Lois de probabilités

LOIS DE PROBABILITÉ.
1. Lois de probabilité discrètes
Dans toutes les situations étudiées jusqu’à présent, la variable aléatoire X prend un nombre fini de
valeurs. On dit que X est discrète.
a) Loi de Bernoulli
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues appelées succès
(noté S) et échec (noté S ), de probabilités respectives p et 1 – p
La loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli de paramètre p
issue
probabilité
S
p
S
1-p
Exemple :
Une urne contient 70 boules rouges et 30 boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne.
Expliquer pourquoi cette expérience est une épreuve de Bernoulli.
On appelle succès « le tirage d’une boule rouge ». Donner la loi de probabilité.
b) Loi binomiale
Définitions :
1) Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions
d’indépendance.
2) Un schéma de Bernoulli est constitué de n épreuves indépendantes. X est la variable aléatoire
qui, à chaque liste de n résultats, associe le nombre de succès.
3) La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Cette loi est notée B(n ; p)
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Propriétés :
n
1) Pour tout entier k, avec 0 ≤ k ≤ n, p(X = k) =   pk (1 – p)n – k
k
2) L’espérance mathématique est E(X) = n p et la variance V(x) = n p (1 – p
Démonstration 1)
Exemples
1) Une loterie consiste à faire tourner trois roues identiques. Ces roues sont divisées en cinq parties
égales dont une des parties est marquée « Gagné »
Le joueur gagne si au moins une des roues s’arrête sur « Gagné »
Expliquer pourquoi cette situation peut-être modélisée par une loi binomiale.
Calculer la probabilité que le joueur gagne.
2) Un élève répond au hasard aux dix questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, cinq réponses
sont proposées dont une seule est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes
réponses.
a) Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale.
b) Calculer la probabilité d’avoir au moins cinq bonnes réponses
c) Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.
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2. Lois de probabilités continues (ou à densité)
Il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle de ℝ. On
dit alors que la variable est continue. On s’intéresse à des évènements du type : « X est compris entre
les réels a et b » soit « a ≤ X ≤ b »
Exemples :
Le temps d’attente à un arrêt de bus, la durée de vie d’un transistor, la distance du point d’impact au
centre d’une cible,…
Définition :
Une loi de probabilité P sur un intervalle I = [a, b] de ℝ est déterminée par une fonction f définie,
continue, positive sur I telle que

b
a
f ( t ) dt = 1 et appelée densité de P.
Pour tout intervalle [ α , β ] contenu dans I, la probabilité de l'intervalle [ α , β ] est
P( [ α , β ] ) = P( α ≤ X ≤ β ) =

β
α
f ( t ) dt .
P( [ c ; + ∞ [ ) est noté P( X ≥ c )
. La probabilité de [ α , β ] n'est donc rien d'autre que l'aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des
abscisses et les droites d’équation x = α et x = β.
. On a P( [a, b] ) = 1 et pour tout x0 de I : P( {x0} ) = 0
Exemple :
Exemple :
On choisit un réel au hasard entre 0 et 1. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre compris entre
et
1
?
6
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1
8
3. Exemples de lois de probabilités continues
a) Loi de probabilité uniforme
Définition :
On appelle loi uniforme sur I = [a, b], la loi de probabilité P dont la densité f est une fonction
constante sur I.
1
Il est facile de voir que la valeur de la constante est le réel
et donc que la probabilité d'un
ba
intervalle J = [ α , β ] est calculée par le rapport des longueurs :
β  α longueur de J

.
b  a longueur de I
Dans le cas de la loi uniforme sur [0, 1], la probabilité d'un intervalle est alors la longueur de cet
intervalle.
La loi uniforme intervient dans de nombreuses situations notamment dans le « choix d'un point au
hasard sur un segment (ou un intervalle) I ».
Exemple :
À partir de 7 heures, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt précis. Un usager se présente à
cet arrêt entre 7 heures et 7 heures 30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée à cet arrêt
est la variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [0 ; 30].
1. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de cinq minutes le prochain bus ?
2. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de dix minutes ?
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b) Loi exponentielle sur [ 0 ; + ∞ [
Définition :
Soit λ un réel strictement positif.
La fonction f définie sur I = [ 0, +  [ par
f ( x ) = λe  λx si x  0
est la densité d'une loi de probabilité P, appelée loi exponentielle de paramètre λ .
Remarques :
1. f est continue sur I = [ 0, +  [, f est positive.
2. lim f ( x )  0
x  
3.

I
f ( x )dx = lim
t  

t
0
f ( x )dx = 1
4. Pour [ a, b]  [ 0,   [
Pour t  0
5. P ( T  t ) =
P ( [ a, b] ) =
P ( [ 0, t ] ) =

t
0

b
a

f ( x )dx
t
0
f ( x )dx = 1 – e- λt
f ( x )dx = 1 - e- λt
P ( T > t ) = e- λt
Exemple :
Dans un aéroport, la durée d'attente X mesurée en minutes pour l'enregistrement des bagages suit une
1
loi exponentielle de paramètre
.
10
1. Quelle est la densité de probabilité de X ?
2. Quelle est la probabilité d'attendre au plus 30 minutes ?
3. Quelle est la probabilité que l'attente dépasse 1 heure ?
4. Sachant qu'on a attendu 15 minutes, quelle est la probabilité que l'attente soit encore d'au moins 15
minutes ?
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Exemple :
On suppose que la durée d'une conversation téléphonique, mesurée en minutes, est la variable aléatoire
1
exponentielle de paramètre
.
10
Vous arrivez à une cabine téléphonique et juste à ce moment précis, une personne passe devant vous.
Quelle est la probabilité que vous attendiez :
1. plus de dix minutes ?
2. entre dix et vingt minutes ?
Exemple :
La durée de vie X (en heures) d'un composant électronique a été modélisée par la loi exponentielle de
paramètre λ = 0,0006 sur [0; +  [ .
a) Quelle est la probabilité qu'un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de vie inférieure
à 1 000 heures ? Donner la réponse avec un pourcentage arrondi au centième.
b) Quelle est la probabilité qu'un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche
au bout de 500 heures ? Donner la réponse avec un pourcentage arrondi au centième.
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