CHIMIE LE 1 Octobre 2011 - PCSI

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DEVOIR DE PHYSIQUE N°10
Durée : Trois heures
Instructions générales :
 Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 3 pages.
 Les candidats sont invités à porter une attention toute particulière à la qualité de la
rédaction, de l’orthographe et des justifications.
 Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.
 L’usage d’une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
 Les exercices sont indépendants. Elles peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le
candidat.
Indication :
Expression de
gradV
dans les différents systèmes de coordonnées
Questions de cours
1°) Enoncer le théorème de Gauss. Illustrer cet énoncé par un schéma.
2°) Enoncer le théorème d’Ampère. Illustrer cet énoncé par un schéma.
3°) Enoncer la loi de Biot et Savart.
4°)
5°)
Exercice 1 : Champ et potentiel créé par un cylindre
Soit un cylindre d’axe (Oz) et de base un disque de centre O et de rayon a uniformément
chargé en volume avec une densité volumique de charge ρ. On suppose que la distance r du
point M par rapport à l’axe (Oz) est faible devant la hauteur de manière à pouvoir considérer
le cylindre comme infini.
1°) Déterminer le champ électrostatique créé en M si M est à l’extérieur du cylindre (r>a) et si
M est l’intérieur du cylindre. Tracer la courbe qui représente l’évolution de E(r) en fonction
de r.
2°) Déterminer le potentiel électrostatique créé en M si M est à l’extérieur du cylindre (r>a) et
si M est l’intérieur du cylindre. Tracer la courbe qui représente l’évolution de V en fonction
de r. On prendra V = 0 quand r = r0 (r0 > a ; on ne peut pas prendre V = 0 à l’infini car il y a
des charges à l’infini).

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Exercice 2 : Câble coaxial
Un câble coaxial est constitué de deux conducteurs concentriques séparés par un isolant,
parcourus par des courants égaux et de sens opposés. On se place dans l'approximation de
courants filiformes : le conducteur central est considéré comme un fil et le conducteur
périphérique infiniment mince, de rayon R. On considère que le câble coaxial est rectiligne et
infiniment long.
1. Le courant qui circule dans le conducteur périphérique est réparti uniformément sur toute sa
surface. Étudier les symétries et invariances de la distribution de courant et conclure.
2. Montrer que le champ magnétostatique est nul à l'extérieur du câble coaxial.
3. Déterminer le champ magnétostatique entre les conducteurs.
Exercice 3 : Spire de courant
On donne une spire circulaire de rayon
R
, de
centre
O
, d'axe
Oz
. Cette spire est parcourue par
un courant électrique d'intensité
I
constante.
1°) Montrer par des arguments de symétrie
que, sur l'axe, le champ magnétostatique
B
est
porté par l'axe et prend la forme de
kBB 
où
k
est un vecteur unitaire porté par l'axe
Oz
.
2°) Comparer
)(zB
et
)( zB 
.
3°) Calculer le champ magnétostatique créé en
un point
M
de l'axe tel que
zOM 
. On écrira
R
z
fBzB 0 )(
où
)0(
0BB 
. Préciser
0
B
et
R
z
f
.
4°) Tracer le graphe représentant les variations de la fonction
)(zB
.
Exercice 4 : Machine à vapeur
Cycle de Rankine
L’eau décrit le cycle suivant :
- AB : l’eau, liquide saturant à T1 et P*1(T1) est comprimée de façon isentropique dans une
pompe jusqu’à la pression P*2 de la chaudière.
- BCD : l’eau passe dans la chaudière et s’y réchauffe jusqu’à T2 (BC) puis s’y vaporise (CD)
sous la pression P*2(T2).
- DE : la vapeur saturante passe dans le cylindre à T2, P*2 et on effectue une détente
isentropique jusqu'à T1, P*1 : on obtient un mélange liquide-vapeur de titre x en vapeur.
- EA : le piston par son retour chasse le mélange dans le condenseur où il se liquéfie
totalement.
On assimile le liquide à un liquide incompressible de capacité thermique massique cl = 4.18
kJ.kg-1.K-1 et la vapeur à un gaz parfait. On donne les caractéristiques :

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P*1 = 0.20 bar ; T1 = 60 °C = 333 K ; Δhvap(T1) = l1 = 2 360 kJ.kg-1.
P*2 = 12 bar ; T2 = 188 °C = 461 K ; Δhvap(T2) = l2 = 1 990 kJ.kg-1.
On raisonne sur l'unité de masse du fluide.
a) Justifier que la compression isentropique AB du liquide (saturant en A) est confondue avec
l'isotherme T1.
b) Justifier que la détente isentropique DE de la vapeur (saturante en D) conduit
nécessairement à un mélange diphasé dont on calculera le titre massique x en vapeur.
c) Représenter la totalité du cycle de Rankine en diagramme (P, v).
Rendement d'une machine à vapeur
a) Exprimer et calculer les divers transferts thermiques pour chaque étape du cycle de
Rankine.
b) Définir le rendement de cette machine à vapeur. L'exprimer puis le calculer.
c) Quelles sont les causes d'irréversibilité d'une telle machine ?
Exercice 5 : Potentiel de Yukawa
On considère une distribution de charges à symétrie sphérique autour d'un point O, qui crée à
une
distance r de O un potentiel de la forme V(r) =
0
() 4
r
a
q
V r e
r
1. Calculer le champ électrique créé par cette distribution.
2. Calculer la charge contenue dans une sphère de centre O et de rayon r.
3. En déduire la charge volumique ρ(r) en tout point de l'espace (sauf en O).