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Racines carrées
Irrationnel : nombre que l’on ne peut écrire sous la forme d’une fraction
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1. . I In nt tr ro od du uc ct ti io on n
Partir de ceci pour réexpliquer une grande partie de la leçon (voir méthodo :
multiplication, division, encadrement de radicaux)
Ce sont des triangles isocèles rectangles
Calculez la longueur des côtés des triangles :
AB
1
BC
1
AC
²1²1 
=
2
DE
2
EF
2
DF
²2²2 
=
8
= 2
2
GH
3
HI
3
GI
²3²3 
=
18
=
²3.2
= 3
2
KL
1 [
222 2JKJKJL 
=1² =>
2
1
 JLJK
]
JL
2
1
JK
2
1
NP
2 (même raisonnement que pour
KL
pour trouver les deux autres longueurs)
MP
2
MN
2
RS
3 (même raisonnement que pour
KL
pour trouver les deux autres longueurs)
QS
2
9
QR
2
9

2
a se lit radical a ou racine carrée positive de a
a est la radicand
. est le radical
- a se lit racine carrée négative de a ou moins radical a
Remarque : le carré d’un réel est toujours positif donc le radicand doit toujours être
positif et donc le radical d’un nombre négatif n’existe pas
=>
a
n’existe pas (avec a positif)
D
Dé éf fi in ni it ti io on n : :
Le radical de a existe ssi a ≥ 0 (a est positif)
1) La racine carrée positive d’un réel a donné est le nombre positif (x) dont le carré
vaut a : x² = a  x =
a
2) La racine carrée négative d’un réel a donné est le nombre négatif (y) dont le carré
vaut a : y² = a  y = -
a
Exemple :
Exemple : 9 admet deux racines :
9
= 3 car 3²= 9
-
9
= - 3 car (-3)² = 9
Tout nombre strictement positif admet deux racines opposées, une racine carrée
positive et une racine carrée négative.
C
Ca ar rr ré é p pa ar rf fa ai it t
Un carré parfait est un naturel qui est le carré d’un entier
T
Ta ab bl le e d de es s c ca ar rr ré és s p pa ar rf fa ai it ts s à à r re et te en ni ir r
a
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12

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R
Ra ac ci in ne e c ca ar rr ré ée e e ex xa ac ct te e o ou u n no on n : :
Ne pas insister  partir de l’intro. Histoire de la diagonale du carré de côté 1. Voir ci-
dessous :
1) Un nombre admet une racine carrée exacte s’il se décompose en un produit de
facteurs premiers dont les exposants sont pairs
2) Un nombre n’admet pas de racine carrée exacte s’il ne se décompose pas en un
produit de facteurs premiers dont tous les exposants sont pairs

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2
2. . P Pr ro op pr ri ié ét té és s
Compare à l’aide de la calculatrice !
2
2
= 2 et
²2
= 2 + faire noter contre-exemple :
²2²2 
)2(
n’existe pas
Le carré de la racine d’un nombre positif est égale à la racine du carré de ce nombre
a ≥ 0 :
²
2aa 
9.4
=
36
= 6 et 4 . 9 = 2.3 = 6
La racine carrée d’un produit de plusieurs nombres positifs est égale au produit des
racines carrées de chacun des facteurs (et réciproquement)
a ≥ 0, b ≥ 0 :
ba.
=
a
.
b
Error!
=
9
= 3 et
Error!
=
2
6
= 3
La racine carrée du quotient de deux nombres positifs est égale au quotient des
racines carrées de ces deux nombres
a ≥ 0, b › 0 :
b
a
=
b
a
169
=
25
= 5 et
 169
3 + 4 = 7
Le racine carrée d’une somme de deux nombres positifs n’est pas égale à la somme
des racines carrées de ces deux nombres
a ≥ 0, b › 0 :
ba 
ba 
Faire une analogie avec les familles de nombres : radical et mult ou div de la mm
famille on peut donc les « détacher » l’un de l’autre mais radical et + ou – pas de la
mm famille donc on ne peut pas.
Analogie à : (a . b)² et (a + b)²

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3. . E En nc ca ad dr re em me en nt t d de e r ra ad di ic ca au ux x
S’aider de l’introduction (triangle ABC)
1² ‹
2
2
‹ 2²
=> 1 ‹
2
‹ 2
(1,4)² ‹
2
2
‹ (1,5)²
=> 1,4 ‹
2
‹ 1,5
Faire plusieurs fois : passer de 1² à (1,4)² en passant par (1,1)² ; (1,2)² …
Encadrer un radical, c’est le situer entre deux nombres :
- un plus petit : la valeur approchée par défaut du radical
- un plus grand : la valeur approchée par excès du radical
Exercices : donne la valeur approchée par défaut et celle par excès de chacun des
radicaux suivants : + dire que les scientifiques utilisent plus les valeurs par
défaut alors que les ingénieurs utiliseront plus les valeurs par excès
1)
5
à 10-2 près 2,23 ‹
5
‹ 2,24
2)
38
à 10-1 près 6,1 ‹
38
‹ 6,2
3)
321
à l’unité près 17 ‹
321
‹ 18
4)
133
à 10-3 près 11,532 ‹
133
‹ 11,533
5)
83
à 10-5 près 9,11043 ‹
83
‹ 9,11044
Exercices : calcule la valeur approchée :
1) Par défaut à l’unité près de
1234
: 35
2) Par excès à 10-3 près de
241
: 15,525
3) Par défaut à 10-5 près de
74
: 8,60232
4) Par excès à 10-1 près de
751
: 27,5
5) Par défaut à 10-4 près de
86
: 9,2736
6) Par excès à 10-2 près de
14587
: 120,78