Révisions de trigonométrie
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Révisions de trigonométrie Terminale S 1) Mesures d'angles : Dans un repère (O, I, J ) orthonormé direct, pour chaque angle orienté de demies droites ou de vecteurs x , il existe un unique point M du cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1 ) tel que l'angle x soit égal à ( Error! , Error! ). Cet angle a une infinité de mesures qui sont les longueurs de l'arc de cercle orienté de I à M. Ces mesures diffèrent entre elles d'un multiple de 2 . Une seule d'entre elles est dans l'intervalle ] -;], c'est la mesure principale. par exemple 7 Error!, - 5 Error!, - 17 Error!, 19 Error! etc …sont des mesures d'un même angle. 2) Définitions : Le point M a pour coordonnées ( cos(x); sin(x) ) dans le repère orthonormé direct (O, I ,J ) : ceci constitue la définition de cos ( x ) et de sin ( x ). Conséquences : -1 cos ( x ) 1 et -1 sin ( x ) 1 cos2( x ) + sin2 ( x ) = 1 3) Tableau de valeurs : x 0 Error! cos ( x ) 1 Error! sin ( x ) 0 Error! tan ( x ) 0 Error! Error! Error! Error! 1 Error! Error! Error! 3 Error! 0 1 non-définie la ligne concernant la tangente n'est pas à connaître par cœur. 4) Angles associés : Les angles associés à x sont les angles -x , + x et -x .Les points qui correspondent à x et à ces trois autres angles forment un rectangle. La connaissance de cos ( x ) et de sin ( x ) permettent alors d'obtenir les lignes trigonométriques des angles associés. Le point M correspond à l'angle x, P à - x, N à -x et Q à + x. On déduit de ce schéma les formules concernant les lignes trigonométriques de ces angles : cos ( -x ) = cos ( x ) et sin ( -x ) = - sin ( x ) cos ( + x ) = - cos ( x ) et sin ( + x ) = - sin ( x ) cos ( - x ) = - cos ( x ) et sin ( - x ) = sin ( x ) Dans les cas particuliers où x = Error!, Error!, Error!, on obtient alors facilement les valeurs cos ( 2 Error! ), sin ( 5 Error! ) etc. 5) Passage d'un sinus à un cosinus et inversement. Error! +x Le point N correspond à l'angle Error! - x et P à Error! + x et on a donc les formules suivantes : cos ( Error! - x ) = sin ( x ) et sin ( Error! - x ) = cos ( x ) cos ( Error! + x ) = - sin ( x ) et sin ( Error! + x ) = cos ( x ) ces formules permettent à la fois de comprendre pourquoi la colonne du sinus dans le tableau de valeurs est la même que celle du cosinus lue à l'envers et de résoudre des équations du type : cos ( Error! - 2x ) = sin x Error! -x 5) Formules d' addition et de duplication. cos ( a - b ) = cos a . cos b + sin a . sin b et cos ( a + b ) = cos a . cos b - sin a . sin b sin ( a - b ) = sin a . cos b - cos a . sin b et sin ( a + b ) = sin a . cos b + cos a . sin b rappel : a - b = a + ( - b ) ce qui permet de retenir deux de ces formules et de retrouver les deux autres. cos ( 2a ) = cos ( a + a ) = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a sin ( 2a) = 2 sin a . cos a 6) Formules de dédoublement : des formules précédentes on déduit : cos 2 a = Error! et sin2 a = Error! Attention pour connaître alors les valeurs de cos a ou de sin a il faudra prendre garde aux signes ! 7) Equations trigonométriques : cos x = cos a x = a + 2k ou x = -a + 2k avec k Error! sin x = sin a x = a + 2k ou x = - a + 2k avec k Error! tan x = tan a x = a + 2k ou x = + a + 2k ce qui peut aussi s'écrire x = a + k avec k Error! Tout ceci peut se visualiser sur un cercle trigonométrique . 8) Inéquations trigonométriques : Elles se résolvent le plus souvent en combinant des changements de variables et l'utilisation du cercle trigonométrique. exemple 1 : pour x [- ; ] résoudre cos x - Error! On voit sur ce cercle que les solutions sont les réels des intervalles [ - ; - 2 Error! ] et [2 Error! ; ]. exemple 2 : résoudre , pour x [0 ; ], cos (2x - Error!) - Error! On pose X = 2x - Error!. On a alors X [ - Error! ; 7 Error! ] et les solutions en X vérifient 2 Error! X 4 Error! car la valeur correspondant à - 2 Error! qui est dans l'intervalle [ - Error! ; 7 Error! ] est 4 Error!. On retrouve alors les valeurs de x grâce à 2 Error! 2x - Error! 4 Error! ce qui donne Error! x Error!. 2 Error! - - Error! ou 9)7 Error! ou 4 Error! Période : Error! -2 Il faut savoir que la période de cos ( ax + b ) ou de sin ( ax + b ) est . Error! 10) Dérivées : La dérivée de la fonction cos ( u ( x ) ) est - u ' ( x ). sin ( u ( x ) ) et celle de sin ( u ( x ) ) est u' (x) . cos ( u ( x ) ) . 11) Plan d'étude d'une fonction trigonométrique : - période - parité - choix d'un intervalle d'étude - dérivée et étude de son signe sur l'intervalle précédemment choisi - tableau de variation - tracé sur au moins une période
