le second degre

LE SECOND DEGRE (sujet A)
1- sans utiliser les formules, factoriser et résoudre :
4x2 – 6x = 0
2x( 2x – 3) = 0 ; S = { 0 ; 1,5 }
2x2 + 6 = 0
2x2= -6 impossible S =
x2 + 2x + 1 = 0
(x + 1) 2= 0 ; x = - 1 racine double S = {-1}
(x -3) 2 = 9 attention 2 racines :
x – 3 = 3 ou x – 3 = - 3
x = 6 ou x = 0 ; S = {0 ; 6 }
(x – 1) 2 – 4(x – 1) = 0 facteur commun (x-1)
(x – 1)(x – 1 – 4) = 0
(x – 1)(x – 5) = 0 ; x = 1 ou x = 5
S = {1 ; 5 }
x( 2x – 3) + 2x – 3 = 0 facteur commun (2x-3)
(2x -3)(x + 1) = 0
x = 1,5 ou x = -1
S = { -1 ; 1,5 }
2- en utilisant les formules, résoudre (il faut écrire les calculs, on peut s’aider de la calculette pour
vérification):
5x2 – 4x – 1 = 0 ; a = 5 ; b = -4 ; c = -1
= (-4) 2-4x5x(-1)= 16 +20 = 36 = 62
12
4 6 2 1 4 6 10
;1
10 10 5 10 10
xx
S = {-1/5 ; 1 }
x2 + 3x + 3 = 0 ; a = 1 ; b = 3 ; c = 3
= 3 2-4x1x3= 9 - 12 = -3 ;
< 0 ; donc pas de solution réelle
S =
4x2 – 4x + 1 = 0 ; a = 4 ; b = -4 ; c = 1
= (-4) 2-4x4x1 = 16 – 16 = 0 ;
=0 donc une racine double ; x = 4/8 = ½
S = ( ½ }
3- Résous les inéquations suivantes avec les 2 méthodes
a) calcul et théorème du signe du trinôme
b) représentation graphique (on peut s’aider de la calculette):
x2 + 5x + 4 < 0 ; a = 1 ; b = 5 ; c = 4
= 5 2-4x1x4 = 25 - 16 = 9 = 32
2 racines ;
153 4
2
x
;
253 1
2
x
le polynôme est du signe contraire de a = 1
entre les racines
On veut négatif et a est positif.
Donc : S = ] -4 ; -1[
O
1
1
-1
x^2 +5*x + 4
-4
–9x2 + 6x – 1  0; a = -9 ; b = 6 ; c = -1
= 6 2-4x(-9)x(-1) = 36 - 36 = 0
1 racine double ;
61
18 3
x
; la courbe est
tangente à (x’x) ; le polynôme est du signe de
a = -9
On veut 0 et a est négatif ; S = {1/3}
0.5
0.5
-9*x^2+6*x -1
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
2
2

3 bis- résoudre en utilisant la méthode indiquée
4- dans 2 entreprises les salaires sont donnes par le tableau 1 – la répartition
hommes/femmes est donne par le tableau 2.
Salaire
moyen €
A
B
Répartition
A
B
Hommes
1400
1500
Hommes
60%
20%
femmes
1000
1100
femmes
40%
80%
Comparez les salaires des entreprises A et B
Les salaires mensuels sont de 100 € plus grands dans l’entreprise B par rapport à ceux de
l’ent. B
Calculez pour chaque entreprise la moyenne des salaires pour chaque employé.
Sal. moyen A =
60 1400 40 1000
100
= 1240 €
Sal. moyen B =
20 1500 80 1100
100
= 1180 €
Faites une phrase pour répondre aux questions suivantes (en expliquant votre affirmation) :
- pensez-vous qu’il est préférable de travailler dans A ou B ?
Question salaire (c’est la seule information connue), il semble plus « intéressant » de
travailler dans B
- quelle entreprise gère mieux ses dépenses sur les salaires ?
A cause de la répartition différente (hommes femmes) et a cause des salaires mensuels
différents, bien que les salaires soient plus importants de 100 € mensuels, l’ent. B a une
dépense en moyenne moins importante : donc la gestion est meilleure :
1) les salaries sont mieux payés,
2) l’entreprise dépense moins
calcul et théorème du signe du trinôme
(–x2 + 2x – 3) > 0 ; a = -1 ; b = 2 ; c = -3
= 2 2-4x(-1)x(-3) = 4 - 12 = -8
< 0 ; donc le polynôme est du signe de a = -1
On veut > 0 et le polynôme est négatif
Donc S =
tableau de signes
(x – 2) (–x2 + 2x – 3) > 0
x
- 2 +
–x2 + 2x – 3
-
-
x - 2
- 0 +
produit
+ 0 -
S = ] - ; 2[
1
1
0,5
1
1
1

LE SECOND DEGRE (sujet B)
1- sans utiliser les formules, factoriser et résoudre :
8x2 + 6x = 0
2x(4x + 3) = 0 ; x = 0 ou x = -3/4
S = { 0 ; -3/4 }
2x2 - 18 = 0 ; x2 = 18/2 =9 ;
2 racines : x = -3 ; x = 3
S = { -3 ; 3}
x2 + 4x + 4 = 0 ; identité remarquable -
(x + 2) 2 = 0 ; racine double
x = -2 ; S = { -2 }
(x -3) 2 = -9 ; impossible (un carré ne peut
pas être négatif
S =
(x – 1) 2 + 4(x – 1) = 0 ; facteur commun (x-1)
(x – 1)( x – 1 + 4) = (x – 1)(x + 3) = 0
x = 1 ou x = -3
S = { -3 ; 1}
x( 2x – 5) + 2x – 5 = 0 ; facteur commun 2x-5
(2x – 5)(x + 1) = 0
x = 5/2 ou x = -1
S = { -1 ; 2,5}
2- en utilisant les formules, résoudre (il faut écrire les calculs, on peut s’aider de la calculette
pour vérification):
5x2 + 4x – 1 = 0 ; a = 5 ; b = 4 ; c = -1
= 4 2-4x5x(-1)= 16 +20 = 36 = 62
12
4 6 10 4 6 2 1
1;
10 10 10 10 5
xx
S = {-1 ; 1/5 }
x2 - 3x + 3 = 0 ; a = 1 ; b = -3 ; c = 3
= (-3) 2-4x1x3= 9 - 12 = -3
< 0 pas de racine réelle
S =
4x2 + 4x +1 = 0 ; a = 4 ; b = 4 ; c =1
= 4 2- 4x4x1 = 16 - 16 = 0
12 41
82
xx
racine double
S = { -1/2 }
3- Résous les inéquations suivantes avec les 2 méthodes
c) calcul et théorème du signe du trinôme
d) représentation graphique (on peut s’aider de la calculette):
x2 + 6x +9  0 ; a = 1 ; b = 6 ; c = 9
= 6 2- 4x1x9 = 36 - 36 = 0
12 63
2
xx
racine double ; la courbe est
tangente à (x’x) ; le polynôme est du signe de a = 1
On veut 0 et a est positif ; S = R (toujours vrai)
O
1
1
-1
x^2 + 6*x +9
-3
x2 - 4x + 3 < 0 ; a = 1 ; b = -4 ; c = 3
= (-4) 2-4x1x3 = 16 - 12 = 4 = 22
2 racines ;
1421
2
x
;
2423
2
x
le polynôme est du signe contraire de a = 1 entre les
racines
On veut négatif et a est positif.
Donc : S = ] 1 ; 3[
O
1
1
-1
x^2 - 4*x + 3
-3
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
2
2

3 bis- résoudre en utilisant la méthode indiquée
4- dans 2 entreprises les salaires sont donnes par le tableau 1 – la répartition
hommes/femmes est donne par le tableau 2.
Salaire
moyen €
A
B
Répartition
A
B
Hommes
1400
1500
Hommes
70%
20%
femmes
1000
1100
femmes
30%
80%
Les salaires mensuels sont de 100 € plus grands dans l’entreprise B par rapport à ceux de
l’ent. B
Calculez pour chaque entreprise la moyenne des salaires pour chaque employé.
Sal. moyen A =
70 1400 30 1000
100
= 1280 €
Sal. moyen B =
20 1500 80 1100
100
= 1180 €
Faites une phrase pour répondre aux questions suivantes (en expliquant votre affirmation) :
- pensez-vous qu’il est préférable de travailler dans A ou B ?
Question salaire (c’est la seule information connue), il semble plus « intéressant » de
travailler dans B
- quelle entreprise gère mieux ses dépenses sur les salaires ?
A cause de la répartition différente (hommes femmes) et a cause des salaires mensuels
différents, bien que les salaires soient plus importants de 100 € mensuels, l’ent. B a une
dépense en moyenne moins importante : donc la gestion est meilleure :
1) les salaries sont mieux payés,
2) l’entreprise dépense moins
calcul et théorème du signe du trinôme
(x2 + 2x + 3) > 0 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 3
= 2 2-4x1x3 = 4 - 12 = -8
< 0 ; donc le polynôme est du signe de a = 1
On veut > 0 et le polynôme est positif
Donc S = R
tableau de signes
(x – 2) (x2 + 2x + 3) > 0
x
- 2 +
x2 + 2x + 3
+
+
x - 2
- 0 +
produit
- 0 +
S = ]2 ; + [
1
1
0,5
1
1
1