01-Cmplx-Numbers-Forme-Cartes - HEH

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File : Cmplx-Numbers-Forme-Cartes
(COZIAN)
Nombre complexes
Pourquoi les nombres complexes ?
Dans l'étude des circuits électriques, le passage du courant continu en courant
alternatif (sinusoïdal) nécessite l'introduction des nombres complexes ;
Dès que l'on impose au circuit de travailler à une fréquence donnée, l’utilisation de
relations linéaires appliquées dans le cas du courant continu, reste valable par
l’intermédiaire de la notion d'impédance complexe ( U = Z . I) ;
L'utilisation des complexes facilite ainsi la mise en équations et permet une recherche
simplifiée des variables du système étudié (tensions, intensités, etc.) ;
Celle-ci découle « naturellement » de la méthode de FRESNEL, dès que l'on introduit la
notion d'affixe associée à un vecteur du plan ;
Ensemble « C » des nombres complexes
Dans l'ensemble « R » des nombres réels, toute équation du 1er degré admet une racine ;
Mais toute équation du 2ème degre n’admet pas toujours des racines sur l’ensemble « R »
comme c’est le cas de l’équation « x2 + 1 = 0 » qui n’admet pas de racines sur « R » ;
Il faut donc introduire un ensemble « C » :
 qui est une extension de « R » ;
 et dans lequel ces racines existent :
Cet ensemble « C », est l’ensemble des nombres complexes « z = (a, b) » qui se présentent
sous la forme de couples « (a, b) » où « a » et « b » sont des nombres réels :
Cette forme de couples « (a, b) » est la forme canonique d’un nombre complexe ;
C = { « z » tels que z = (a, b) où « a » et « b » sont « 2 » réels }
Sur « C », on définit « 2 » opérations :
 l'addition :
z + z’ = (a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’)
 la multiplication :
z . z’ = (a, b) . (a’, b’) = (a . a’ - b . b’, a . b’ + a’ . b)
L’ensemble « C » muni de ces « 2 » opérations a les mêmes propriétés algébriques que
l’ensemble « R » ;
Cet ensemble « C », est en fait un espace vectoriel sur les réels ;

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 Forme [ cartésienne / algébrique ] d'un nombre complexe « z = (a, b) »
Pour établir la fome cartésienne d’un nombre complexe « z = (a, b) », on fait ceci :
 à chaque couple « (a, 0) », on associe le nombre réel « a » (<-> on identifie tout nombre
réel « a » au nombre complexe « (a, 0) »)
 à chaque couple « (b, 0) », on associe le nombre réel « b » (<-> on identifie tout
nombre réel « b » au nombre complexe « (b, 0) ») ;
=> tout nombre complexe « z = (a, b) » peut être écrit sous la forme :
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b)
Or, « (0, b) = (0, 1) . (b, 0) » ;
Donc
z = (a, b) = (a, 0) + (0, 1) . (b, 0)
Si on pose que « j » représente le nombre complexe « (0, 1) » => on obtient l'écriture
algébrique du nombre complex « z = (a, b) » :
z = a + j . b
La notation « z = a + j .b » utlisée pour le nombre complexe « z = (a, b) » :
 est une notation qui est commode pour faire des calculs à l’aide des nombres
complexes ;
 alors que l’expression « z = (a, b) » se prête mal pour faire ces calculs ;
On a :
 « a » est la partie réelle de « z » : a = ℛe (z) ;
 « b » est la partie imaginaire de « z » : b = ℐm (z)
où « a » et « b » sont tous les « 2 », des nombres réels !! ;
On a :
 lorsque « a = 0 » => « z = a + j . b » est un imaginaire pur (avec « b » non nul ) ;
 lorsque « b = 0 » => le nombre complexe « z = a + j . b » se réduit à un nombre réel
« classique » ;
En outre :
j2 = (0, 1) . (0, 1) = (- l, 0) = - 1 ou encore « j2 = - l »
Puisque « j2 = - l » => on a :

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 j3 = j2 . j = - 1 . j = - j ;
 j4 = j2 . j2 = - 1 . (- 1) = 1 ;
 j5 = j4 . j = 1 . j = j ;
 j6 = j2 . j4 = - 1 . (1) = - 1 ;
Ces relations ci-dessus pour les diverses puissasnces de « j », sont justes car :
Les règles des puissances, s’appliquent à l’unité imaginaire car :
j3 = (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) = XXXXXXXXXXX ;
j4 = (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) = XXXXXXXXXXX ;
j5 = (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) . (0, 1) = XXXXXXXXXXX ;
A continuer ! ! !
 égalité de « 2 » nombres complexes « z = a + j . b » et « z’= a + j . b’ » :
z = z <=> a = a’ et b = b’
Donc, « 2 » nombres complexes « z = a + j . b » et « z’= a + j . b’ » sont égaux lorsque :
- leur partie réelle ;
- et leur partie imaginaire ;
sont simultanément égales ;
Ex :
 z = (x - 7) + j . (y – 3) ;
 z’ = 5 + j . 8 ;
z = z’ 
 x - 7 = 5 ;
 y – 3 = 8 ;
Représentation géométrique d’un nombre complexe « z = a + j . b »
Soit le plan rapporté au repère orthonormé « (0, X, Y) » :
Figure 1.1 / p 3 / COZIAN
A tout nombre complexe « z = a + j . b », on associe le point « M » (ou le vecteur
« OM ») dont les coordonnées sont « a » et « b » (et réciproquement) =>on dit que :
 le point « M » est l'image du nombre complexe « z » ;
 « z = a + j . b » est l'affixe du point « M (a, b) » ;
On définit ainsi le plan complexe ;
Nombre complexe « z* » conjugué du nombre complexe « z = a + j . b »
Le nombre conjugué de « z = a + j . b », c’est le nombre complexe « z* = a - j . b » ;

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Figure du complexe conjugué dans le plan de GAUSS !!!
On a les propriétés : (donner des exemples !!!)
 (z*)* = z ;
 (z + z’)* = z* + (z’)* ;
 (z . z’)* = z* . (z’)* ;
 (1/z)* = 1/z* ;
 « z + z* = 2 .a » est un nombre réel <=> a = (z + z*)/2 ;
 « z - z* = 2 .j . b » est est un imaginaire pur => b = (z - z*)/(2 . j) ;
 z = z* <=> « z » est un nombre réel ;
 z . z* = a2 + b2 est un nombre réel ; !!!
Ex :
x2 + x + 1 = 0  x = (1/2) . (- 1  31/2 . j) ;
Les « 2 » racines complexes de cette équations, sont « 2 » complexes conjugués ;
Le complexe conjugué est utilisé en particulier pour obtenir :
- la partie réelle ;
- et la partie imaginaire ;
du quotient de « 2 » nombres complexes :
z = (a + j . b )/( c + j . d) = ((a + j . b )/( c + j . d)) . ((c - j . d )/ ( c - j . d))
=> z = [ (a . c + b .d ) / (c2 + d2 ) ] + j . [ (b . c - a .d ) / (c2 + d2 ) ] ;
Ex
z = (1 + j)/ (2 – j . 31/2) = ……..
 Somme et différence de « 2 » nombres complexes sous forme cartésienne
Soit dans le plan complexe les points « M » <-> « z = a + j . b » et
« M’ <-> z’ = a’ + j . b’ »
Fig. 1.3 / p 4 / COZIAN
On a :
 somme de « z » et de « z’ » : z + z’ = (a + a’) + j . (b + b’) ;
 différence de « z » et de « z’ » : z - z’ = (a - a’) + j . (b - b’) ;
Le point « P » dont l’affixe est « z + z’ », est tel que « OP = OM + OM’ » ;
De même on construit l'image « Q » du nombre complexe « z - z’ » ;
L'inégalité triangulaire dans le triangle « OMP », donne :
| OP |  | OM| + | MP| avec | MP | = |OM’ |

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Donc, on obtient :
| z + z’ |  | z | +| z’ | ;
Le calcul du module et de l'argument des nombres complexe « z + z’ », ne donne pas de
résultat remarquable ;
Signification de la somme de « 2 » nombres complexes
Bla BLA à faire
 Produit et quotient de « 2 » nombres complexes sous forme cartésienne
Soit « z = a + j .b » et « z’ = a’ + j .b’ »
On a :
 produit de « z » et de « z’ » :
z . z’ = (a + j .b) . (a’ + j .b’) (a . a’ – b . b’) + j . (a . b’ + a’ .b)
car : z . z’ = (a + j .b) . (a’ + j .b’) = (a . a’ – b . b’) + j . (a . b’ + a’ .b) où l’on tient
compte de ce que « j2 = - 1 »
 quotient de « z » et de « z’ » :
z / z’ = (a + j .b) / (a’ + j .b’) = [ (a . a’ + b . b’) + j . (a’ . b - a .b’) ] / (a’2 + b’2)
car :
z / z’ = (a + j .b) / (a’ + j .b’) = [ (a + j .b) / (a’ + j .b’) ] . [ (a’ - j .b’) / (a’ - j .b’) ] 
z / z’ = [ (a + j .b) (a’ - j .b’) ] / [ (a’ + j .b’) . (a’ - j .b’) ] 
z / z’ = [(a . a’ + b . b’) + j . (a’ . b - a .b’) ] / / (a’2 + b’2) ;
Donc, le nombre complexe conjugué « z’* = a’ - j .b’ » du nombre complexe
« z’ = a’ + j .b’ » au dénominateur, est utilisé pour faire le calcul de « z /z’ » ;
On a :
1 / j = - j
car :
1 / j = (1 / j) . (- j / - j) = - j / (- j)2 = - j ;
Ex :
1°) z = 3 - 5 . j et z’ = - 2 + 7 . j ;
2°) z = 5 . (21/2/2) + 5 . (21/2/2) . j et z’ = 3 . 31/2 - 3 . j ;