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Simon Lussi 3M02 Résumé Maths Gymnase de Nyon : examens 2003
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Résumé de Mathématique (niveau standard et renforcé) – Examens 2003
1. ANALYSE: ETUDE DE FONCTION : FORMULAIRE ET TABLES P. 15 A 19 ....................................................... 2
1.1 FONCTIONS : ................................................................................................................................................................... 2
1.2 TENGANCE DE FONCTIONS : .............................................................................................................................................. 5
1.3 VALEUR ABSOLUE : FORMULAIRE ET TABLES P. 16 ............................................................................................................ 6
1.4 BIJECTIONS ET RECIPROQUES : ......................................................................................................................................... 6
1.5 PARITE D’UNE FONCTION : ............................................................................................................................................... 7
1.6 LIMITES ET ASYMPTOTES ................................................................................................................................................. 8
1.7 DERIVEE ET DERIVEE SECONDE ........................................................................................................................................ 9
2. ANALYSE : SUITE…..................................................................................................................................................... 10
2.1 PRIMITIVE ET INTEGRALE : ......................................................................................................................................... 10
2.2 LOGARYTHME ET EXPONENTIELLE : ........................................................................................................................... 12
2.3 GRAPHES DE
1
()fx
, LN(F(X)) , EXP(F(X)) (MATHS RENFORCÉS) : ............................................................................. 14
2.4 ANALYSE COMBINATOIRE ET PROBABILITÉ : ................................................................................................................... 15
2.4 NOMBRES COMPLEXES (MATHS RENFORCÉS) : ........................................................................................................... 19
2.5 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES (MATHS RENFORCÉS) : .................................................. 22
3. GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE PLANE : FORMULAIRE ET TABLES P. 29 A 32 ET 35 A
54 22
3.1 RAPPELS DE GEOMETRIE PLANE : FORMULAIRE ET TABLES P. 35 A 47 .............................................................................. 22
3.2 LA TRIGONOMETRIE : FORMULAIRE ET TABLES P. 29 A 32 ................................................................................................ 23
3.3 MESURE DES ANGLES EN RADIANS : ................................................................................................................................ 24
3.4 GEOMETRIE VECTORIELLE PLANE : FORMULAIRE ET TABLES P. 47 A 50 ........................................................................... 24
COMBINAISON LINEAIRE ET COLINEARITE : ............................................................................................................................ 25
3.5 GEOMETRIE ANALYTIQUE PLANE : ................................................................................................................................. 25
3.6 PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN : ............................................................................................................................... 27
3.7 GEOMETRIE ANALYTIQUE PLANE, QUESTIONS METRIQUES : ........................................................................................... 28
BISSECTRICE DE DEUX DROITES : ............................................................................................................................................ 29
4. GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE DE L’ESPACE : .................................................................... 30
4.1 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DE L’ESPACE :................................................................................................................... 30
4.2 L’ESPACE AFFINE (GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE) : ..................................................................................... 31
4.3 PRODUITS SCALAIRES, VECTORIELS ET MIXTES DANS L’ESPACE : ............................................................................... 32
4.4 GEOMETRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE, QUESTIONS METRIQUES : ............................................................................. 34
4.5 CONIQUES (MATHS RENFORCÉS): ............................................................................................................................... 36
5. ALGEBRE LINEAIRE (MATHS RENFORCES) : ..................................................................................................... 37
5.1 ESPACE ET SOUS-ESPACE VECTORIELS : ..................................................................................................................... 37
5.2 APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES ASSOCIEES : ................................................................................................ 39
5.3 DÉTERMINANT ET INVERSE D’UNE MATRICE .............................................................................................................. 41
5.4 CHANGEMENT DE BASE : ............................................................................................................................................ 42
5.5 SYSTÈMES LINÉAIRES : ............................................................................................................................................... 43

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Résumé de Mathématique (niveau standard et renforcé) – Examens 2003
1. Analyse: Etude de fonction : Formulaire et Tables p. 15 à 19
rappel :
Division d’un polynôme : ax2 + bx + c = (ex + f)(gx + h) + r
1.1 Fonctions :
a)
fonctions constantes : f(x) = a
fonctions linéaires : g(x) = ax
fonctions affines : h(x) = ax + b
fonctions affines en valeur absolue : i(x) = |ax + b|
f(x) = 5
g(x) = 1/2x
h(x) = x – 2
i(x) = | 3/2x |
b)
fonctions quadratiques : f(x) = ax2 + bx + c
zéros :
graphique : on met ax2 + bx + c sous la forme a(x-p)2+q
Calculs : a est l’écartement de la parabole
les coordonnées du sommet sont (p ;q)
ax2 + bx + c gx + h
ex + f
r
Représentation graphique
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -5 0 5 10
f(x)
g(x)
h(x)
i(x)
aacbb
x24
2
abac
a
b
xa
a
c
a
b
a
a
b
xa
a
c
a
b
a
b
x
a
b
xa
a
c
x
a
b
xacbxax
4
4
)
2
()
4
()
2
(
)
44
()(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
-p
q
Si on veut foctoriser le polynôme (donc
que r soit nul), il faut chercher un diviseur
(gx + h) sachant que c est multiple de h

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f(x) = x2
g(x) = x2 – 6x + 9
= (x – 3)2
h(x) = x2 + 6x + 3
= (x + 3)2 - 6
c)
fonctions cubiques : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
trouver une solution s et diviser le polynôme par (x – s) ou alors factoriser par groupement et mise en
évidence.
f(x) = x3
g(x) = - x3
h(x) = (x-5)3
i(x) =-(x+5)3+3
d)
fonctions rationnelles :
Il faut trouver l’ensemble de définition de la fonction en égalant le dénominateur de la fonction à zéro
soit ax + c = 0 et donc notre ensemble de définition est ED = -{ }
car une division par 0 est impossible donc si ax + c = 0, alors f(x) n’existe pas
Représentation graphique
-10
0
10
20
30
40
50
60
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(x)
g(x)
h(x)
Représentation graphique
-15
-10
-5
0
5
10
15
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
f(x)
g(x)
h(x)
i(x)
caxb
xf  )(
a
c

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f(x) = h(x) =
g(x) = i(x) =
e)
fonctions irrationnelles : f(x) =
Il faut en premier lieu trouver l’ensemble de définition car on sait que la racine carrée d’un nombre
négatif est impossible et donc n’est pas définie. Pour trouver l’ensemble de définition, il faut faire une
inéquation En fait on étudie le signe de la fonction ax + b en sachant que f(x) ne sera définie
que quand ce signe est positif ou nul.
Exemple : f(x) =  où (2x + 4) 0
donc l’ensemble de définition est ED = { } ou { }
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
f(x)
g(x)
h(x)
i(x)
f(x) = h(x) =
g(x) = i(x) =
Représentation graphique
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
1
x
1
5
1
x
2
5
1
x
bax 
0bax
42 x
2042  xx
-2
+
-
 ;2xx
 ;2x
x
x
x
x

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si f(x) = alors la courbe sera la même que sur le graphique précédent en fonction des signes
de x et de la racine carrée seulement la base de la courbe (sur le graphique toute les bases sont à (0 ;0))
sera à (-a ;b)
Si on a une équation irrationnelle c’est à dire avec des racines il faut beaucoup réfléchir sur les signes de
x et des racine de x. Si on le fait on peut savoir si l’équation à des solutions ou non sans faire les calculs.
Exemple d’équation sans solution : tout d’abord l’ensemble de définition
ED = [-1/3 ;[ Seulement maintenant on regarde le signe de x + 3 par rapport à ED et on voit que
lorsque x  ED x + 3 est toujours positif et comme on sait qu’une racine est toujours positive (puisque
la racine d’un nombre négatif n’existe pas et comme il y a un moins devant la racine, elle sera toujours
négative. Le seul cas ou un nombre positif est égal à un nombre négatif c’est 0 = 0 mais pour que x + 3
fasse 0 il faut que x = -3 or –3  ED. Donc il n’y a pas de solution.
1.2 Tengance de fonctions :
si f(x) et g(x) sont deux fonctions tengantes, alors l’équation f(x)-g(x) = 0 n’admet qu’une solution qui
correspond à la première coordonnée du point de tengance donc le discriminant de f(x)-g(x) est égal à
zéros si l’une des deux fonction est quadratique (rappel : le discriminant noté  vaut b2 – 4ac (pour une
équation ax2 + bx + c) et lorsque ce dernier vaut 0 il n’y a qu’une solution
exemple : f(x) = -x2 + 2x
1) Trouver la fonction affine g(x) dont le graphe est tengant à celui de f(x) en (0 ;0)
g(x) = ax + b mais comme g(x) passe par (0 ;0) (point de tengance) b = 0 donc g(x) = ax
g(x) = f(x)  -x2 +2x = ax  x2 + (a-2)x = 0
cette equation n’admet qu’une solution   = 0 A = 1 B = a – 2 et C = 0
 B2 – 4AC = 0  a2 – 4a + 4 = 0  (a – 2)2 = 0  a = 2
Donc g(x) = 2x
2) Déterminer la parabole h(x) tangente au graphe de f(x) en (0 ;0) et dont l’abscisse du sommet est –2
comme nous connaissons l’abscisse du sommet (=1ère coordonnée) on va écrire h(x) sous la forme
h(x) = a(x + 2)2 + p
h(x) passe par le point (0;0) donc h(0) = 0  a(0 + 2)2 + p = 0  p = -4a
h(x) et f(x) sont tangent en un seul point donc h(x)-f(x) = 0 n’admet qu’une solution (0 car il s’agit du
point de tangence) donc le discriminant de h(x)-f(x) = 0
calculons h(x)-f(x) : ax2 + 4ax + 4a – 4a + x2 - 2x = 0  (a + 1)x2 + (4a - 2)x = 0
calculons h(x)-f(x) : 16a2 - 16a + 4 = 0  (4a - 2)2 = 0  a = 1/2  p = -2
 h(x) = -1/2(x + 2)2 - 2  h(x) = -1/2x2 –2x - 4 = 0
bax 
313  xx