Page 1 sur 6 File : Cmplx-Numbers-Forme-Cartes (COZIAN) Nombre complexes Pourquoi les nombres complexes ? Dans l'étude des circuits électriques, le passage du courant continu en courant alternatif (sinusoïdal) nécessite l'introduction des nombres complexes ; Dès que l'on impose au circuit de travailler à une fréquence donnée, l’utilisation de relations linéaires appliquées dans le cas du courant continu, reste valable par l’intermédiaire de la notion d'impédance complexe ( U = Z . I) ; L'utilisation des complexes facilite ainsi la mise en équations et permet une recherche simplifiée des variables du système étudié (tensions, intensités, etc.) ; Celle-ci découle « naturellement » de la méthode de FRESNEL, dès que l'on introduit la notion d'affixe associée à un vecteur du plan ; Ensemble « C » des nombres complexes Dans l'ensemble « R » des nombres réels, toute équation du 1er degré admet une racine ; Mais toute équation du 2ème degre n’admet pas toujours des racines sur l’ensemble « R » comme c’est le cas de l’équation « x2 + 1 = 0 » qui n’admet pas de racines sur « R » ; Il faut donc introduire un ensemble « C » : qui est une extension de « R » ; et dans lequel ces racines existent : Cet ensemble « C », est l’ensemble des nombres complexes « z = (a, b) » qui se présentent sous la forme de couples « (a, b) » où « a » et « b » sont des nombres réels : Cette forme de couples « (a, b) » est la forme canonique d’un nombre complexe ; C = { « z » tels que z = (a, b) où « a » et « b » sont « 2 » réels } Sur « C », on définit « 2 » opérations : l'addition : z + z’ = (a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’) la multiplication : z . z’ = (a, b) . (a’, b’) = (a . a’ - b . b’, a . b’ + a’ . b) L’ensemble « C » muni de ces « 2 » opérations a les mêmes propriétés algébriques que l’ensemble « R » ; Cet ensemble « C », est en fait un espace vectoriel sur les réels ; Page 2 sur 6 Forme [ cartésienne / algébrique ] d'un nombre complexe « z = (a, b) » Pour établir la fome cartésienne d’un nombre complexe « z = (a, b) », on fait ceci : à chaque couple « (a, 0) », on associe le nombre réel « a » (<-> on identifie tout nombre réel « a » au nombre complexe « (a, 0) ») à chaque couple « (b, 0) », on associe le nombre réel « b » (<-> on identifie tout nombre réel « b » au nombre complexe « (b, 0) ») ; => tout nombre complexe « z = (a, b) » peut être écrit sous la forme : z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) Or, « (0, b) = (0, 1) . (b, 0) » ; Donc z = (a, b) = (a, 0) + (0, 1) . (b, 0) Si on pose que « j » représente le nombre complexe « (0, 1) » => on obtient l'écriture algébrique du nombre complex « z = (a, b) » : z=a+j.b La notation « z = a + j .b » utlisée pour le nombre complexe « z = (a, b) » : est une notation qui est commode pour faire des calculs à l’aide des nombres complexes ; alors que l’expression « z = (a, b) » se prête mal pour faire ces calculs ; On a : « a » est la partie réelle de « z » : a = ℛe (z) ; « b » est la partie imaginaire de « z » : b = ℐm (z) où « a » et « b » sont tous les « 2 », des nombres réels !! ; On a : lorsque « a = 0 » => « z = a + j . b » est un imaginaire pur (avec « b » non nul ) ; lorsque « b = 0 » => le nombre complexe « z = a + j . b » se réduit à un nombre réel « classique » ; En outre : j2 = (0, 1) . (0, 1) = (- l, 0) = - 1 ou encore « j2 = - l » Puisque « j2 = - l » => on a : Page 3 sur 6 3 2 j =j .j=-1. j=-j ; j4 = j2 . j2 = - 1 . (- 1) = 1 ; j5 = j4 . j = 1 . j = j ; j6 = j2 . j4 = - 1 . (1) = - 1 ; Ces relations ci-dessus pour les diverses puissasnces de « j », sont justes car : Les règles des puissances, s’appliquent à l’unité imaginaire car : j3 = (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) = XXXXXXXXXXX ; j4 = (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) = XXXXXXXXXXX ; j5 = (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) = XXXXXXXXXXX ; A continuer ! ! ! égalité de « 2 » nombres complexes « z = a + j . b » et « z’= a + j . b’ » : z = z <=> a = a’ et b = b’ Donc, « 2 » nombres complexes « z = a + j . b » et « z’= a + j . b’ » sont égaux lorsque : - leur partie réelle ; - et leur partie imaginaire ; sont simultanément égales ; Ex : z = (x - 7) + j . (y – 3) ; z’ = 5 + j . 8 ; z = z’ x- 7=5; y–3=8; Représentation géométrique d’un nombre complexe « z = a + j . b » Soit le plan rapporté au repère orthonormé « (0, X, Y) » : Figure 1.1 / p 3 / COZIAN A tout nombre complexe « z = a + j . b », on associe le point « M » (ou le vecteur « OM ») dont les coordonnées sont « a » et « b » (et réciproquement) =>on dit que : le point « M » est l'image du nombre complexe « z » ; « z = a + j . b » est l'affixe du point « M (a, b) » ; On définit ainsi le plan complexe ; Nombre complexe « z* » conjugué du nombre complexe « z = a + j . b » Le nombre conjugué de « z = a + j . b », c’est le nombre complexe « z* = a - j . b » ; Page 4 sur 6 Figure du complexe conjugué dans le plan de GAUSS !!! On a les propriétés : (donner des exemples !!!) (z*)* = z ; (z + z’)* = z* + (z’)* ; (z . z’)* = z* . (z’)* ; (1/z)* = 1/z* ; « z + z* = 2 .a » est un nombre réel <=> a = (z + z*)/2 ; « z - z* = 2 .j . b » est est un imaginaire pur => b = (z - z*)/(2 . j) ; z = z* <=> « z » est un nombre réel ; z . z* = a2 + b2 est un nombre réel ; !!! Ex : x2 + x + 1 = 0 x = (1/2) . (- 1 31/2 . j) ; Les « 2 » racines complexes de cette équations, sont « 2 » complexes conjugués ; Le complexe conjugué est utilisé en particulier pour obtenir : - la partie réelle ; - et la partie imaginaire ; du quotient de « 2 » nombres complexes : z = (a + j . b )/( c + j . d) = ((a + j . b )/( c + j . d)) . ((c - j . d )/ ( c - j . d)) => z = [ (a . c + b .d ) / (c2 + d2 ) ] + j . [ (b . c - a .d ) / (c2 + d2 ) ] ; Ex z = (1 + j)/ (2 – j . 31/2) = …….. Somme et différence de « 2 » nombres complexes sous forme cartésienne Soit dans le plan complexe les points « M » <-> « z = a + j . b » et « M’ <-> z’ = a’ + j . b’ » Fig. 1.3 / p 4 / COZIAN On a : somme de « z » et de « z’ » : z + z’ = (a + a’) + j . (b + b’) ; différence de « z » et de « z’ » : z - z’ = (a - a’) + j . (b - b’) ; Le point « P » dont l’affixe est « z + z’ », est tel que « OP = OM + OM’ » ; De même on construit l'image « Q » du nombre complexe « z - z’ » ; L'inégalité triangulaire dans le triangle « OMP », donne : | OP | | OM| + | MP| avec | MP | = |OM’ | Page 5 sur 6 Donc, on obtient : | z + z’ | | z | +| z’ | ; Le calcul du module et de l'argument des nombres complexe « z + z’ », ne donne pas de résultat remarquable ; Signification de la somme de « 2 » nombres complexes Bla BLA à faire Produit et quotient de « 2 » nombres complexes sous forme cartésienne Soit « z = a + j .b » et « z’ = a’ + j .b’ » On a : produit de « z » et de « z’ » : z . z’ = (a + j .b) . (a’ + j .b’) (a . a’ – b . b’) + j . (a . b’ + a’ .b) car : z . z’ = (a + j .b) . (a’ + j .b’) = (a . a’ – b . b’) + j . (a . b’ + a’ .b) où l’on tient compte de ce que « j2 = - 1 » quotient de « z » et de « z’ » : z / z’ = (a + j .b) / (a’ + j .b’) = [ (a . a’ + b . b’) + j . (a’ . b - a .b’) ] / (a’2 + b’2) car : z / z’ = (a + j .b) / (a’ + j .b’) = [ (a + j .b) / (a’ + j .b’) ] . [ (a’ - j .b’) / (a’ - j .b’) ] z / z’ = [ (a + j .b) (a’ - j .b’) ] / [ (a’ + j .b’) . (a’ - j .b’) ] z / z’ = [(a . a’ + b . b’) + j . (a’ . b - a .b’) ] / / (a’2 + b’2) ; Donc, le nombre complexe conjugué « z’* = a’ - j .b’ » du nombre complexe « z’ = a’ + j .b’ » au dénominateur, est utilisé pour faire le calcul de « z /z’ » ; On a : 1/j=-j car : 1 / j = (1 / j) . (- j / - j) = - j / (- j)2 = - j ; Ex : 1°) z = 3 - 5 . j et z’ = - 2 + 7 . j ; 2°) z = 5 . (21/2/2) + 5 . (21/2/2) . j et z’ = 3 . 31/2 - 3 . j ; Page 6 sur 6 z + z’ = … ; z - z’ = … ; z . z’ = … ; z / z’ = … ;