2`281 Ko
publicité
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
Résumé de Mathématique (niveau standard et renforcé) – Examens 2003
1.
ANALYSE: ETUDE DE FONCTION : FORMULAIRE ET TABLES P. 15 A 19 ....................................................... 2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
FONCTIONS : ................................................................................................................................................................... 2
TENGANCE DE FONCTIONS : .............................................................................................................................................. 5
VALEUR ABSOLUE : FORMULAIRE ET TABLES P. 16 ............................................................................................................ 6
BIJECTIONS ET RECIPROQUES : ......................................................................................................................................... 6
PARITE D’UNE FONCTION : ............................................................................................................................................... 7
LIMITES ET ASYMPTOTES ................................................................................................................................................. 8
DERIVEE ET DERIVEE SECONDE ........................................................................................................................................ 9
ANALYSE : SUITE…..................................................................................................................................................... 10
2.
2.1
2.2
PRIMITIVE ET INTEGRALE : ......................................................................................................................................... 10
LOGARYTHME ET EXPONENTIELLE : ........................................................................................................................... 12
2.3
GRAPHES DE
1
, LN(F(X)) , EXP(F(X)) (MATHS RENFORCÉS) : ............................................................................. 14
f ( x)
2.4 ANALYSE COMBINATOIRE ET PROBABILITÉ : ................................................................................................................... 15
2.4
NOMBRES COMPLEXES (MATHS RENFORCÉS) : ........................................................................................................... 19
2.5
INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES (MATHS RENFORCÉS) :.................................................. 22
3.
54
GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE PLANE : FORMULAIRE ET TABLES P. 29 A 32 ET 35 A
22
3.1 RAPPELS DE GEOMETRIE PLANE : FORMULAIRE ET TABLES P. 35 A 47 .............................................................................. 22
3.2 LA TRIGONOMETRIE : FORMULAIRE ET TABLES P. 29 A 32 ................................................................................................ 23
3.3 MESURE DES ANGLES EN RADIANS : ................................................................................................................................ 24
3.4 GEOMETRIE VECTORIELLE PLANE : FORMULAIRE ET TABLES P. 47 A 50 ........................................................................... 24
COMBINAISON LINEAIRE ET COLINEARITE : ............................................................................................................................ 25
3.5 GEOMETRIE ANALYTIQUE PLANE : ................................................................................................................................. 25
3.6 PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN : ............................................................................................................................... 27
3.7 GEOMETRIE ANALYTIQUE PLANE, QUESTIONS METRIQUES : ........................................................................................... 28
BISSECTRICE DE DEUX DROITES : ............................................................................................................................................ 29
4.
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE DE L’ESPACE : .................................................................... 30
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DE L’ESPACE :................................................................................................................... 30
L’ESPACE AFFINE (GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE) : ..................................................................................... 31
PRODUITS SCALAIRES, VECTORIELS ET MIXTES DANS L’ESPACE : ............................................................................... 32
GEOMETRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE, QUESTIONS METRIQUES : ............................................................................. 34
CONIQUES (MATHS RENFORCÉS): ............................................................................................................................... 36
ALGEBRE LINEAIRE (MATHS RENFORCES) : ..................................................................................................... 37
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
ESPACE ET SOUS-ESPACE VECTORIELS : ..................................................................................................................... 37
APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES ASSOCIEES : ................................................................................................ 39
DÉTERMINANT ET INVERSE D’UNE MATRICE .............................................................................................................. 41
CHANGEMENT DE BASE : ............................................................................................................................................ 42
SYSTÈMES LINÉAIRES : ............................................................................................................................................... 43
- 1/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
Résumé de Mathématique (niveau standard et renforcé) – Examens 2003
1. Analyse: Etude de fonction : Formulaire et Tables p. 15 à 19
rappel :
Division d’un polynôme : ax2 + bx + c = (ex + f)(gx + h) + r
ax2 + bx + c
Si on veut foctoriser le polynôme (donc
que r soit nul), il faut chercher un diviseur
(gx + h) sachant que c est multiple de h
gx + h
ex + f
r
1.1
Fonctions :
a)
fonctions constantes : f(x) = a
fonctions linéaires : g(x) = ax
fonctions affines : h(x) = ax + b
fonctions affines en valeur absolue : i(x) = |ax + b|
f(x) = 5
Représentation graphique
-10
-5
10
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
-10
g(x) = 1/2x
h(x) = x – 2
f(x)
i(x) = | 3/2x |
g(x)
h(x)
5
10
i(x)
b)
fonctions quadratiques : f(x) = ax2 + bx + c
b b 2 4ac
2a
graphique : on met ax2 + bx + c sous la forme a(x-p)2+q
Calculs :
zéros :
x
a est l’écartement de la parabole
b
c
b
b2
b2
c
2
ax bx c a( x x ) a( x x 2 2 )
a
a
a
a
4a
4a
les coordonnées du sommet sont (p ;q)
2
2
b 2
b
c
b 2 4ac b
a( x
) a( 2 ) a( x )
a
2a
2a
4a
4a
-p
q
2
2
- 2/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
f(x) = x2
Représentation graphique
g(x) = x2 – 6x + 9
= (x – 3)2
60
50
h(x) = x2 + 6x + 3
= (x + 3)2 - 6
40
f(x)
30
g(x)
20
h(x)
10
0
-6
-4
-2
-10
0
2
4
6
c)
fonctions cubiques : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
trouver une solution s et diviser le polynôme par (x – s) ou alors factoriser par groupement et mise en
évidence.
Représentation graphique
f(x) = x3
15
g(x) = - x3
10
h(x) = (x-5)3
5
f(x)
g(x)
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-5
6
8
i(x) =-(x+5)3+3
h(x)
i(x)
-10
-15
d)
fonctions rationnelles : f ( x)
b
ax c
Il faut trouver l’ensemble de définition de la fonction en égalant le dénominateur de la fonction à zéro
c
soit ax + c = 0 et donc notre ensemble de définition est ED = -{ }
a
car une division par 0 est impossible donc si ax + c = 0, alors f(x) n’existe pas
- 3/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
Représentation graphique
8
6
4
2
0
-15
-10
-5
-2
0
5
10
15
-4
-6
1
x5
1
i(x) =
2
x5
1
x
1
g(x) =
x
f(x) =
h(x) =
e)
fonctions irrationnelles : f(x) =
xa b
Il faut en premier lieu trouver l’ensemble de définition car on sait que la racine carrée d’un nombre
négatif est impossible et donc n’est pas définie. Pour trouver l’ensemble de définition, il faut faire une
inéquation ax b 0 En fait on étudie le signe de la fonction ax + b en sachant que f(x) ne sera définie
que quand ce signe est positif ou nul.
Exemple : f(x) = 2 x 4 2x 4 0 x 2
où
donc l’ensemble de définition est ED = { x
-2
(2x + 4)
0
x 2; } ou { x 2; }
5
4
3
2
f(x)
1
g(x)
0
-20
-15
-10
-5
-1
0
5
10
-3
-4
-5
f(x) =
x
g(x) = x
h(x) =
15
20
h(x)
i(x)
-2
x
i(x) = x
- 4/43 -
+
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
si f(x) = x a b alors la courbe sera la même que sur le graphique précédent en fonction des signes
de x et de la racine carrée seulement la base de la courbe (sur le graphique toute les bases sont à (0 ;0))
sera à (-a ;b)
Si on a une équation irrationnelle c’est à dire avec des racines il faut beaucoup réfléchir sur les signes de
x et des racine de x. Si on le fait on peut savoir si l’équation à des solutions ou non sans faire les calculs.
Exemple d’équation sans solution : 3x 1 x 3 tout d’abord l’ensemble de définition
ED = [-1/3 ;[ Seulement maintenant on regarde le signe de x + 3 par rapport à ED et on voit que
lorsque x ED x + 3 est toujours positif et comme on sait qu’une racine est toujours positive (puisque
la racine d’un nombre négatif n’existe pas et comme il y a un moins devant la racine, elle sera toujours
négative. Le seul cas ou un nombre positif est égal à un nombre négatif c’est 0 = 0 mais pour que x + 3
fasse 0 il faut que x = -3 or –3 ED. Donc il n’y a pas de solution.
1.2 Tengance de fonctions :
si f(x) et g(x) sont deux fonctions tengantes, alors l’équation f(x)-g(x) = 0 n’admet qu’une solution qui
correspond à la première coordonnée du point de tengance donc le discriminant de f(x)-g(x) est égal à
zéros si l’une des deux fonction est quadratique (rappel : le discriminant noté vaut b2 – 4ac (pour une
équation ax2 + bx + c) et lorsque ce dernier vaut 0 il n’y a qu’une solution
exemple : f(x) = -x2 + 2x
1) Trouver la fonction affine g(x) dont le graphe est tengant à celui de f(x) en (0 ;0)
g(x) = ax + b mais comme g(x) passe par (0 ;0) (point de tengance) b = 0 donc g(x) = ax
g(x) = f(x) -x2 +2x = ax x2 + (a-2)x = 0
cette equation n’admet qu’une solution = 0
A=1
B=a–2
et C = 0
B2 – 4AC = 0 a2 – 4a + 4 = 0 (a – 2)2 = 0 a = 2
Donc g(x) = 2x
2) Déterminer la parabole h(x) tangente au graphe de f(x) en (0 ;0) et dont l’abscisse du sommet est –2
comme nous connaissons l’abscisse du sommet (=1ère coordonnée) on va écrire h(x) sous la forme
h(x) = a(x + 2)2 + p
h(x) passe par le point (0;0) donc h(0) = 0 a(0 + 2)2 + p = 0 p = -4a
h(x) et f(x) sont tangent en un seul point donc h(x)-f(x) = 0 n’admet qu’une solution (0 car il s’agit du
point de tangence) donc le discriminant de h(x)-f(x) = 0
calculons h(x)-f(x) : ax2 + 4ax + 4a – 4a + x2 - 2x = 0 (a + 1)x2 + (4a - 2)x = 0
calculons h(x)-f(x) : 16a2 - 16a + 4 = 0 (4a - 2)2 = 0 a = 1/2 p = -2
h(x) = -1/2(x + 2)2 - 2 h(x) = -1/2x2 –2x - 4 = 0
- 5/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
1.3 Valeur absolue : Formulaire et Tables p. 16
l’utilisation de la valeur absolue dans une étude de fonction ou autre nécessite une division en plusieur cas
|x| = x si x>0
-x si x<0
p. ex : si x = 3, |x| = 3. Et si x = -3, |x| = 3
exemple : f(x) = |x – 5| - |2 - 3x|
-
(x – 5)
(2 – 3x)
+
-
+
Donc
si x 2/3 :
|x – 5| = - x + 5
|2 – 3x| = 2 – 3x
f(x) = -x + 5 – 2 + 3x = 2x + 3
si 2/3 x 5 :
|x – 5| = - x + 5
|2 – 3x| = 3x – 2
f(x) = -x + 5 + 2 - 3x = -4x + 7
si 5 x :
|x – 5| = x - 5
|2 – 3x| = 3x – 2
f(x) = x – 5 + 2 – 3x = -2x – 3
Représentation graphique
30
20
10
2x + 3
-4x + 7
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-10
10
12
-2x - 3
f(x)
-20
-30
1.4
Bijections et réciproques :
E
F
y (= f(x)) s’appelle : l’image de x
x s’appelle : la préimage de y
x
f
r
f
f est la fonction et rf sa réciproque
y (=f(x))
E est l’ensemble de départ (l’axe des x)
F est l’ensemble d’arrivée (l’axe des y)
- 6/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
Pour une fonction, chaque x de l’ensemble de définition a une seule image mais chaque y peut
avoir plusieur, une ou aucune préimage.
par exemple f(x) = x2, les préimages de 4 sont 2 et –2, la préimage de 0 est 0, -4 n’as pas de préimage.
1er cas : fonction bijective
Dans ce cas, chaque élélment de l’ensemble d’arrivée (chaque y) a exactement une préimage. Par
exemple : f(x) = x
2ème cas : fonction injective
Dans ce cas, chaque élément de l’ensemble d’arrivée (chaque y) a au plus une préimage (soit une soit
aucune). Par exemple : f(x) = 1/x
3ème cas : fonction surjective :
Dans ce cas, chaque élément de l’ensemble d’arrivée à au moins une préimage (soit une, soit plusieur)
Par exemple : f(x) = x3
les fonction réciproques sont les fonctions qui renvoie les y (ou f(x)) sur les x donc si on a f(x) = x2 pour
trouver sa réciproque, on exprime f(x) par rapport à x x = f (x) donc on en déduit que rf(x) = x
Exemple : Trouver la réciproque de f(x) =
f(x)4x2 = 1 x2 =
1
4x 2
f ( x)
2 f ( x)
1
1
1
x=
x=
*
x=
2 f ( x)
4 f ( x)
2 f ( x)
2 f ( x)
2 f ( x)
1
4x 2
x
Donc rf(x) =
pour preuve rf(f(x)) =
=
1
2x
2 2
4x
1
2x
1
2x 2
=
2x 2
= x (donc rf est bien réciproque de f)
2x
Composition de fonctions :
Si on prend y = f(x) et g(y) = z on a une composition de fonction : (g f)(x) (se prononce g rond f) car
en fait g(y) = g(f(x)). Exemple f(x) = 2x et g(x) = x + 4
(g f)(x) = g(f(x)) = 2x + 4
(f g)(x) = f(g(x)) = 2x + 8
1.5
Si
Parité d’une fonction :
f(x) = f(-x) quelque soit x ED la fonction f(x) est une fonction paire
Graphiquement, une fonction paire correspond à une fonction symétrique axiale par rapport à l’axe y
par exemple : x2
Si
g(-x) = -g(x) quelque soit x ED la fonction g(x) est une fonction impaire
Graphiquement, une fonction impaire correspond à une fonction symétrique axiale par rapport à la 2ème
diagonale (celle qui passe en (-1 ;1) et (1 ;-1)) ou une symétrie centrale par rapport à l’origine (0 ;0)
Par exemple : x3
- 7/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
Exemple d’exercice :
Montrer que (5 ;3) est le centre de symétrie de f(x) = x3 – 15x2 + 75x –122 :
Pour le montrer il faut exprimer f(x) dans une nouvelle base, avec deux nouveau axes. En fait ce qu’il
faut faire c’est que (5 ;3) dans l’ancienne base, devienne (0 ;0) dans la nouvelle base. Et après il suffit de
vérifié si f(x) dans la nouvelle base est impaire (seul cas de symétrie centrale) si c’est vrai ça veut dire
que (0 ;0) (= (5 ;3) dans l’ancienne base) est centre de symétrie de f(x).
f(x)
20
15
10
y
5
0
-5
0
2
4
6
8
10
-10
-15
x
C
f(x)
nouvelle base : x’ = x – 5 et y’ = y – 3
x' (nouvel axe)
y' (nouvel axe)
car (5 ;3) devient (0 ;0)
y = f(x) or y = y’ + 3 et x = x’ + 5
donc y = f(x) y’+3 = f(x + 5)
on cherche y’ car y’ = f(x’) c’est l’expression de f(x) dans la
nouvelle base
y’ = (x’ + 5)3 - 15(x’ + 5)2 + 75(x’ + 5) –122 – 3
y’ = x’3 + 15 x’2 + 75x’ + 125 – 15x’2 – 150x’ – 375 + 75x’ +375 –125
y’ = x’3
comme x’3 est une fonction impaire ça signifie que l’origine (0 ;0) de la nouvelle base 0x’y’ est le centre
symétrique de la fonction f(x’) et donc que le point (5 ;3) est le centre symétrique de f(x)
1.6
Limites et asymptotes
lim f ( x) Valeur de f(x) quand x tend vers 0 (x n’est pas égal à 0)
x 0
lim f ( x) Valeur de f(x) quand x tend vers 0 (x n’est pas égal à 0 mais est inférieur à 0)
x 0
<
méthode d’exemple : remplacer x par 0.0000001 et calculer f(x)
- 8/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
limites particulière :
lim
x 0
sin x
1
x
lim
x 0
1 cos x
0
x
lim
x 0
1 cos x 1
2
x2
formes indéterminée :
lorsqu’en calculant f(x) on arrive à une des expressions ci-dessous, on doit transformer f(x) pour pouvoir
trouver la solution
0
0
ou
ou
0*
ou
il existe plusieurs méthodes pour transformer f(x) : (1) factoriser la fonction si c’est possible, (2)
1
remplacer x par une variable t où x ou (3) multiplier par le conjugué si la fonction est irrationnelle
t
exemples :
x 2 2x 0
(1) lim
x 0
x
0
lim
x 0
x( x 2)
lim ( x 2) 2
x 0
x
1
x 2 2x
(2) lim
x attention de ne pas oublier que la limite n’est plus sur x mais sur t et
x
t
x
que donc t ne tend pas vers la même valeur que x mais vers son inverse
1 2
1 2t
2
t lim t 2 lim 1 2t 1 ( f(x) + si t 0 et f(x) - si t 0 )
lim t
t 0
t 0
t 0
1
1
<
t
0
>
t
t
1 x 1 0
1 x 1 1 x 1
1 x 1
1
1
(3) lim
lim
lim
lim
x 0
x 0
x
0
x
1 x 1 x0 x( 1 x 1) x0 1 x 1 2
Conjugué
(comme le dénominateur et le numérateur
sont les même, le conjugué vaut 1)
Asymptote :
1.7
-
verticale : lim =
-
horizontale :
-
oblique : m = lim
(équation : x = a)
x a
lim = a
x
x
(équation : y = a)
f ( x)
et h = lim (f(x) – mx)
x
x
(équation : y = mx + h)
Dérivée et dérivée seconde
la dérivée d’une fonction correspond à la pente de la tangente à la fonction en un point x
en fait elle calcule la pente de la tangente entre deux points x et x0 quant x tend vers x0
la dérivée de f(x) se note f ‘(x)
f ‘(x) = lim
x x 0
f ( x) f ( x0)
f ( x0 h) f ( x0)
lim
h 0
x x0
h
- 9/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
dérivée de quelques fonctions :
c
x
xc
sin(x)
cos(x)
(x2 – 1)2
(x3 + 2x) –3
[f(x)] c
0
1
c x c-1
cos(x)
-sin(x)
2(x2 – 1) * 2x
-3(x3 + 2x) (3x2 + 2)
c [f(x)] c-1 * [f ‘(x)]
2x, (3x2 + 2) et [f ‘(x)] sont appellés dérivées interne
1
= x –1 //
x = x ½ //
x 3 = x 3/2
x
les zéros de la dérivée correspondent aux sommets de la fonction (maximum et minimum)
rappel sur les puissances :
lorsque la dérivée est positive, la fonction est croissante (
cette dernière est négative
)et elle est décroissante (
)lorsque
dévivée seconde
la dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d’une fonction et se note f ’’(x)
la dévivée seconde nous renseigne sur la courbure de la fonction et sur ses points d’inflexion
la foction est convexe (
ci est négative
) lorsque sa dérivée seconde est positive et concave (
) lorsque celle-
Les zéros de la dérivée seconde correspondent aux points d’inflexion de la fonction c’est à dire le point
où la courbure change (par exemple, pour la fonction f(x) = x3, le point d’inflexion est le point (0 ;0) ou
plus exactement (0 ;f(0)), pour preuve f ’’(x) = 6x et f ’’(0) = 0 donc il s’agit bien d’un point d’inflexion)
2. Analyse : suite…
2.1
Primitive et intégrale :
La primitive est en quelque sorte l’inverse d’une dérivée c’est à dire que si on dérive la primitive on
retombe sur la fonction. La primitive de f(x) se note F(x).
primitive de quelques fonctions :
a
x
xa
sin(x)
cos(x)
ax+c
2 x2 + c
1 a 1
x +c
a 1
-cos(x) + c
sin(x) + c
c est une constante (réelle)
qu’on rajoute car sa
dérivée vaut 0
Intégrales définies, calcul d’aire et de volume :
Une intégrale définie de f(x) dans un intervalle [a ;b] se note ba f ( x)dx
Déf : x est une variable d’intégration et les nombres a et b sont les bornes d’intégration
- 10/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
On calcule l’intégrale d’une fonction grâce à sa primitive.
ba f ( x)dx F (b) F (a) . La constante c que l’on rajoute à la primitive n’est pas nécessaire puisque
qu’on a une soustraction de deux primitive, le c s’annule.
Le calcul de cette intégrale sert à calculer l’aire de la surface délimitée par les bornes, l’axe x et la
fonction f
Ex : 33 ( x 2 9)dx = -1/3 (3)3 + 9(3) – ( -1/3(-3)3 + 9(-3)) = 36
Intégrale de f(x)
10
8
6
y
f(x)
4
2
3
2.
2
1.
4
0.
6
0
-0
.6
-1
.4
-2
.2
-3
0
x
Si les bornes a et b ne sont pas données elles correspondent au zéros de la fonction (comme dans cet
exemple –3 et +3
si on doit calculer l’aire entre une fonction et l’axe x dans un intervalle [a ;b] il faut s’assurer que la
fonction n’a pas de zéro entre a et b auquel cas il faut calculer plusieurs intégrales et les additionner
ex : prenons la fonction f(x) = x3 – 4x
en factorisant on a x(x - 2)(x + 2) donc les trois zéros sont –2 ; 0 ; +2
on cherche à calculer l’intégrale délimitée par les bornes –2 et +2 22 ( x3 4 x)dx
L’aire entre –2 et zéros sera
l’inverse de l’air entre 0 et +2
et donc elle vont s’annuler et
on trouvera une aire nulle, il
faut donc calculer
Intégrale de f(x)
4
3
02 f ( x)dx 02 f ( x)dx
2
pour trouver l’aire
-2
-3
-4
x
- 11/43 -
2
1.73
1.47
1.2
0.93
0.67
0.4
0.13
-0.1
-0.4
-0.7
-0.9
-1.2
-1.5
-1
f(x)
-1.7
0
-2
y
1
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
si on veut calculer l’air entre deux courbes f(x) et g(x) on soustrait les intégrales si elle sont les deux au
dessus ou au dessous de l’axe x et on les additionne si l’axe x est compris entre les deux fonctions.
Pour calculer l’air délimitée par une fonction et par l’axe y, on calcule l’intégrale de la réciproque de la
fonction en faisant bien attention de changer également les bornes (si les bornes étaient a et b, les
nouvelles bornes seront f(a) et f(b))
Avant de calculer une intégrale il est préférable de faire un graphique afin de mieux voir ce qu’il se
passe dans l’intervalle donné
Intégration par partie (maths renforcés) :
Formule : udv uv vdu (dv / du = dérivée de v / u)
Autre technique :
- changement de variable
- décomposition en élément simples :
......
...
...
...
x 4x x 2 x 2 x
3
Calcul de volumes :
Le volume délimité par une fonction en rotation autour de l’axe x (par exemple pour f(x) = 2x, cela
correspond à un cône de sommet 0 et dont la base est parrallèle à y)
V = ba f 2 ( x)dx
2.2
Logarythme et exponentielle :
Rappel sur les logarythmes :
ex : log 2 (8) = 3 car 23 = 8
donc log a x = n an = x
a est appelée base du logarythme pour changer de base :
log(x * y) = log(x) + log(y)
x
log = log(x) – log(y)
y
log(x a) = a log(x)
pour tout a dans R ( = a est un nombre)
changement de base :
log a (x) =
log( x) ln( x) log B ( x)
log(a) ln(a) log B (a)
ln(x) correspond en fait à log e (x)
- 12/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
Fonction logarythme naturel : R* R (donc ED = ]0 ;[)
1
Ln(x) = 1x dt
t
graphe de ln(x)
6
La fonction ln(x) est donc
4
une primitive de la
y
2
0
-2
ln(x)
0
20
40
60
80
fonction f(t) =
100
1
t
1
-4
La dérivée ln’(x) vaut
-6
1 1
car 1x dt
t x
'
x
Règles de calculs :
ln(x * y) = ln(x) + ln(y)
ln
x
= ln(x) – ln(y)
y
ln(x a) = a ln(x)
1
pour tout a dans R ( = a est un nombre)
fonction exponentielle : R R* (ED = R )
La fonction exp(x) ou ex est la fonction réciproque de ln(x)
le nombre e (=2.718…) est la préimage de 1 de la fonction ln(x) ( ln(e) = 1)
pour tout x >0
exp(ln(x))= x = ln(exp(x))
graphique de exp(x)
Règle de calcul :
ex * ey = e x+y
ex
e x y
ey
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
e
x
exp(x)
0
1
2
- 13/43 -
3
a
e x*a
1
x
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
la fonction ex est égale à sa dérivée et donc à sa primitive également
ex = ex = (ex)’
(Exemple d’applications) :
Si on cherche une fonction dont la dérivée vaut la fonction multipliée par un nombre a
f ‘ (x) = a * f(x)
alors il existe une constante c positive telle que f(x) = c * e a*x
2.3
Graphes de
1
, ln(f(x)) , exp(f(x)) (maths renforcés) :
f ( x)
Il faut en premier lieu étudier la fonction f(x) c’est à dire ses zéros, asymptotes, minimums, maximums,
points d’inflexions, sa courbure, sa croissance et son signe dans la mesure du possible mais surtout faire
un graphique de f(x)
a) g(x) =
1
f ( x)
Marche à suivre pour le
graphe de g(x) :
Graphe de 1/x
-6
-4
-2
10
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
-10
commencer par calculer les
points g(x) des min, max,
pts d’inflexion et trous de
f(x)
2
4
6
on repporte ces points sur
le graphe sauf les trous et
les zéros qui seront des
trous ( car sur le graphe 0
est un trou)
on calcule ensuite les asymptotes de g(x) pour les trous qu’on a trouvé tout en faisant bien attention que
si f(x) - g(x) <0
si f(x) + g(x) >0
si f(x) <0 g(x) -
si f(x) >0 g(x) +
on trouve ensuite (par calcul) le signe de g(x), le signe de g’(x) et même celui de g’’(x)
pour trouver la courbure et la croissance
mais lorsque f(x) n’est donné que par sont graphe il faut un peu d’instinct et une petite technique qui est
de se dire que
- 14/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
- lorsque f(x) croissante et négative, g(x) décroissante, négative et concave
- lorsque f(x) croissante et positive, g(x) décroissante, positive et convexe
- lorsque f(x) décroissante et négative, g(x) croissante, négative et concave
- lorsque f(x) décroissante et possitive, g(x) croissante, positive et convexe
ensuite pour être plus précis on peut lire le graphique de f(x) en le divisant en plusieur tranche et
regarder sur le graphe de 1/x à quoi ressemble la courbe pour ces valeurs
b) g(x) = ln(f(x))
le principe est le même qu’en a) seulement g(x) n’est définit que lorsque f(x)>0
on fait exactement la même chose seulement
si f(x) + g(x) +
si f(x) = 1 g(x) = 0
si f(x) >0 g(x) -
- lorsque f(x) croissante et positive (entre 0 et 1), g(x) croissante, négative et concave
- lorsque f(x) croissante et positive (entre 1 et ), g(x) croissante, positive et concave
- lorsque f(x) décroissante et positive (entre 0 et 1), g(x) décroissante, négative et concave
- lorsque f(x) décroissante et positive (entre 1 et ), g(x) décroissante, positive et concave
c) g(x) = exp(f(x))
le principe est le même qu’en, on fait exactement la même chose seulement :
si f(x) - g(x) >0
si f(x) = 0 g(x) = 1
si f(x) + g(x) +
- lorsque f(x) croissante, g(x) croissante, positive et concvexe
- lorsque f(x) décroissante, g(x) décroissante, positive et concvexe
seulement lorsque f(x) négative g(x) compris entre 0 et 1, croissance lente
lorsque f(x) positive g(x) compris entre 1 et + , croissance rapide (surtout à partir de 2)
2.4 Analyse combinatoire et probabilité :
Une combinaison est un chiffre qui appartient à R , alors qu’une probabilité est un chiffre compris entre
0 et 1 ou un pourcentage
Analyse combinatoire :
rappel : factorielle (= !). ex : 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1
//
n ! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * … * 2 * 1
En premier lieu il faut identifier le type de combinaison. Il peut s’agir :
1- d’un arrangement
2- d’une permutation
3- d’une combinaison
puis il faut déterminer si la combinaison est simple ou avec répétition.
- 15/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
1-a) Arrangements simple
un arrangement correspond au nombre de combinaisons différentes de p éléments pris parmis n éléments
au total
dans un arrangement l’ordre des p éléments compte (il n’y a pas plusieur fois le même ordre)
n!
= n * (n-1) * (n-2) * … * (n-p+1)
(n p )!
ex : Combien de grille de Tiercé différente peut-on remplir sachant que le Tiercé consiste à trouver dans
l’ordre les trois premier chevaux sur les quatorze qui participent.
on note cet arrangement Anp =
A143
14!
14*13*12 2184
11!
1-b) Arrangement avec répétition
C’est un arrangement où on cherche le nombre de combinaison différente de p éléments pris parmis n
élément où chaque objet de n peut être pris plusieur fois (au max. p fois).
on note A'np n p
ex : On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite. on obtient soit pile soit face, quel est le nombre de
séquence possible ?
A'52 25 32
2-a) Permutation simple
une permutation est un arrangement de n éléments pris parmis n éléments au total. C’est donc le nombre
de combinaison différente qu’on peut faire en permuttant n éléments
dans une permutation l’ordre des n éléments compte (toujours d’ordre différents)
on note cette permutation Pn Ann n !
ex : combien de mots différents peut-on écrire avec les lettres de M.A.T.H.S ?
p5 5! 5*4*3*2*1 120
2-b) Permutation avec répétition
une permutation est un arrangement de n éléments parmis n éléments au total, c’est le nombre de
combinaison différentes sachant que certains éléments au nombre de r sont semblable entre eux et ne se
distinguent pas les uns des autres. On peut aussi avoir plusieurs groupes r1, r2, r3 semblables entre eux
comme par ex, des boules de couleur avec trois couleurs différentes.
on note Pn (r )
Pn n !
Pr r !
ou avec plusieurs groupes Pn (r1 ; r2 ; r3 )
- 16/43 -
n!
r1 !* r2 !* r3 !
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
ex : combien de mots peut-on écrire avec les lettres du mot I.N.D.I.E.N ?
6!
P6 (2; 2)
= 180 (r1 et r2 correspondent aux répétition des lettres I. et N.)
2!* 2!
3-a) Combinaison simple
une combinaison est le nombre de possibilités de prendre p éléments parmis n éléments au total.
on ne tient donc pas compte de l’ordre ( 1 – 2 – 3 ; 2 – 3 – 1 ; 3 – 1 – 2 ne comptent que comme une
possibilité)
Anp
n!
on note cette combinaison C
n! p !*(n p)!
ex : combien de grille de lotto différente peut-on remplir sachant qu’au lotto il faut choisir six chiffres
parmis 45 chiffres.
p
n
6
C45
45!
45* 44* 43* 42* 41* 40
8'145'060
6!*39!
6*5* 4*3* 2*1
3-b) Combinaison avec répétition
une combinaison avec répétiton est une combinaison dans laquelle r éléments des n au total sont en tout
point semblable
on note C 'rn ( Cnr r 1 )
(n r 1)!
r !(n 1)!
ex : 100 personnes répondent à un questionnaire à choix multiple avec 1 question et trois réponses
possibles ?
C '3100
102!
171'700
3!*99!
Probabilités :
la probabilité qu’un événement A se produisent, est le nombre de cas favorable à A divisé par le nombre
de cas totaux. par exemple au lotto il y a une combinaison gagnante sur 8'145'060 combinaison possible
donc la probabilité de gagner est d’une sur 8'145'060. la probabilité du contraire de A (combinaison qui
ne comborte pas les 6 numéro vaut 1 – p(A) (probabilité que A se réalise). Le meilleur moyen est de
faire un arbre des cas posibles. appelons p(x) probabilité de x
exemple : René joue au échec avec Jean. Quand il joue avec les noir, il a 6 chances sur 10 de gagner
contre seulement 3 sur 10 avec les blancs. Il font un tournois de trois partie en tirant à pile ou face pour
savoir qui prend les blancs au début puis ils inversent à chaque partie.
fixons un code de lettre : R pour René // B pour blanc // N pour noir
G pour gagné // P pour perdu
faisont l’arbre des probabilité pour René
- 17/43 -
//
Simon Lussi 3M02
1ère partie
Résumé Maths
2ème partie
Gymnase de Nyon : examens 2003
3ème partie
B
G : 3/10
P : 7/10
N
G : 6/10
P : 4/10
B
G : 3/10
P : 7/10
N
G : 6/10
P : 4/10
B
G : 3/10
P : 7/10
N
G : 6/10
P : 4/10
½
R
½
donc p(N) = p(B) = ½ // p(BG) = 3/10 // p(BP) = 7/10 // p(NG) = 6/10 // p(NP) = 4/10
il faut que la somme sur chaque séparation de branches fasse 1 (ex : ½ + ½ = 1 // 3/10 + 7/10 = 1 …)
exemple de question : quelle est la probabilité que René gagne les 3 parties
on suit les branches favorable à l’hypothèse (3 parties gagnantes) en multipliant les probabilité et on
aditionne toutes les branches (ou chemin) favorable.
cas : BG – NG – BG (René commence avec les blanc) ou NG – BG – NG (il commence avec les noirs)
par cas, on pense branche (ou chemin) favorable à l’hypothèse
p(GGG) = p(NG ;NG ;BG) + p(BG ;NG ;BG)
p(NG ;NG ;BG) = p(N)*p(NG)*p(BG)*p(NG)
p(BG ;NG ;BG) = p(B)”p(BG)*p(NG)*p(BG)
p(GGG) =
1 6 3 6 1 3 6 3
+
2 10 10 10 2 10 10 10
exemple de question : quelle est la probabilité que Jean gagne au moins deux partie
attention pour utiliser notre arbre il faut calculer la probabilité que René perde au moins deux parties
cas : (NP – BP – NP) ou (BP – NP – BP) ou (NP – BP – NG) ou (BP – NP – BG) ou (NP – BG – NP) ou
(BP – NG – BP) ou (NG – BP – NP) ou (BG – NP – BP) ce qui nous fait un total de 8 cas.
a1- 1 fois R commence avec les blancs et perd 3 parties
a2- 1 fois R commence avec les noirs et perd 3 parties
b1- 1 fois R commence avec les blancs et gagne une partie où il joue avec les noirs (NG)
b2- 1 fois R commence avec les noirs et gagne une partie où il joue avec les blancs (BG)
b3- 2 fois R commence avec les blancs et gagne une partie où il joue avec les blancs (BG)
b4- 2 fois R commence avec les noirs et gagne une partie où il joue avec les noirs (NG)
a1 + a2 = p(PPP)
b1 + b2 + b3 + b4 = p(PPG)
p(GG) = p(PPP) + p(PPG)
1 7 4 7 1 4 7 4 1 7 6 7 1 4 3 4
1 7 3 4
1 4 6 7
2
2
=
= 0.577 = 57.7%
2 10 10 10 2 10 10 10 2 10 10 10 2 10 10 10
2 10 10 10
2 10 10 10
a1
a2
b1
b2
b3
b4
- 18/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
exemple d’exercice : quelle est la probabilité que René perde au moins une partie sachnt qu’il a
commencé avec les noirs ?
comme on sait qu’il a commencé avec les noirs, l’arbre pour cet exercice part du noir à la première
partie ce qui veut dire qu’on ne tient pas compte de la branche du haut ni du ½ au début. On veut la
probabilité quand René perd au moins une partie, c’est à dire 1 – la probabilité qu’il gagne 3 parties car
s’il n’en gagne pas 3, il en perd au moins une.
p(P|N) (=probabilité d’au moins un P sachant N) = 1
6 3 6
98
0.784 78.4%
10 10 10 125
exemple d’exercice : René à gagné trois parties quelle est la probabilité qu’il ait commencé avec
les noirs ?
pour trouver cette probabilité il faut calculer la probabilité qu’il gagne 3 parties en commençant avec les
noirs divisé par la probabilité qu’il gagne trois parties
p(NGGG|GGG) (=probabilité de 3 G avec N sachant 3G) =
1 6 3 6
2
2 10 10 10
0.6667 66.67%
1 6 3 6 1 3 6 3 3
2 10 10 10 2 10 10 10
2.4
Nombres complexes (maths renforcés) :
{a bi / a; b R}
z = a + bi
a = Re(z) = partie réelle de z
i2 = -1
(on utilise les nombres complexes car
b = Im(z) = partie imaginaire de z
1 n’existe pas dans
ADDITION :
(3 + 4i) + (17 – 5i) = 20 – i
SOUSTRACTION :
(3 + 4i) – (17 – 5i) = -14 + 9i
MULTIPLICATION :
(3 + 2i) (5 – 7i) = 15 + 10i –21i –14i2 = 29 – 11i (car i2 = -1)
IDENTITE :
(3 + 2i)2 = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i
(3 – 2i)2 = 9 – 12i – 4 = 5 – 12i
CONJUGE :
le conjugé se note a bi a bi
4 5i 4 5i
- 19/43 -
)
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
INVERSE :
1
i (car i2= -1 et i(-i) = 1)
i
1
1 a bi
a bi
a
b
1
2
2
i
2
2
a bi a bi a bi (a bi )(a bi ) a b a b
a bi
DIVISION :
c di c di a bi (c di )(a bi ) ac bd ad cb
c di
2
2
i
2
2
a bi a bi a bi (a bi )(a bi ) a b
a b
a bi
MODULE :
un module se note |a + bi| =
d’ailleur |i| =
a 2 b2
(analogie : norme d’un vecteur)
0 1 =1 donc i et 1 ont la même longeur ce qui nous amène au plan complexe
2
2
Ri axe
imaginaire
PLAN COMPLEXE :
z = a + bi
a + bi
b
|z|
R axe réel
a
FORME TRIGONOMETRIQUE :
on note cette forme [z ;
Ri axe
imaginaire
par trigo. on peut remettre sous la forme a + bi
bi = r sin i
donc [r ; ] = r (cos + i sin )
a = r cos
z
|z|=r
= argument de z
R axe réel
exemples :
1) Mettre sous la forme trigonométrique 3 + 4i
|3 + 4i | = 5
tan
= 4/3
= 53.13° 3 + 4i = [5 ; 53.13°]
2) Mettre sous la forme a + bi 2u(60°) (autre notation pour [2 ; 60°])
2u(60°) = 2cos60° + 2i sin60° = 1 +
]
3I
- 20/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
PROPRIETE DU CONJUGE :
z1 z2 z1 z2
z1 * z2 z1 * z2
z1 z1
z2 z2
RACINE CARREE :
a bi c di
(c + di)2 = a + bi
c2 + 2cdi – d2 = a + bi
c 2 d 2 a
……….
2cd b
a a 2 b 2
d
2
b
c
2
a a 2 b 2
2
FORMULE DE MOIVRE :
quand on multiplie deux nombres complexes, les modules se multiplient et les arguments s’aditionnent
z1*z2 = [r1*r2 ;
1+ 2]
]
zn= [ rn ; n
n
z n r;
n
exemple :
z 4 + 1 = 0 z 4 = -1
z=
4
1
z = -1 [1 ; 180° + k360°]
z = 4 1 [1 ; 45° + k90°]
2
2
i
2
2
2
2
i
z2 = cos135° + i sin135° =
2
2
2
2
i
z3 = cos 225° + i sin225° =
2
2
2
2
i
z4 = cos315° + i sin315° =
2
2
z1 = cos45° + i sin45° =
- 21/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
THEOREME FONDAMENTAL DE L’ALGEBRE :
Tout polynôme à coefficient réels se factorise en un produit de polynômes (réels) du premier ou du
second degré
Dans les nombres complexes, on peut factoriser le polynôme en facteurs du 1er degré.
Cette factorisation a l’allure suivante : P( x) ( x a)( x a)( x b)( x b)......( x c )( x d )
R R
2
si on effectue : ( x a)( x a) ( x (a a) x aa)
R
= | a |2 R
exemple : factoriser x5-1
cherchons les zéros de ce polynôme : x5 = 1 x = 5 1
1 : [1 ; 0° + k360°]
5
1 : [ 1 ; 0° + k72°] =
- 1
- cos72° + i sin72°
- cos144° + i sin144°
- cos216° + i sin216° = cos(-144°) + i sin(-144°)
- cos288° + i sin288° = cos(-72°) + i sin(-72°)
x5-1 = (x – 1) (x – (cos72° + i sin72°)) (x – (cos72° - i sin72°)) (x – (cos144° + i sin144°)) (x –
(cos144° - i sin144°))
x5-1 = (x – 1) (x2 – 2cos72°x + 1) (x2 – 2cos144°x + 1)
2.5
Interprétation géométrique des nombres complexes (maths renforcés) :
pour interpréter géométriquement des opérations de nombres complexes il faut regarder les modules et
les arguments. Les formules de moivre par exemple.
ADDITION TRANSLATION
SOUSTRACTION TRANSLATION
MULTIPLICATION ROTATION
MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE REEL
HOMOTHETIE
pour plus de détail : c.f. résumé de maths appliquée, chapitre : transformation de plan avec nb complexe
3. Géométrie vectorielle et analytique plane : Formulaire et Tables p. 29 à 32 et 35 à 54
3.1 Rappels de géométrie plane : Formulaire et Tables p. 35 à 47
notations :
A, B, C …
points
a, b, c …
droites
, , …
angles
( AB )
droite passant par A et B
δ(A, B) ou AB distance de A à B
[ AB ]
segment d’extrémités A et B
ABC
angle formé par [ AB ] et [ BC ]
- 22/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
si + = 90°, alors ces deux angle sont complémentaires
si + = 180°, alors ces deux angles sont supplémentaires
d
3
2
2’
3’
1’
4’
1
4
b
deux droites a et b parallèle et une droite d sécante
angles opposés : 1 et 2, 3 et 4, 1’et 2’, 3’et 4’
angles correspondants : 1 et 1’, 2 et 2’, 3 et 3’, 4 et 4’
a
angles alternes-internes : 1 et 2’, 3 et 4’
angles alternes-externes : 1’ et 2, 3’ et 4
angles isométriques : 1 = 2 = 1’ = 2’ / 3 = 4 = 3’ = 4’
3.2 La trigonométrie : Formulaire et Tables p. 29 à 32
quadrant II
quadrant I
1
quadrant I : 0° < α < 90°
cos α > 0
sin α > 0
tan α > 0
quadrant II : 90° < α < 180°
cos α < 0
sin α > 0
tan α > 0
tanα
α
sinα
quadrant III : 180° < α < 270°
cos α < 0
sin α < 0
tan α < 0
1
cosα
quadrant IV : 270° < α < 360°
cos α > 0
sin α < 0
tan α < 0
quadrant III
quadrant IV
2 angles qui ont le même sinus sont égaux ou supplémentaires
2 angles qui ont le même cosinus sont égaux ou opposés
2 angles qui ont la même tangente sont égaux ou diffèrent de 180°
la période :
Représentation graphique de sin / cos
cos(x) : 360°
3
sin(x) : 360°
2
cos(x+90°) : 360°
1
0
-6
-4
-2
0
2
4
-1
-2
-3
- 23/43 -
6
COS(X)
SIN(X)
COS(X+90°)
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
graphe de tan(x)
période :
7
tan(x) : 180°
5
3
1
-6
-4
-1
-2
0
2
4
6
-3
-5
-7
Trigonométrie dans un triangle quelconque :
α
a
b
c
2r
sin sin sin
où r est le rayon du cercle circonscrit au triangle
Théorème du sinus :
Théorème du cosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
ou
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
ou
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
Théorème de l’aire : aire
= ½ b c sin α
γ
= ½ a c sin β
c
b
a
β
= ½ a b sin γ
3.3 Mesure des angles en radians :
la mesure d’un angle α en radians correspond à la « portion » du périmètre d’un cercle de rayon 1 que
cet angle représenterai. Par exemple si α vaut 90° alors α en radians vaudrait ¼ du périmètre de ce
cercle. Le périmètre vaut 2π et donc 90° = π/2
si x est α en degrés alors α en radians est (π x)/180
3.4 Géométrie vectorielle plane : Formulaire et Tables p. 47 à 50
On note π l’ensemble des points du plan
l’ensemble des vecteurs du plan est appelé plan vectoriel et se note V2
si AB CD alors AC BD
vecteur nul : si AB = 0
A=B
la norme d’un vecteur c’est la longueur de ce dernier : || AB || = δ( A, B)
- 24/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
a
rappel : soit u alors u a 2 b 2
b
L’addition est commutative dans le plan vectoriel
Multiplication d’un vecteur par un nombre réel n :
nu nu n * u
Combinaison linéaire et colinéarité :
c est une combinaison linéaire des vecteurs a et b de coefficients α et β, alors c = α a + β b
comme c est une combinaison linéaire de a et b , ces trois vecteur sont linéairement dépendants.
Si il n’existe aucun α et β pour satisfaire cette équation, c’est que les trois vecteur sont linéairement
indépendants.
2 vecteurs sont colinéaires si l’un est le produit de l’autre par un nombre réel ( b = α a )
ces deux vecteurs sont donc linéairement dépendant.
Droite vectorielle :
Soit d un vecteur (de V2). l’ensemble des vecteurs colinéaires à d forment une droite vectorielle de
vecteur directeur d que l’on note Δ( d ) ( = { λ d | λ } )
Bases de V2 :
une base (de V2) est un couple de vecteur linéairement indépendants
tous les vecteur de V2 sont des combinaisons linéaires des vecteurs de la base
1
e1 =
0
Base de V2 = ( e1 ; e2 )
0
e2 = (= base canonique)
1
Composantes d’un vecteur :
Soit ( e1 ; e2 ) une base de V2
tout vecteur u s’écrit de manière unique : u e1 e2
u
et sont les composantes de u dans la base ( e1; e2 ).
opération sur les composantes
u1 v1
uv
u2 v2
3.5
u1
u2
u
Géométrie analytique plane :
(O ; E1 ; E2), un triplet de trois points non-alignés est appelé repère du plan
- 25/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
coordonées d’un point :
x
M(x ; y) OM
y
A(a1 ; a2)
B(b1 ; b2)
b1 a1
( = OB OA )
AB
b
a
2 2
milieu d’un segment :
1
a b a b
M 1 1 ; 2 2 ( OM OA OB )
2
2
2
centre de gravité d’un triangle :
1
a b c a b c
G 1 1 1; 2 2 2
( OG OA OB OC )
3
3
3
le centre de gravité d’un triangle se trouve à l’intersection des médianes du triangle
équation paramétrique d’une droite :
une droite est définie par un point (qui appartient à la droite) et sa direction ou son vecteur directeur
d(A, d ) ou d(A, AB )
x a d x a1 k * d1
d : 1 k 1
y a2 d2 y a2 k * d 2
d1
d
d2
pente de la droite : m
d2
d1
pente de la normale à la droite : mN
d1
d2
normale à la droite = perpendiculaire à la droite
équation cartésienne d’une droite
une droite est l’ensemble des points qui satisfont l’équation ax + by + c = 0 (a et b non nuls)
b
a
cette droite a pour vecteur directeur d et pour pente m
b
a
b
pente de la normale mN
a
équation cartésienne donnée par un point et une direction
d1
A(a1 ;a2)
et
d
d2
x a1 y a2
- si d1 et d2 sont différents de zéro :
d1
d2
- si d1 = 0 : x a1
(droite verticale)
- si d2 = 0 : y a2
(droite horizontale)
position relative de deux droites données par leurs équations paramétriques :
deux droites (AB) et (CD)
- 26/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
x a1 b1 a1
k
y a2 b2 a2
et
Gymnase de Nyon : examens 2003
x c1 d1 c1
k
y c2 d 2 c2
ces droites sont parallèles si AB et CD sont colinéaires et elles sont confondues si AC est aussi
colinéaire
position relative de deux droites données par leurs équations cartésiennes :
deux droites
a1x + b1y + c1 = 0
et
a2x + b2y + c2 = 0
ces deux droites sont paralléles si (a1 ; b1) = (k*a2 ; k*b2)
si d1
d2 (= colinéaires)
b b
si 1 2 (s’ils sont colinéaires)
a1 a2
3.6
Produit scalaire dans le plan :
verteur unitaire, repères et bases orthonormés :
u est vecteur unitaire si u 1
le repère (O ; I ; J) est orthonormé si OI OJ 1 et si OI et OJ sont perpendiculaires
si (O ; I ; J) est un repère orthonormé, alors ( i ; j ) est une base orthonormée
i OI et j OJ
norme :
u u12 u2 2
par pythagore si AB et AC sont perpendiculaires
2
2
BC AB AC
AB
2
b1 a1 b2 a2
2
2
A
les vecteurs 1 et 2 sont orthogonaux
2 1
produit scalaire :
2
2
2
1
ab a b )
2
a et b sont orthogonaux (perpendiculaires) si a b 0
a b a1b1 a2b2
(
B
C
projection orthogonale d’un vecteur :
soit une base ( i ; j ) et un vecteur a
on fait une projection orthogonale de a sur OI
- 27/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
a
a
1
on sait que a i a ' i car i ; a 1 ; a ' 1
0
0
a2
a
OI
a'
a'
a i
i
2
Gymnase de Nyon : examens 2003
a'
ai
i
i
forme trigonométrique du produit scalaire :
( est l’angle formé par ces deux vecteur)
a b a * b *cos
3.7
Géométrie analytique plane, questions métriques :
angle entre deux droites de vecteurs directeurs d1 et d 2 :
cos
d1 d 2
droites perpendiculaires : d1 d2 = 0
d1 * d 2
ou m1m2 = -1
vecteur normal :
on note n le vecteur directeur de la perpendiculaire à une droite de vecteur directeur d .
n est le vecteur normal à d
d1
d 2
d , n
n d 0 si
d2
d1
a
n est le vecteur normal à la droite d’équation cartésienne : ax + by + c = 0
b
angle (orienté) entre deux droites :
soit deux droites de pentes m1 et m2
m m1
tan 2
1 m1m2
distance d’un point à une droite :
on a un point P et une droite définie par un de ses point A et son vecteur normal n
( P, d )
AP n
n
distance (de, à)
ou analytiquement, on a le point P(x0 ;y0) et la droite d : ax + by + c = 0
ax by0 c
( P, d ) 0
a 2 b2
- 28/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
bissectrice de deux droites :
Les deux droites d’équation a1x + b1y + c1 = 0 et a2x + b2y + c2 = 0 ont pour bissectrices (intérieures et
extérieures) les droites d’équations :
a1 x b1 y c1
a b
2
1
2
1
a2 x b2 y c2
a2 2 b2 2
cercles :
cercle de centre C et de rayon r est définit comme l’ensemble des points M tels que (C , M ) r
CM r M
équation : (x – c1) 2 + (y – c2) 2 – r 2 = 0
c1 et c2 sont les coordonnées du centre
c’est la forme canonique, mais on peut aussi écrire : ax2 + ay2 + 2bx + 2dy + e = 0
exemple : mettre sous la forme canonique 2x2 + 2y2 – 20x + 12y +36 = 0
on divise par 2 et on groupe : x2 – 10x + y2 + 6x + 18 = 0
(18 = 25 + 9 –16)
(x2 – 10x + 25) + (y2 + 6y + 9) – 16 = 0
(x – 5)2 + (y + 3)2 – 16 = 0
tangente à un cercle :
pour trouver la tangente t à un cercle passant par un point P(x0 ;y0)
pour ça, on utilise le dédoublement :
-
si : (x – c1)2 + (y – c2)2 – r 2 = 0, alors t : (x0 – c1) (x – c1) + (y0 – c2) (y – c2) – r 2 = 0
si : ax2 + ay2 + 2bx + 2dy + e = 0, alors t : ax0x + ay0y + b(x0 + x) + d(y0 + y) + e = 0
dédoublement : ax2 ax0x
//
(x – c)2 (x0 – c) (x – c)
//
x
x0 x
2
A quoi correspond la droite t ?
si P appartient au cercle, l’équation est celle de la tangente t au cercle
passant par P
P
t
____________________________________________
si P n’appartient pas au cercle, l’équation obtenue est celle de la polaire p
au cercle par rapport à P
T1
t1
t2
p
P
la polaire est une droite qui intercepte le cercle en T 1 et T2. ces deux points sont les
points de tangence des tangente au cercle t1 et t2 issues de P
T2
- 29/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
4. Géométrie vectorielle et analytique de l’espace :
-
on appelle coplanaire, deux figures contenues dans le même plan
on appelle gauche deux droite qui ne sont pas coplanaire
on appelle angles entre deux droites, les angle formé par une droite et la parrallèle à une autre
droite passant par un point de la première
si deux points d’une droites appartiennent à un plan, la droite appartient au plan
3 points non alignés ou deux droites non gauches et non confondues, définissent un plan
Soit une droite a dans un plan et une droite b dans un plan . L’intersection de a et b se
trouve sur la droite d’intersection de et
une droite parallèle à deux plan est parallèle à la droite d’intersection des deux plan
4.1 Géométrie vectorielle de l’espace :
l’espace vectoriel à trois dimension se note V3
deux vecteur AB et CD sont équipollents et se notent (AB)
le même milieu.
(CD), si les segments [AD] et [BC] ont
deux vecteurs équipollents ont la même norme, la même direction et le même sens.
si (AB) (CD)
AB CD
Opérations sur les vecteurs, combinaison linéaire, colinéarité, droite vectorielle : c.f : 3.4
dépendance et indépendance linéaire :
un groupe de vecteurs est linéairement dépendant si l’un d’entre eux au moins est une combinaison
linéaire des autres. Sinon ils sont linéairement indépendant
a , b et c sont linéairement indépendant que si, lorsque le vecteur nul est écrit comme une combinaison
linéaire de ces trois vecteur (comme ci-dessous), les coefficient , et sont égal à zéro.
a b c 0
0
et s’il existe ; ; 0;0;0 , a , b et c sont linéairement dépendant
vecteurs coplanaires :
trois vecteur sont coplanaires si l’un d’entre eux au moins est une combinaison linéaire des deux autres
plan vectoriel :
soit u et v deux vecteurs non colinéaires. on appelle plan vectoriel de vecteurs directeurs u et v ,
l’ensemble des vecteurs coplanaires à u et v
on note ce plan (u; v )
l’intersection de deux plans vectoriels est une droite vectorielle
Base de V3
une base de V3 est un triplet de vecteurs linéairement indépendants
une base de V3 est donc un triplet de vecteurs ( e1 ; e2 ; e3 ) non coplanaires
- 30/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
si ( e1 ; e2 ; e3 ) est une base de V3, alors tout vecteur u (de V3) est une combinaison linéaire unique :
u , et sont les composantes de u
u e1 e2 e3
4.2 L’espace affine (géométrie analytique de l’espace) :
on appelle un repère tout quadruplet de points (O ;E1 ;E2 ;E3) non coplanaires
on note la base OE1; OE2 ; OE3 e1 ; e2 ; e3
les coordonnées d’un point M(x ;y ;z) sont appellés abscisse, ordonnée et cote
x
M ( x; y; z ) OM y
z
composantes d’un vecteur :
b1 a1
AB b2 a2
b a
3 3
milieu d’un segement :
1
a b a b a b
M 1 1; 2 2 ; 3 3
( OM OA OB )
2
2
2
2
centre de gravité d’un triangle :
1
a b a b a b
G 1 1; 2 2 ; 3 3
( OG OA OB OC )
3
3
3
3
droites :
une droite peut être déterminée, soit par une point A et un vecteur d , soit par deux points A et B et donc
le vecteur directeur AB
équation paramétrique d’une droite :
d1
soit la droite d = (A ; d ) d passe par A(a1 ;a2 ;a3) et son vecteur directeur est d d 2
d
3
d1
x a1
où k R
( OM OA kd
où M d)
y a2 k d 2
z a
d
3
3
x a1 kd1
y a2 kd 2
z a kd
3
3
équation cartésienne d’une droite :
d1
soit la droite d = (A ; d ) d passe par A(a1 ;a2 ;a3) et son vecteur directeur est d d 2
d
3
- 31/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
x a1 y a2 z a3
dans le cas où d1, d2 et d3 sont différents de zéro
d1
d2
d3
plans :
quatre points A, B, C et D ne sont coplanaire que si AB, AC et AD sont coplanaire
( que si il existe ; ; 0;0;0 tel que AB AC AD 0 )
un plan peut être déterminé, soit par un point A et deux vecteurs non colinéaires u et v , soit par
trois points ABC non alignés (on a donc les deux vecteurs non colinéaires AB et BC )
équation paramétrique d’un plan :
soit un plan A; u; v
u1 v1
x a1 k * u1 n * v1
x a1
y a2 k u2 n v2 y a2 k * u2 n * v2 où k et n
z a
u v
3
3 3
z a3 k * u3 n * v3
( OM OA ku nv où M d)
équation cartésienne d’un plan :
Soit un plan , l’ensemble des points M(x ;y ;z) qui satisfont l’équation : ax + by + cz + d = 0 tel que a,
b et c soit différents de 0
position relative de deux droites :
soit deux droites d1(A1 ; d1 ) et d2(A2 ; d 2 )
si les vecteurs A1 A2 , d1 et d 2 sont linéairement dépendants, alors les droites d1 et d2 sont coplanaires,
sinon elles sont gauches. si elle sont coplanaire et que d1 et d 2 sont colinéaire alors elles sont parallèles,
sinon elles sont sécantes.
position relative d’une droite et d’un plan :
soit la droite d(A ; d ) et le plan B; u; v
si les vecteurs d , u et v sont linéairement dépendants d et sont parallèles, sinon ils sont sécants
position relative de deux plans :
soit les plans 1 A1 ; u1 ; v1 et 2 A2 ; u2 ; v2
si u1 , v1 et u2 ET QUE u1 , v1 et v2 sont (par trois) linéairement dépendants, alors les plans 1 et 2
sont parallèles, sinon ils sont séquents
4.3
Produits scalaires, vectoriels et mixtes dans l’espace :
si a n’est pas un vecteur unitaire, alors a '
1
a est unitaire
a
repère et base orthonormés :
OI OJ OK 1
(OI ) (OJ )
Un repère (O ;I ;J ;K) est orthonormé si :
(OI ) (OK )
(OJ ) (OK )
- 32/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
i; j; k OI ; OJ ; OK est une base orthonormée si le repère (O ;I ;J ;K) est orthonormé.
norme d’un vecteur :
u u12 u2 2 u32
distance entre deux points :
la longeur d’un segment [AB] se note ( A, B) AB
b1 a1 b2 a2 b3 a3
2
2
2
orthogonalité de deux vecteurs :
deux vecteurs a et b sont orthogonaux si tout deux sont différents de zéros et s’il sont perpendiculaire
a et b sont orthogonaux si a b 0
produit scalaire :
a b (a1 * b1 ) (a2 * b2 ) (a3 * b3 )
(
2
2
1
ab a b
2
2
)
a b c a b a c
forme trigonométrique : a b a * b *cos
-
est l’angle entre les deux vecteurs ( AOB )
deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
une droite et un plan sont orthogonaux que si le vecteur directeur de la droite est orthogonal aux
deux vecteurs directeurs du plan
produit vectoriel :
soit deux vecteurs a et b . le produit vectoriel de ces deux vecteurs se note a b
a b a2b3 a3b2 i a3b1 a1b3 j a1b2 a2b1 k
a1 b1 a2b3 a3b2
a2 b2 a3b1 a1b3
a b a b a b
3 3 1 2 2 1
si a b = 0 , a et b sont linéairement dépendants (dans ce cas colinéaires)
( ab a ab b 0
a b est orthogonal à a et à b )
interprétation géométrique du produit vectoriel :
a b est le vecteur dont :
- la direction est orthogonale au plan formé par les vecteurs a et b
ab
- la norme est égale à l’air du parallèlogramme construit par les
b
vecteurs a et b
a
- ( a ; b ; a b ) est une base
- 33/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
le produit vectoriel de deux vecteur nous permet de trouver l’équation cartésienne du plan formé par ces
deux vecteurs
1
2
Exemple : trouver l’équation cartésienne du plan passant par A(1 ;2 ;3) de vecteurs a 3 et b 4
5
1
1 2 17
on calcule a b : 3 4 9 le plan a pour équation -17x +9y –2z +d = 0
5 1 2
A(1 ;2 ;3) appartient au plan -17(1) +9(2) –2(3) +d = 0 d = 5
l’équation cartésienne du plan est -17x +9y –2z +5 = 0
produit mixte :
on appelle produit mixte des vecteurs a , b et c que l’on note [ a ; b ; c ] le nombre définit par
[ a ; b ; c ] = a (b c )
le produit mixte (sa valeur absolue) est l’aire du parallèlipipède construit par les trois vecteurs a , b et c
(deux vecteurs sont deux des côtés de la base (la base est un parallèlogramme) et l’autre est la hauteur)
4.4
Géométrie analytique de l’espace, questions métriques :
dans ce chapitre on utilise l’équation cartésienne des plans
on appelle vecteur normal à un plan tout vecteur non nul n orthogonal à deux vecteur de ce plan.
an
n bn an x bn y cn z d
c
n
point définit par un vecteur normal à un plan :
voir exemple 4.3 à la page 34 : n a b
position relative de deux plans :
deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires
pour voir s’ils sont confondus, on peut regarder si d1 et d2 dans les équations des plans sont
proportionnels avec le même coéfficient que a1 et a2 ou on prend un point d’un plan et on essaye de
remplacer les trois inconnues dans l’autre équation. Si c’est le cas ou que ça joue, les deux plans sont
confondus.
plans perpendiculaires :
deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
droite et plan perendiculaires :
une droite et un plan sont perpendiculaire que si le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal au
plan sont colinéaires
- 34/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
intersection de deux plans :
deux plans sécants de vecteurs normaux n1 et n2 . Le vecteur n1 n2 est le vecteur directeur de la droite
d’intersection des deux plans
distance d’un point à une droite :
un point P et une droite d définie par un point A et un vecteur d
AP d
( P, d )
d
distance de deux droites non parallèles :
une droite d1 passant par A1 de vecteur d1 et une droite d2 passant par A2 de vecteur d 2
d1; d 2 ; A1 A2
( P, d )
d1 d 2
distance d’un point à un plan :
un point P et un plan défini par un point A et son vecteur normal
AP n
aP bP2 cP3 d
( P, )
1
n
a 2 b2 c2
plan bissecteur de deux plan :
deux plans sécants ont pour plans bissecteurs les plans d’équations :
a1 x b1 y c1 z d1
a x b2 y c2 z d 2
2
2
2
2
a1 b1 c1
a2 2 b2 2 c2 2
angles de deux droites :
soit deux droites de vecteurs directeurs d1 et d 2 . est 180°- sont les angles formés par ces deux
droites
d1 d 2
cos
d1 d 2
angle de deux plans :
soit deux plan de vecteurs normaux n1 et n2 est 180°- sont les angles formés par ces deux plans
cos
n1 n2
n1 n2
sphère :
une sphère de centre C(c1 ;c2 ;c3) et de rayon r est définie par l’équation :
(x-c1) 2 + (y-c2) 2 + (z-c3) 2 – r 2 = 0
plan tangent à une sphère
soit un cercle de centre C et de rayon r, le plan t tangent au cercle, le point T de tangence, et le point P
qui appartient au plan tangent.
si p appartient à t
CT TP 0 et CT CP r 2
plan tangent à une sphère en un point P :
si P appartient à la sphère. l’équation du plan tangent à la sphère en P sera :
(x-c1)(p1-c1) + (y-c2)(p2-c2) + (z-c3)(p3-c3) – r 2 = 0
- 35/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
plan polaire à une sphère par rapport à un point P :
si P n’appartient pas à la sphère, l’équation (x-c1)(p1-c1) + (y-c2)(p2-c2) + (z-c3)(p3-c3) – r 2 = 0 est celle
du plan polaire à la sphère. ça signifie que l’intersection de ce plan avec la sphère donne tous les points
de tangence des plans tangents à la sphère passant par le point P.
4.5
Coniques (maths renforcés):
l’ellipse :
B
A’
a
b
F’
c
F
0
A
M
soit M un point sur l’ellipse. la somme des distances de M aux
deux foyers F et F’ est toujours égale à 2a. Donc l’ellipse est
l’ensemble des points M tel que ( M ; F ) ( M ; F ') 2a
une éllipse a toujours un petit axe et un grand axe (axe focal)
de symétrie
BF BF ' OA OA ' a
OB b
a2 = b2 + c2
OF OF ' c
équation d’une ellipse de centre C:
( x c1 )2 ( y c2 )2
1 0 si l’axe focal est horizontal
a2
b2
( x c1 )2 ( y c2 )2
1 0 si l’axe focal est vertical
b2
a2
c
excentricité : e
a
l’hyperbole :
F’
soit M un point sur l’hyperbole. la différence des distances de M aux deux
foyers F et F’ (ou du moins la valeur absolue de cette différence) est
toujours égale à 2a. Donc l’hyperbole est l’ensemble des points M tel que
(M ; F ) (M ; F ') 2a
c b
A’
0
a
A
F
une hyperbole a toujours un petit axe et un grand axe (axe focal) de symétrie
M
OA OA ' a
a2 + b2 = c2
OF OF ' c
équation d’une hyperbole de centre C :
( x c1 )2 ( y c2 ) 2
1 0 si le grand axe est horizontal
a2
b2
- 36/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
( y c2 )2 ( x c1 ) 2
1 0 si le grand axe est vertical
a2
b2
c
excentricité : e
a
b
x (hyperbole de centre 0)
a
hyperbole rapportée à ses asymptote : on prend un nouveau repère de telle sorte que les deux vecteurs de
base soient sur les asymptotes (de norme 1 base orthonormée)
c2
l’équation de l’hyperbole relativement à cette nouvelle base est xy = k où k =
4
la parabole :
asymptote oblique : y
M
d
soit M un point sur la parabole. la distance de M au foyer F est
toujours égale à la distance de M à la droite d. Donc l’ellipse est
l’ensemble des points M tel que M ; F M ; d
l’axe de symétrie de la parabole est l’axe focal
0
F
OF O; d
p
2
équation d’une parabole de sommet C :
2
y c2 2 p( x c1 )
exentricité :
l’exentricité d’une parabole est 1
tangente à une conique :
pour faire la tangente à une conique, on utilise le dédoublement et on trouve l’équation de la tengante si
le point P (utilisé pour le dédoublement) se trouve sur la conique, et l’équation de la polaire si le point P
n’appartient pas à la conique. (c.f : 3.7)
propriété : pour la parabole une rayon qui arrive parallèlement à l’axe focal est toujours réfléchi en
passant par le Foyer. pour l’éllipse et l’hyperbole, un rayon qui passe par un foyer et toujours réfléchi en
passant par l’autre foyer.
5. Algèbre linéaire (maths renforcés) :
5.1
Espace et sous-espace vectoriels :
espaces vectoriels :
définition :
un espace vectoriel a une loi de composition interne qu’on note (E ;+) ou (E ;*). ça signifie que
- 37/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
v w E
v, w E
où E est l’espace vectoriel
v * w E
v, w E
où E est l’espace vectoriel
Gymnase de Nyon : examens 2003
ou
un espace vectoriel a un élément neutre. par exemple
0+v=v
ou
1*v = v
la soustraction et la division ne sont pas des groupes car ne sont pas associatifs.
… (peu d’importance car on utilise majoritairement les sous-espace vectoriels)…
propriétés :
quels que soient le vecteur u de E et le réel , on a :
- *0 = 0
- 0*u = 0
- *u = 0 (si = 0 ou u = 0)
- (- )u = (-u) = -( u)
sous-espaces vectoriels :
définition :
F est un sous-espace vectoriel de E si F appartient à E et si F est un espace vectoriel
propriétés :
quels que soient les réels et , et les vecteurs v et w de F, si v + w appartient à F, alors c’est un
espace vectoriel. si v et w appartiennent à E (donc v + wappartient à E), et que f(v) + f(w) alors F
est un sous-espace vectoriel de E
si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E, alors F G est un sous-espace de E
combinaison linéaire :
w est une combinaison linéaire des vecteurs v1, v2 et v3
si w = 1v1 + 2v2 + 3v3
les i sont les coéfficients de la combinaison linéaire.
ex : 5 + 3x – x2 est une combinaison linéaire de 1, x et x2 et de coéfficients 5, 3 et 1
dépandence linéaire : c.f : 4.1
famille libre, liée et génératrice:
une famille libre est une famille de vecteurs linéairement indépendant
une famille liée est une famille de vecteurs linéairement dépendant
une famille génératrice d’un espace vectoriel E est une famille de vecteur de E qui engendrent E (c’està-dire que tout vecteur de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire de la famille génératrice)
base et dimension :
une famille de vecteurs est une base de F si et seulement si c’est une famille libre et génératrice de F
la dimension de E notée dim(E) est donnée par le nombre de vecteur d’une base de E
un espace vectoriel de dimention 1 est une droite vectorielle qu’on note (u) (= droite de vecteur
directeur u) ou u en est la base.
un espace vectoriel de dimention 2 est un plan vectoriel, si (u ;v) et est une base, on le note [u ;v]
(= plan de vecteurs directeurs u et v)
- 38/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
somme et somme directe :
soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E
F + G = {v + w | v F et w G}
somme directe : si on peut faire une somme directe de F et G, c’est qu’ils sont supplémentaires dans le
cas où pour chaque élément u de E, il n’y a que deux vecteurs v et w tels que u = v + w et donc
E = F G ( = somme directe)
dans ce cas F G = {0}
dim(F+G) = dim(F) + dim(G) – dim(F G)
dim(F G) = dim(F) + dim(G) = dim E
5.2
si F et G sont supplémentaires uniquement
Applications linéaires et Matrices associées :
définition :
Soit E et F deux espaces vectoriels.
on appelle application linéaire de E vers F toute application h telle que :
- h(u + v) = h(u) + h(v)
- h(u) = h(u)
quels que soient les éléments u et v de E et le réel
h est aussi appellé un homomorphisme
h(u + v) = h(u) + h(v)
h(0E) = 0F
h(-u) = -h(u)
propriété :
n
n
h i vi i h(vi ) ce qui signifie que l’image (par une application linéaire h) d’une combinaison
i 1
i 1
linéaire des vecteurs v1, v2 … vn de coefficient 1, 2 … n est une combinaison linéaires des images
des vecteurs v1, v2 … vn de coefficient 1, 2 … n
soit une application linéaire h de E vers F, si et seulement si l’image par h d’une base de E est une base
de F, alors h est bijective (une application linéaire bijective est appellée isomorphisme)
soit E et F, deux espaces vectoriels. E et F sont isomorphe si et seulement si dim(E) = dim(F)
image d’une application linéaire :
si A est un sous-espace vectoriel de E, alors h(A) est un sous-espace vectoriel de F
soit une application linéaire h de E vers F. on appelle image de h que l’on note Im(h). l’ensemble
{h(x) | x E}
Im(h) = h(E)
Im(h) est un sous-espace vectoriel de F
L’image par h d’une famille liée est une famille liée alors que l’image d’une famille libre n’est pas
forcément une famille libre.
- 39/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
le noyau d’une application linéaire :
soit une application linéaire h de E vers F. on appelle noyau de h que l’on note Ker(h). l’ensemble
{x E | h(x) = 0F}
Ker(h) = r h({0F})
Ker(h) est un sous-espace vectoriel de E
L’image par h d’une famille liée est une famille liée alors que l’image d’une famille libre n’est pas
forcément une famille libre.
bijection d’une apllication linéaire :
soit une application linéaire h de E vers F.
h est injective si et seulement si Ker(h) = 0 (0E)
h est surjective si et seulement si Im(h) = F
h est bijective si et seulement si elle est injective et surjective
dim(E) = dim(Ker(h)) + dim(Im(h))
si E et F sont de même dimension, si h est injective ou surjective elle est forcément bijective.
on appelle rang de h, la dimension de l’image de h
matrices :
on appelle matrice de type n p une matrice à n lignes et p colonnes
a11
a1 p
A
dont les coefficients aij sont des nb réels
an1
anp
on peut noter A = (aij)
soit A = (aij) une matrice de type n p. on appelle transposée de A que l’on note t A la matrice cij de
type p n définie par cij = aji
soit A = (aij) et B = (bij), deux matrice de type n p
la somme de A et B donne la matrice A+B = (aij + bij)
le produit de A par un réel donne la matrice A = (aij)
produit de deux matrice :
on ne peut faire le produit de deux matrice que si le nombre de colonnes de la première est égal au
nombre de lignes de la deuxième. exemple : AB existe lorsque A de type n p et B de type p m
AB est alors une matrice de type n m
soit AB = (cik)
p
cik aij b jk c’est donc le produit de la i ème ligne de A par la k ème colonne de B
j 1
le produit de deux matrice n’est pas commutatif
A(BC) = (AB)C
A(B+C) = AB + AC
t
(A+B) = t A + t B
t
(AB) = tB tA
- 40/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
matrice associée à une application linéaire :
soit h une application linéaire de E vers F
soit [e1 ; e2 ; … ; ep] une base de E et [f1 ; f2 ; … ; fn] une base de F ( dim(E) = p & dim(F) = n)
on note A la matrice de h de type n p. A = (aij) = h(eij) (c’est-à-dire la i ème composante de ej)
donc la j ème colonne de la matrice A est égale à l’image du j ème vecteur de la base de E (=h(ej))
n
h(e j ) aij f i
i 1
soit le vecteur Y (appartenant à F) qui est l’image par h d’un vecteur X (appartenant à E). soit A la
matrice de h. alors Y = AX ou plus exactement
a1 p x1
y1 a11
y a
a
np xn
n n1
soit H la matrice de h et G la matrice de g. la matrice de h + g est la matrice H+G
le rang d’une matrice et donc de l’application linéaire associée est la dimension de l’espace engendré par
les vecteur en colonnes de la matrice
on appelle endomorphisme de E toute application linéaire de E vers E.
un endomorphisme bijectif de E est appelé automorphisme de E
une matrice de type n n est appellée matrice carrée d’ordre n
Soit h un endomorphisme de E et de matrice H. H est une matrice carée d’ordre Dim(E)
1 2
= matrice triangulaire supérieure
0 3
1 0
= matrice triangulaire inférieure
2 3
1 0
= matrice diagonale
0 3
2 0
= matrice scalaire
0 2
1 0
= matrice unité / matrice identité (notée In dans cet exemple : I2)
0 1
5.3
Déterminant et inverse d’une matrice
déterminant d’ordre 2 :
a
a
a
le déterminant de la matrice A = 11 12 est le nombre qu’on note 11
a21
a21 a22
a11a22 a12 a21 = Det(A)
- 41/43 -
a12
a22
et qui vaut
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
déterminant d’ordre 3 :
a11 a12
le déterminanat de la matrice A = a21 a22
a
31 a32
a13
a11 a12
est le nombre qu’on note
a23
a21 a22
a33
a31 a32
a13
a23 et qui vaut
a33
a22 a23
a
a13
a
a13
a21 12
a31 12
a32 a33
a32 a33
a22 a23
en fait on prend dans la première colonne les mineurs ou indices et on les multiplie par leurs cofacteurs
a
a23
exemple : le cofacteur de a11 est 22
c’est-à-dire a22 a33 a23a32
a32 a33
déterminant d’ordre n :
(si on calcule le déterminant selon la première colonne) a11
n
voici la définition algébrique du déterminant : Det(A) =
(1)
k j
k 1
akj Det ( Akj ) en fait on prend les
indices dans la j ème colonne donc les indice sont (1)k j akj (le signe dépend de la ligne et de la colonne)
et son cofacteur ( Akj )
propriétés :
Det(In) = 1
Det(A) = nDet(A)
Det(tA) = Det(A)
où n est l’ordre de la matrice (son nombre de ligne et colonne)
si A est une matrice triangulaire ou diagonale alors Det(A) = a11a22 a33 ...ann
Det(AB) = Det(A) Det(B)
le déterminant ne change pas lorsqu’on ajoute à une colonne (ou une ligne) une autre colonne (ou ligne)
c’est très utile si on veut faire apparaître des zéros dans les indices
inversion d’une matrice :
A est inversible s’il existe une matrice B telle que AB = BA = In
sont deux matrice carrée de même ordre) B est alors notée A-1
B est alors l’inverse de A (A et B
A est inversible si et seulement si Det(A) 0
1
Det ( A)
t
si A est inversible, alors A est inversible et (tA)-1 = t(A-1)
si A est inversible, alors Det(A-1) =
1
ij
A
1
Det ( A)
t
1
i j
Det ( Aij )
où 1
i j
Det ( Aij ) est le cofacteur de l’élément aij
on note aussi cette matrice de cofacteur A (atilda A)
5.4
Changement de base :
pour changer de base on utilise une matrice de changement de base, cette matrice nous est donnée par
les composantes des vecteurs de la seconde base ou plus précisément par les coéfficient lorsqu’on écrit
un vecteur de la seconde base comme une combinaison linéaire des vecteurs de la première.
- 42/43 -
Simon Lussi 3M02
Résumé Maths
Gymnase de Nyon : examens 2003
Exemple :
1ère base : {e1 ;e2 ;e3} et 2ème base {e’1 ;e’2 ;e’3}
e '1 1e1 2 e2 3e3
1
la matrice de passage (ou de changement de base) : P = 2
e '2 1e1 2e2 3e3
e '3 1e1 2e2 3e3
3
cette matrice passe de la première base à la deuxième
soit une matrice M qu’on veut changer de base
1
2
3
1
2
3
M’=P-1MP
M et M’ sont dites semblables
Det(M) = Det(M’)
le déterminant d’un endomorphisme h est le même que celui de la matrice H associée
on appelle trace de la matrice A (qu’on note Tr(A)) la somme des éléments de la diagonale de A
Tr ( A) a11 a22 ... ann
deux matrices semblables ont la même trace
valeurs et vecteurs propres :
on appelle valeur propre de h, tout coéfficient tel qu’il existe un vecteur u non nul appellé vecteur
propre associé à vérifiant h(u) = u
l’ensemble E des vecteurs propres associés à la valeur propre est un sous-espace vectoriel appellé
sous-espace propre associé à : E = {u | h(u) = u}
Det(h – x In) = 0 est appelée équation caractéristique de h
est une valeur propre de h si et seulement si Det(h – In) = 0. les valeurs propres sont donc des
solutions de l’équation caractéristique
la dimention de E est égale ou inférieur à l’ordre de multiplicité de . c’est-à-dire si est une solution
double de l’équation caractéristique alors il sera de multiplicité 2
si la dimension de E est égale au nombre de valeurs propres en tenant compte de leurs multiplicité ,alors
la matrice est diagonalisable
exemple : si dim(E) = 3 et que les valeurs propres sont 1 (multiplicité 1) et –1 (multiplicité 2) alors la
1 0 0
matrice h vaut 0 1 0 elle est écrite selon une base formée par les vecteurs propres.
0 0 1
il faut pour ça que la multiplicité de chaque valeur propre corresponde avec la dimension de son sousespace propre associé
5.5
Systèmes linéaires :
- 43/43 -
