TS - DEVOIR N°1 A RENDRE LE VENDREDI 15 SEPTEMBRE 2006

Exercice 1
Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme décimale à 10-3 près.
Dans une population donnée, 15% des individus ont une maladie MA. Parmi les individus
atteints de la maladie MA, 20% ont une maladie MB.
On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les événements
suivants :
« L’individu est atteint par la maladie MA. », « L’individu est atteint par la maladie MB. » .
A
désigne l’événement contraire de A, pA(B) désigne la probabilité de « B sachant A ».
a. Donner les valeurs de p(A), pA(B),
(B)pA
.
b. Calculer p(BA) et p(B
A
). En déduire p(B).
c. Calculer pB(A). (Exercice – Bac D – 1989)
Exercice 1
a) Compte-tenu des notations de l’énoncé, p(A) désigne la probabilité pour qu’un individu soit atteint de
la maladie MA. Sachant que, dans la population donnée, 15% des individus ont la maladie MA, on en
déduit que :
D’autre part, pA(B) est la probabilité pour qu’un individu soit atteint de la maladie MB sachant qu’il a la
maladie MA. D’après les hypothèses,
Enfin,
(B)pA
désigne la probabilité pour qu’un individu soit atteint de la maladie MB sachant qu’il n’a
pas la maladie MA. D’après les hypothèses,
b) La formule des probabilités composées donne respectivement :
p(BA) = pA(B)p(A) et p(B
A
) =
(B)pA
 p(
A
) où p(
A
) = 1 – p(A).
Par conséquent, des résultats établis dans la question précédente, on déduit que :
Les événements (BA) et (B
A
) constituant une partition de l’événement B on a :
p(B) = p(BA) + p(B
A
).
Soit
c) Par définition, p(A/B) =
p(B)B)p(A 
. Donc
p(A) = 0,150.
pA(B) = 0,200.
(B)pA
= 0,040.
p(BA) = 0,030 et p(B
A
) = 0,034.
p(B) = 0,064.
pB(A)  0,469.

Exercice 2
Les élèves d’un lycée se répartissent comme l’indique le tableau suivant à compléter :
On choisit un élève au hasard.
a) Calculer la probabilité qu’il soit interne sachant qu’il s’agit d’un garçon.
b) Calculer la probabilité qu’il soit demi-pensionnaire sachant qu’il s’agit d’une fille.
c) Calculer la probabilité qu’il soit externe.
Exercice 2
On complète d’abord le tableau donnant la répartition des élèves :
On choisit un élève au hasard donc l’univers , ensemble de tous les « cas possibles » est l’ensemble des
élèves du lycée et card  = 2500.
a) Soit I l’événement « L’élève choisi est interne » et G l’événement « L’élève choisi est un garçon ». p
désignant la probabilité définie sur l’ensemble , calculer la probabilité de l’événement « L’élève choisi
est interne sachant qu’il s’agit d’un garçon » revient à calculer pG(I). Comme on suppose qu’il y a
équiprobabilité,
p(I/G) =
card(G)
G)card(I 
 pG(I) =
1200
180
.
En conclusion,
b) Soit D l’événement « L’élève choisi est demi-pensionnaire » et F l’événement « L’élève choisi est une
fille ». Alors, calculer la probabilité de l’événement « L’élève choisi est demi-pensionnaire sachant qu’il
s’agit d’une fille » revient à calculer la probabilité pF(D). Comme précédemment on peut tout de suite
écrire que :
pF(D) =
cardF F)card(D 
 pF(D) =
.
1300
450
En conclusion,
c) Soit E l’événement « L’élève choisi est externe ». Alors p(E) =
card
cardE
 p(E) =
.
2500
1200
Soit
Garçons
Filles
Total
Externes
730
Demi –
pensionnaires
550
Internes
180
300
Total
1300
2500
Garçons
Filles
Total
Externes
470
730
1200
½ pension.
550
450
1000
Internes
180
120
300
Total
1200
1300
2500
pG(I) =
.
20
3
pF(D) =
.
26
9
p(E) =
.
25
12

Exercice 3
Une entreprise fabrique des moteurs électriques. Afin de vérifier la conformité des moteurs,
on procède à deux tests : l’un de type mécanique, l’autre de type électrique.
Un moteur est rejeté s’il présente au moins l’un des deux types de défaut.
Un moteur est déclaré en parfait état de marche s’il ne présente aucun des deux types de
défaut.
Une étude statistique de la production conduit à dégager les résultats suivants :
- la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test mécanique est 0,08 ;
- la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test électrique est 0,05 ;
- la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour les deux tests est 0,02.
On prélève au hasard un moteur dans la production.
On appelle : DM l’événement « le moteur prélevé présente un défaut de type mécanique »,
DE l’événement « le moteur prélevé présente un défaut de type électrique ».
1. a) Les événements DM et DE sont-ils indépendants ?
b) Calculer la probabilité de l’événement DM sachant que l’événement DE est réalisé.
2. a) Calculer la probabilité de l’événement A : « Le moteur prélevé présente au moins un
défaut ».
b) Démontrer que la probabilité de l’événement B : « Le moteur prélevé est en parfait état
de marche » est 0,89.
c) Déterminer la probabilité de l’événement C : « Le moteur prélevé présente un seul
défaut ».
3. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de types de défaut (électrique ou
mécanique) présentés par le moteur.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) Déterminer la loi de probabilité de X .
c) Calculer l’espérance mathématique E(X).
d) Calculer la variance V(X) et en déduire l’écart-type de X.
On donnera les résultats à 10-2 près.

Exercice 3
1. a) Les événements DM et DE sont indépendants si, et seulement si, p(DM  DE) = p(DM )p( DE).
Par hypothèse, p(DM ) = 0,08 ; p( DE) = 0,05 et p(DM  DE) = 0,02. Or 0,02  0,080,05.
Donc les événements DM et DE ne sont pas indépendants.
b) Par définition d’une probabilité conditionnelle,
p(DM / DE) =
)p(D )Dp(D
E
EM 
donc
2. a) Par définition de l’événement A, A = DM  DE donc la probabilité de l’événement A est :
p(A) = p(DM ) + p( DE) - p(DM  DE) donc
b) Par définition de l’événement B, B =
A
donc la probabilité de l(événement B est :
p(B) = 1 – p(A) donc
c) Par définition de l’événement C, A = CD où D = DM  DE. Par conséquent CD = . On en déduit
que : p(A ) = p(C) + p(D) soit p(C) = p(A) – p(D) où p(A) = 0,11 et p(D) = 0,02.
En conclusion,
3. a) Ainsi le moteur peut ne présenter aucun défaut : X = 0. Il peut présenter un seul des deux défauts, dans
ce cas : X = 1. Ou bien il peut présenter simultanément les deux défauts : X = 3. Donc l’ensemble des
valeurs prises par X est :
b) On détermine ensuite la loi de probabilité de X .
p(X = 0) = p(B) donc p( X = 0) = 0,89.
p(X = 1) = p(C) donc p(X = 1) = 0,09.
p(X = 2) = p(D) donc p(X = 2) = 0,02.
D’où le tableau donnant la loi de la probabilité de X :
c) L’espérance mathématique de X est : E(X) =
k) kp(X
soit E(X) = 10,09 + 20,02.
Donc
d) Par définition de la variance, V(X) =
22 E(X) - k) p(Xk
soit V(X) = = 10,09 + 40,02 – (0,13)2.
Donc
On en déduit l’écart-type de X : (X) =
V(X)
soit
MD Dp E
= 0,40.
p(A) = 0,11.
p(B) = 0,89.
p(C) = 0,09.
{0, 1, 2 }
k
0
1
2
p(X = k)
0,89
0,09
0,02
E(X) = 0,13.
V(X)  0,15 à 10-2 près par défaut.
(X)  0,39 à 10-2 près par défaut.

Exercice 4
Pour prévenir deux défectuosités a et b des pièces fabriquées par une usine, on décide de
soumettre l’ensemble des pièces à des tests. Les études statistiques menées sur un effectif
assez grand ont montré que :
a) 8% des pièces présentent le défaut a.
b) Parmi les pièces atteintes du défaut a, 15% ont le défaut b.
c) Parmi les pièces non atteintes du défaut a, 5% ont le défaut b.
On prend au hasard une pièce produite et on considère les événements suivants :
A : « La pièce présente le défaut a »
B : « La pièce présente le défaut b ».
1. a. Calculer la probabilité pour qu’une pièce prise au hasard présente les deux défauts a et
b.
b. Calculer la probabilité pour qu’une pièce prise au hasard présente le défaut b et ne
présente pas le défaut a.
c. En déduire que la probabilité de B est égale à 0,058.
2. Démontrer que la probabilité d’obtenir une pièce bonne (c’est-à-dire ne présentant ni le
défaut a, ni le défaut b) est 0,874.
Exercice 4
L’univers  associé à cette étude est l’ensemble des pièces produites par l’usine. On notera p la probabilité
définie sur . Compte tenu des notations introduites dans l’énoncé, les hypothèses s’écrivent :
p(A) = 0,08 p(B/A) = 0,15 et p(B/
A
) = 0,05.
1. a. L’événement « une pièce prise au hasard présente les deux défauts a et b » est l’événement AB. La
formule des probabilités composées permet d’écrire que :
p(AB) = p(B/A)p(A)  p(AB) = 0,150,08
donc
b. L’événement « une pièce prise au hasard présente le défaut b et ne présente pas le défaut a » est
l’événement
AB
. De même que précédemment, la formule des probabilités composées donne :
p(
AB
) = p(B/
A
)p(
A
) soit p(
AB
) = p(B/
A
)[1 – p(A)] donc p(
AB
) = 0,05(1 – 0,08).
En conclusion,
c. {A,
A
} constitue un système complet d’événements donc : p(B) = p(
AB
) + p(AB) soit p(B) =
0,012 + 0,046.
D’où :
2. L’événement « obtenir une pièce bonne » est l’événement noté
BA
. Or :
p(
BA
) = 1 – p(AB) où p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB).
Par conséquent p(
BA
) = 1 – [0,08 + 0,058 – 0,012].
En conclusion,
p(AB) = 0,012.
p(
AB
) = 0,046.
p(B) = 0,058.
p(
BA
) = 0,874.