Révisions de trigonométrie

Révisions de trigonométrie Terminale S
1) Mesures d'angles :
Dans un repère (O, I, J ) orthonormé direct, pour chaque angle orienté de demies droites ou de
vecteurs x , il existe un unique point M du cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1 )
tel que l'angle x soit égal à (
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,
Error!
). Cet angle a une infinité de mesures qui sont les
longueurs de l'arc de cercle orienté de I à M. Ces mesures diffèrent entre elles d'un multiple de 2 .
Une seule d'entre elles est dans l'intervalle ] -;], c'est la mesure principale.
par exemple 7
Error!
, - 5
Error!
, - 17
Error!
, 19
Error!
etc …sont des mesures d'un même angle.
2) Définitions : Le point M a pour coordonnées ( cos(x); sin(x) ) dans le repère
orthonormé direct (O, I ,J ) : ceci constitue la définition de cos ( x )
et de sin ( x ).
Conséquences :
-1 cos ( x ) 1 et -1 sin ( x ) 1
cos2( x ) + sin2 ( x ) = 1
3) Tableau de valeurs :
x
0
Error!
Error!
Error!
Error!
cos ( x )
1
Error!
Error!
Error!
0
sin ( x )
0
Error!
Error!
Error!
1
tan ( x )
0
Error!
1
3
non-définie
la ligne concernant la tangente n'est pas à connaître par cœur.
4) Angles associés :
Les angles associés à x sont les angles  -x , + x et -x .Les points qui correspondent à x et à ces
trois autres angles forment un rectangle. La connaissance de cos ( x ) et de sin ( x ) permettent alors
d'obtenir les lignes trigonométriques des angles associés.
Le point M correspond à l'angle x, P à  - x, N à -x et Q à  + x.
On déduit de ce schéma les formules concernant les lignes
trigonométriques de ces angles :
cos ( -x ) = cos ( x ) et sin ( -x ) = - sin ( x )
cos (  + x ) = - cos ( x ) et sin (  + x ) = - sin ( x )
cos (  - x ) = - cos ( x ) et sin (  - x ) = sin ( x )
Dans les cas particuliers où x =
Error!
,
Error!
,
Error!
, on obtient
alors facilement les valeurs cos ( 2
Error!
), sin ( 5
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) etc.

5) Passage d'un sinus à un cosinus et inversement.
Le point N correspond à l'angle
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- x et P à
Error!
+ x et
on a
donc les formules suivantes :
cos (
Error!
- x ) = sin ( x ) et sin (
Error!
- x ) = cos ( x )
cos (
Error!
+ x ) = - sin ( x ) et sin (
Error!
+ x ) = cos ( x )
ces formules permettent à la fois de comprendre pourquoi la
colonne du sinus dans le tableau de valeurs est la même que celle
du cosinus lue à l'envers et de résoudre des équations du type :
cos (
Error!
- 2x ) = sin x
5) Formules d' addition et de duplication.
cos ( a - b ) = cos a . cos b + sin a . sin b et cos ( a + b ) = cos a . cos b - sin a . sin b
sin ( a - b ) = sin a . cos b - cos a . sin b et sin ( a + b ) = sin a . cos b + cos a . sin b
rappel : a - b = a + ( - b ) ce qui permet de retenir deux de ces formules et de retrouver les deux
autres.
cos ( 2a ) = cos ( a + a ) = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a
sin ( 2a) = 2 sin a . cos a
6) Formules de dédoublement :
des formules précédentes on déduit :
cos 2 a =
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et sin2 a =
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Attention pour connaître alors les valeurs de cos a ou de sin a il faudra prendre garde aux signes !
7) Equations trigonométriques :
cos x = cos a x = a + 2k  ou x = -a + 2k  avec k
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sin x = sin a x = a + 2k  ou x =  - a + 2k  avec k
Error!
tan x = tan a x = a + 2k  ou x =  + a + 2k  ce qui peut aussi s'écrire x = a + k  avec k
Error!
Tout ceci peut se visualiser sur un cercle trigonométrique .
8) Inéquations trigonométriques :
Elles se résolvent le plus souvent en combinant des changements de variables et l'utilisation du
cercle trigonométrique.
exemple 1 : pour x [-  ;  ] résoudre cos x -
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Error!
+ x
Error!
- x

- 2
Error!
ou
4
Error!
2
Error!
- 
-
Error!
ou 7
Error!
On voit sur ce cercle que les solutions sont les réels des intervalles
[ -  ; - 2
Error!
] et [2
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;  ].
exemple 2 : résoudre , pour x [0 ;  ], cos (2x -
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) -
Error!
On pose X = 2x -
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. On a alors X [ -
Error!
; 7
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] et
les solutions en X vérifient 2
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X 4
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car la valeur
correspondant à - 2
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qui est dans l'intervalle [ -
Error!
; 7
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] est 4
Error!
.
On retrouve alors les valeurs de x grâce à 2
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2x -
Error!
4
Error!
ce qui donne
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x
Error!
.
9) Période :
Il faut savoir que la période de cos ( ax + b ) ou de sin ( ax + b ) est
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.
10) Dérivées :
La dérivée de la fonction cos ( u ( x ) ) est - u ' ( x ). sin ( u ( x ) )
et celle de sin ( u ( x ) ) est u' (x) . cos ( u ( x ) ) .
11) Plan d'étude d'une fonction trigonométrique :
- période
- parité
- choix d'un intervalle d'étude
- dérivée et étude de son signe sur l'intervalle précédemment choisi
- tableau de variation
- tracé sur au moins une période