Exemples corrigés

Université Paris-Sud - Institut Universitaire Professionnalisé de Sceaux
Licence
1
Année 1998-1999
Michelle LAUTON
PROBABILITES
Exemples corrigés
1) Dans une épreuve, deux événements A et B se réalisent avec les probabilités respectives 0,6 et
0,45.
i) Si AB se réalise avec la probabilité 0,90, quelle est la probabilité de réalisation de l’événement
AB ?
Réponse et justification
On va utiliser l’égalité P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB), appelée formule de Poincarré
En effet, il vient
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
d’où
= 0,6 + 0,45 - 0,90 = 0,15
ii) Si AB se réalise avec la probabilité 0,35, quelle est la probabilité de l’événement AB ?
Réponse et justification
En utilisant la même égalité, il vient
P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,35 = 0,7
iii) Dans le cas i), calculer PA(B) et PB(A)
Réponse et justification
D’après la définition de la probabilité conditionnelle,
PA(B) = P(A B) /P(A)
= 0,15/0,6 = 15/60 = 1/4 = 0,25
PB(A) = P(A B) /P(B)
= 0,15 /0,45 = 1/3 = 0,33
2) Examen IUP Septembre 1996
Une usine comporte deux unités de production qui fabriquent toutes deux les mêmes pièces en
acier. L’unité Alpha a une cadence de production journalière deux fois plus rapide que celle de
l’unité Béta. Le pourcentage de pièces défectueuses est de 3% pour l’unité Alpha et de 4% pour
l’unité Béta.
Nous allons désigner certains événements:
A: la pièce provient de l’unité Alpha
B : la pièce provient de l’unité Béta
D : la pièce présente un défaut
C : la pièce provient de l’unité Alpha sachant qu’elle est défectueuse
i) Quelle est la probabilité P(A) qu’une pièce provienne de l’unité Alpha ?:
Quelle est la probabilité P(B) qu’une pièce provienne de l’unité Béta ?
Réponse et justification
Puisque la cadence de production de l’unité Alpha est deux fois plus rapide que celle de l’unité
Béta, on a:
P(A) = 2/3
et
P(B) = 1/3
ii) Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse?
Réponse et justification
Il s’agit de calculer P(D). Une pièce peut être défectueuse en provenant de Alpha ou en provenant
de Béta.
D = (A  D)  (B  D) avec Ac = B
P(D) = P[(A  D)  (B  D)]
P(D) = P(A  D) + P(B  D)
P(D) = PA(D) P(A) + PB(D) P(B)
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P(D) = 0,03 * 2/3 + 0,04 * 1/3
P(D) = 10/300 = 1/30
iii) Calculer P(C).
Réponse et justification
P(C) est une autre notation pour la probabilité conditionnelle PD(A).
Nous allons appliquer la formule de Bayes.
P(C) = P(AD) / P(D)
P(C) = (0,03 * 2/3) / (1/30) = 0,6 soit 60 %.
3) Deux événements A et B sont indépendants. On sait que P(A) = 0,8 et P(B) = 0,5.
Quelle est la probabilité de A  B ?
Réponse et justification
Puisque A et B sont indépendants:
P(A  B) = P(A) P(B)
d’où P(A  B) = 0,8 * 0,5 = 0,4
En utilisant la relation P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) , il vient:
P(A  B) = 0,8 + 0,5 - 0,4 = 0,9
4) On considère dans l’ensemble des familles de 2 enfants les événements:
A: la famille a des enfants des deux sexes B: la famille a au plus une fille
On suppose dans une famille l’indépendance des sexes entre naissances successives.
i) Calculer P(A) et P(B), sachant qu’en France les fréquences des naissances de filles et de
garçons sont respectivement 0,49 et 0,51.
Réponse et justification
Si nous désignons par F = « avoir une fille » et G = « avoir un garçon », nous pouvons écrire
l’ensemble des résultats possibles {FF, FG, GF, GG}.
Alors, on a
A = {FG, GF}
P(A) = P(FG) + P(GF)= P(F) P(G) + P(G) P(F)
= 0,49 * 0,51 + 0,51*0,49 =0,4998
B = {GG, FG, GF}
d’où P(B) = P(GG) + P(FG) + P(GF) = P(G) P(G) + P(F) P(G) + P(G) P(F)
P(B) = 0,51* 0,51 + 0,49*0,51 + 0,51*0,49 = 0,7599
ii) Les événements A et B sont-ils indépendants?
Réponse et justification
Non, les événements ne sont pas indépendants, car A  B = {FG, GF} = A
d’où P(A  B) = P(A) = 0,4998, alors que P(A) P(B) = 0,3798 (arrondi usuel)
Exercices
1) Soit un ensemble  = {a, b, c, d} et P une probabilité sur .
i) Calculer P({a}) et P({b}) sachant que P({c}) = P({d}) = 1/4 et P({a}) = 2 P({b}).
ii) On suppose maintenant que P({b, c}) = 2/3, P({b, d}) = 1/4 et P({b}) = 1/6. Peut-on calculer
P({a})?
2) On lance deux dés. Une épreuve est identifiée à un couple (x, y) où x est le nombre de points
amenés par le premier dé et y par le second.
i) Quel est l’ensemble  des épreuves?
ii) Soient les événements
A = {la somme des points est paire}
B = {les deux dés amènent le même nombre}.
C = {un des dés au moins amène un 2}
Calculer P(A), P(B), P(C) et P(A et C).
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iii) Pourrait-on trouver un ensemble d’épreuves contenant moins d’éléments sur lesquels les
événements précédents soient également définis ?
3) Soit A et B deux événements aléatoires tels que P(A) = 1/2 et P(B) = 1/4.
i) Donner un encadrement de P(A et B) et P(A ou B)
ii) Déterminer P(A ou B) lorsque A et B sont incompatibles.
iii) Déterminer P(A ou B) lorsque P(A et B) = 1/5.
iv) Déterminer P(A et B) lorsque P(A ou B) = 3/5
4) Les probabilités de deux événements aléatoires A et B peuvent-elles être solution de l’équation
a) 10 x2 - 9 x + 2 = 0
b) 12 x2 + x - 1 = 0
5) Soit l’ensemble  = {0, 1, 2, ..., 9, 10} .
Partie A: Soit P une probabilité sur  telle que les nombres pi =P({i}) soient proportionnels à i.
i) Déterminer la loi P.
ii) Calculer P( est pair) et P( est multiple de 3)
Partie B: i) Déterminer une loi P' telle que les nombres p'i = P'{i} vérifient les deux conditions
suivantes:
a) p'10 = 2 p'0
b) il existe 2 constantes a et b telles que p'i = a + b i pour tout i.
ii) Calculer P'( est pair) et P'( est un carré parfait)
6) On jette trois fois un dé non pipé. Calculer la probabilité d’obtenir
i) au moins un deux
ii) un deux exactement
7) On tire au hasard trois cartes dans un jeu de 52 cartes.
i) Si on ne replace pas les cartes enlevées, quelle est la probabilité d’obtenir trois rois?
ii) Si on replace les cartes enlevées, quelle est la probabilité d’obtenir trois rois?
8) Soient A et B deux événements tels que P(A) = 0.3, P(B) = 0,4 et P(A ou B) = 0,5.
Calculer chacune des probabilités suivantes:
i) P(A et B)
ii) PA(B)
iii) PB(A)
iv) P (A ou BC)
v) P(AC ou BC)
9) Dans un jeu de 52 cartes, on tire successivement 5 cartes en remettant à chaque fois la carte
tirée. Calculer
i) la probabilité d’obtenir 5 trèfles
ii) la probabilité d’obtenir les 5 fois une dame ou un trèfle
10) Combien de fois faut-il jeter 2 dés pour avoir la probabilité p de voir apparaître au moins une
fois le total 9 ?
Application numérique: p = 0,5; p = 0,8
11) Un industriel s’approvisionne auprès de deux usines qui fabriquent les mêmes pièces. La
première en fournit 99 % de bonnes et la deuxième 98 %. La première usine fournit 75% des
besoins de l’industriel.
i) Quel est le pourcentage de pièces bonnes sur l’ensemble du marché, supposé alimenté par les
deux usines, sans qu’un service de contrôle-qualité intervienne?
ii) L’industriel choisit au hasard dans son stock une pièce qui s’avère bonne. Quelle est la
probabilité qu’elle provienne de la première usine?
iii) Dans le cas où la pièce s’avère défectueuse, quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de
la seconde usine?
iv) L’industriel constatant qu’une pièce est défectueuse fait la remarque suivante: « Elle doit
provenir de la deuxième usine ». Que pensez-vous de cette réflexion ?
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12) D’après Partiel IUP 1997-1998
Dans un magasin, un stock de tee-shirts est constitué de tee-shirts provenant de deux ateliers de
fabrication A et B. 60 % des tee-shirts viennent de l'atelier A et 40 % viennent de B. Parmi les teeshirts produits dans l'unité A, 20 % ont un défaut et parmi ceux venant de B, 10 % ont un défaut.
i)
Quel est le pourcentage de tee-shirts du stock ayant un défaut ?
ii)
Le responsable du magasin désire savoir s'il doit continuer à s'approvisionner dans les
deux usines A et B. Que lui conseilleriez-vous de calculer avant de prendre sa décision ?
Après avoir fait ces calculs, quelle décision prendriez-vous?
13) D’après Examen IUP 1997-1998 - Dans un entrepôt, un stock de tee-shirts est constitué de
tee-shirts provenant de deux machines M1 et M2. On peut régler la proportion de tee-shirts
provenant de chacune des machines comme on le souhaite. Parmi les tee-shirts produits par la
machine M1, 5 % ont un défaut et parmi ceux provenant de M2, 1 % ont un défaut.
i) Dans le cas où les deux machines produisent le même nombre de tee-shirts, quel est le
pourcentage de tee-shirts du stock ayant un défaut ?
ii) Peut-on déterminer les proportions de tee-shirts à fabriquer respectivement avec les machines
M1 et M2 pour que la probabilité qu'un tee-shirt défectueux provienne de la machine M1 ne
dépasse pas 0,92 ?
14) Deux bureaux d’études fournissent des données sur un certain marché qui peut se trouver
dans deux états S1 et S2, en passant d’une manière aléatoire de l’un à l’autre. De longues
observations ont permis d’établir que durant environ 30% du temps le marché se trouve dans l’état
S1 et 70% dans l’état S2. Le bureau d’études n°1 fournit des données erronées dans environ 2%
des cas et le bureau d’études n°2 dans 8%. A un certain moment , le bureau d’études n°1 a
communiqué que le système se trouve dans l’état S1 et le bureau d’études n°2 qu’il se trouve dans
l’état S2. Laquelle des deux informations devrait-on supposer exacte?
15) Sur 100 personnes qui ont posé leur candidature à un emploi de chef des ventes, vacant dans
l’entreprise « Industries des Univers Primitifs », 40 ont une expérience professionnelle antérieure,
30 un DUT de Commerce et 20 ont à la fois le diplôme et l’expérience.
i) Quelle est la probabilité pour que l’un des 100 candidats tirés au hasard ait soit l’expérience, soit
le diplôme, soit les deux?
ii) Quelle est la probabilité pour qu’un tel candidat ait soit l’expérience, soit le diplôme, mais pas
les deux?
iii) Calculer la probabilité pour qu’un candidat choisi au hasard parmi ceux qui possèdent une
expérience professionnelle ait aussi un DUT.
16) Supposons que la naissance d’un garçon soit aussi probable que celle d’une fille et que les
sexes lors des naissances successives soient indépendants.
i) Un couple a une fille et attend une seconde naissance. Quelle est la probabilité pour qu’il ait une
seconde fille?
ii) Une famille de 2 enfants comporte au moins un garçon. Quelle est la probabilité pour qu’elle
comporte au moins une fille?
17) On classe les gérants de portefeuille en deux catégories: ceux qui sont bien informés et ceux
qui ne le sont pas. Lorsqu’un gérant bien informé achète une valeur boursière pour son client, la
probabilité pour que le cours de celle-ci monte est de 0,8; dans le cas d’un gérant mal informé,
cette probabilité ne vaut que 0,5. Si on choisit au hasard un gérant dans un annuaire
professionnel, la probabilité qu’il soit bien informé est de 0,2. Calculer la probabilité que le gérant
ainsi choisi soit mal informé, sachant que la valeur qu’il a acheté a monté.