Dimension 1

MATHÉMATIQUES
MAT-5110-1
Introduction aux vecteurs
PRÉTEST A
Durée 2 heures 30
SOLUTIONNAIRE
Préparé par Roderich Jr Denis
Vérifié par Gilles Dulac et par Martin Leblanc
Novembre 2006
Mat-5110-1

Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A
2
Dimension 1
Question 1 5 points
a) Réponse :
a et e
b) Réponse :
c et f ; b et d
c) Réponse :
b et d
Accorder 5 points si les trois réponses sont exactes.
5
Accorder 3 points s’il y a deux réponses exactes.
3
Accorder 1 point s’il y a une réponse exacte.
1
Accorder 0 point pour tout autre cas
0
Dimension 2
Question 2 10 points
Hypothèses :
 ABCD est un trapèze
 E et F sont les milieux des côtés non parallèles
AD et BC
respectivement
Conclusion à démontrer :
AB + DC
EF = 2
A
B
D
C
E
F

Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A
3
Affirmations
Justifications
1. a)
EF = EA + AB + BF
b)
EF = ED + DC + CF
2.
2EF = EA + AB + BF + ED + DC + CF
2EF = EA + ED + AB + DC + BF + CF
2EF = AB + DC
3.
2EF = AB + DC
2 EF = AB + DC
Donc,
AB + DC
EF = 2
1. a) Relation de Chasles
Accorder 10 points si la démonstration contient les affirmations
appropriées accompagnées des justifications adéquates.
Accorder 8 points si la démonstration contient les affirmations
appropriées accompagnées partiellement des justifications adéquates.
Accorder 6 points si la démonstration contient les affirmations
appropriées, mais que les justifications sont absentes.
Accorder 0 point pour tout autre cas
0
2. Par addition des relations a) et b)
b) Relation de Chasles
Car
EA + ED = 0
et
BF + CF = 0
par addition de vecteurs opposés.
Par l’associativité vectorielle.
10
8
6
Car
AB parallèle à DC
3. Par le calcul de la longueur
d’un vecteur

Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A
4
Dimension 3
Question 3 10 points
Première solution : Développement du membre de gauche
(u + v) + w
=  (a, b) + (c, d)  + (e, f) Substitution des vecteurs par leurs composantes
= (a + c, b + d) + (e, f) Addition des composantes des vecteurs
= (a + c + e, b + d + f) Addition des composantes des vecteurs
= (a, b) + (c + e, d + f) Associativité de l’addition
= (a, b) +  (c, d) + (e, f)  Addition des composantes des vecteurs
=
u + (v + w)
Substitution des composantes par leurs vecteurs
Deuxième solution : Développement du membre de droite
(u + v) + w
= (a, b) +  (c, d) + (e, f)  Substitution des vecteurs par leurs composantes
= (a, b) + (c + e, d + f) Addition des composantes des vecteurs
= (a + c + e, b + d + f) Addition des composantes des vecteurs
= (a + c, b + d) + (e, f) Associativité de l’addition
=  (a, b) + (c, d)  + (e, f) Addition des composantes des vecteurs
=
u + (v + w)
Substitution des composantes par leurs vecteurs
Troisième solution : Développement des membres de gauche et de droite séparément
(u + v) + w
=  (a, b) + (c, d)  + (e, f) Substitution des vecteurs par leurs composantes
= (a + c, b + d) + (e, f) Addition des composantes des vecteurs
= (a + c + e, b + d + f) Addition des composantes des vecteurs
et,
u + (v + w)
= (a, b) +  (c, d) + (e, f)  Substitution des vecteurs par leurs composantes
= (a, b) + (c + e, d + f) Addition des composantes des vecteurs
= (a + c + e, b + d + f) Addition des composantes des vecteurs
donc,
(u + v) + w
=
u + (v + w)
Transitivité
Accorder 10 points si les deux membres sont développés et
accompagnés des justifications adéquates.
Accorder 8 points si les deux membres sont développés et
accompagnés partiellement de justifications adéquates.
Accorder 6 points si les deux membres sont seulement développés,
mais que les justifications sont absentes.
Accorder 0 point pour tout autre cas
0
10
8
6

Mat-5110-1 Introduction aux vecteurs Solutionnaire Prétest A
5
Dimension 4
Question 4 10 points
Affirmations : a) Vraie b) Fausse
c) Fausse d) Vraie
Affirmations fausses : Correction :
AB - CB + CE = AB + BC + CE
= AC + CE
= AE
AE - BE = AE + EB
= AB
= AD + DB
= AD - BD
Accorder 1 point par bonne réponse.
1, 2 , 3 ou 4
Accorder 3 points par correction adéquate.
3 ou 6
Accorder 0 point pour tout autre cas.
0
Dimension 5
Question 5a 10 points
Corriger selon la GRILLE C
c)
b)
AB - AC
- AC
Échelle
1 cm 1,5 cm
AB + AC
120º
α
θ
AB
AB + AC = 5 cm
AB - AC = 3 cm
AC
θ