à valeur moyenne
nulle. Elle sert indirectement au calcul du facteur de puissance en régime sinusoïdal.
 Puissance apparente S [VA] :
IVS 
La puissance apparente est une puissance de dimensionnement : I fixe la section des
conducteurs et V le champ magnétique où le nombre d’enroulements des machines tournantes
ou des transformateurs.
II. Les expressions à connaître
1) u et i constants
u(t)=U et i(t)=I donc
IUP)t(p 
 cas du régime continu établi
2) u ou i constant
u(t)=U et i(t) quelconque :
 )t(iU)t(iUP
 cas du filtrage capacitif
u(t) quelconque et i(t)=I :
 )t(uII)t(uP
 cas du filtrage inductif

3
3) u et i périodiques
On utilise généralement la décomposition en série de Fourier de u(t) et i(t) :
...)tnsin(2U...)t3sin(2U)t2sin(2U)tsin(2Uu)t(u n32f1 unu3u2uf1 
...)tnsin(2I...)t3sin(2I)t2sin(2I)tsin(2Ii)t(i n32f1 ini3i2if1 
On montre alors que :
)cos(IU...)cos(IU)cos(IU)cos(IUiu)t(i)t(uP nn3322f1f1 iunniu33iu22iuf1f1 
où
nnIU
est le produit des valeurs efficaces des harmoniques de même rang et
)( nn iu 
leur
déphasage respectif.
4) u ou i sinusoïdal
Le signal non sinusoïdal étant forcément périodique en régime établi, on exploite les
résultats du cas précédent :
 Si
)tsin(2U)t(u u
et i(t) périodique :
)cos(UIPf1
iuf1 
car u(t) n’a pas d’harmoniques de rang  2 (u(t) est équivalent à son
fondamental)  seul le fondamental du courant intervient
On peut aussi calculer une puissance réactive
)sin(UIQf1
iuf1 
On remarque alors que
IUS 
n’est plus égal à
f1
22 IUQP 
Comme
22 QPS 
(car I1f forcément inférieur à I), on introduit la notion de
puissance déformante D tel que
222 DQPS 
. D est exprimé en Volts Ampères
Déformants (VAD).
On obtient un facteur de puissance
)cos(
I
I
S
P
ff1
iu
f1
p
qui dépend à la fois du
déphasage du fondamental de i par rapport à u et de la déformation de i : le facteur de
puissance peut donc être inférieur à 1 même si Q=0 (cas où le fondamental de i est en
phase avec u).
 Si
)tsin(2I)t(i i
et u(t) périodique :
)cos(IUP iuf1 f1 
 seul le fondamental de la tension intervient

4
5) u et i sinusoïdaux
 Cas classique du monophasé (en régime permanent) :
)tsin(2U)t(u u
et
)tsin(2I)tsin(2I)t(i u/iui 
avec
)U,I(angle
iuu/i
r
UItanPsinUIQ
22 QPUIS
 cos
S
P
fp
a
I
: composante active de
I
en phase avec
U
r
I
: composante active de
I
en quadrature avec
U
Conséquences :
fp est inférieur à 1 si Q0 c’est à dire si le montage absorbe ou consomme de la puissance
réactive
Utilisation des nombres complexes :
En mettant Z sous la forme
jXRZ 
et
jBG
Z
1
Y
on a :
22 GURIP
et
22 BUXIQ
Relèvement du facteur de puissance :
fp=cos est généralement inférieur à 1 car les installations consomment de la puissance
réactive (récepteurs inductifs). On peut donc compenser cette consommation à l’aide de
condensateurs qui fournissent de la puissance réactive sans consommer de puissance active :
r
I
Z
I
U
a
UIcosUIpP 
a
I
I
U
I’
IC
I
U
I
U
'
'
I
U
I
C
I
U
I

5
Avant compensation:
P
Q=Ptan
Après compensation:
P’=P
Q’=Q+QC= Ptan’
Or
2
CUCQ 
en monophasé ou
2
CUC3Q 
en triphasé couplage 
Donc
2
U)'tan(tanP
C
en monophasé ou
2
U3 )'tan(tanP
C
en triphasé
III. Le théorème de Boucherot
Conservation de la puissance active :
itot PP
Conservation de la puissance réactive :
itot QQ
en régime sinusoïdal
2
tot
2
tottot QPS 
en régime sinusoïdal