Nous avons regroupé dans cette annexe certains éléments d

ANNEXE
NOTIONS
ÉLÉMENTAIRES
D'ALGÈBRE
LINÉAIRE
Nous avons regroupé dans cette annexe certains éléments d'algèbre linéaire utiles dans la
compréhension de ce cours.
Vecteur
Définition
On désigne sous le nom de vecteur une suite finie de nombres réels. Par abus de langage, on
ne distinguera pas les points de l'espace et les vecteurs. Les couples (x1, x2), les triplets
(x1, x2, x3), les n-tuples (x1, x2, ..., xn) seront appelés parfois points, parfois vecteurs.
x = (x1, x2, ..., xn) est alors défini par les coordonnées x1, x2, ..., xn de ce point ou les
composantes du vecteur.
Vecteur-ligne, vecteur-colonne
Définition
Les vecteurs peuvent être écrits soit en ligne (vecteur-ligne), soit en colonne (vecteur-
colonne). À moins que cela soit mentionné autrement, nous allons choisir comme
convention une représentation des vecteurs en colonne.

Transposée d'un vecteur
Définition
C'est l'opération qui permet de passer d'un vecteur-ligne à un vecteur-colonne ou vice versa
(un vecteur-colonne à un vecteur-ligne). Après transformation, le vecteur aura les mêmes
composantes écrites dans le même ordre, mais en colonne (ou en ligne).
xt représente le vecteur-colonne qui est la transposée du vecteur-ligne x.
Vecteur nul, vecteur unité, vecteur non négatif, vecteurs égaux
Définition
Le vecteur nul est celui dont toutes les composantes sont nulles. Le vecteur x = (x1, x2, ...,
xn) est égale à 0 si et seulement si xi = 0 pour tout i.
Tout vecteur dont une des composantes est égale à l'unité et toutes les autres composantes
sont nulles est un vecteur unité. On appelle iième vecteur unité, le vecteur ei dont la iième
composante est +1, toutes les autres étant nulles.
Dans l'espace à trois dimensions, les vecteurs unités sont:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).
Le vecteur non-négatif est celui dont toutes les composantes sont non négatives. On écrit x
≥ 0 ce qui signifie que xi ≥ 0 pour tout i.
Deux vecteurs-lignes ou deux vecteurs-colonnes sont dits égaux si et seulement si les
composantes correspondantes dans chacun des vecteurs sont égales.
Addition vectorielle
Définition
L'addition vectorielle est une opération qui fait correspondre à tout couple X et Y de
vecteurs de même espèce, un troisième vecteur de même espèce noté X + Y et défini par la
relation:
soit X = (x1, x2, ..., xn) et Y = (y1, y2, ..., yn) alors X + Y = (x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn).

Si les vecteurs ne sont pas de même espèce ou encore ils ne sont pas tous les deux vecteurs-
lignes ou tous les deux vecteurs-colonnes, avec chacun le même nombre de composantes,
cette opération n'est pas définie.
Produit d'un vecteur par un scalaire
Définition
Il s'agit d'une opération qui fait correspondre à tout couple formé d'un vecteur X et d'un
scalaire , un vecteur de même espèce que X et défini par la relation:
soit X = (x1, x2, ..., xn) et , alors  X = (x1, x2, ..., xn).
Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Nous définissons le produit scalaire de deux vecteurs-colonnes X et Y, ayant tous les deux
le même nombre de composantes, comme étant le nombre suivant:
soit X = (x1, x2, ..., xn) et Y = (y1, y2, ..., yn) alors XtY = x1y1+ x2y2 + ... + xnyn.
On dit que deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul.
Espace vectoriel
Définition
On appelle espace vectoriel V un ensemble de n-vecteurs tel que la somme de vecteurs
quelconques de V et le produit d'un vecteur quelconque de V par un scalaire quelconque 
appartiennent aussi à V; ce qui s'exprime par les conditions suivantes :
x  V et x'  V  x + x'  V
x  V et    x  V.
Exemples
n, l'ensemble des matrices d'ordre n.

Sous-espace d'un espace vectoriel
Définition
On appelle sous-espace d'un espace vectoriel V un sous-ensemble de V qui est lui-même un
espace vectoriel.
Exemple
Le singleton qui renferme le vecteur nul 0 est un sous-espace de n.
Variété linéaire
Définition
On appelle variété linéaire L un ensemble de n-vecteurs tel que
x  L, x'  L et    x + ( 1–  ) x'  L
Propriétés
i) Toute variété linéaire est de la forme L = S + x0, S étant un sous-espace vectoriel et x0
un vecteur fixe ; inversement, S + x0 est une variété linéaire.
ii) Si une variété linéaire L peut s'écrire
L = S1 + x1 et L = S2 + x2,
 S1 = S2
et S1 = S2 est appelé le sous-espace parallèle à la variété L.
Dépendance linéaire, rang, dimension, bases.
Définitions
i) x1 , x2, ..., xk sont dits linéairement indépendants
k
 j xj = 0 j = 0, j = 1, 2, ..., k.
j = 1
Dans le cas contraire, ils sont dits dépendants.

ii) Un vecteur x est une combinaison linéaire de vecteurs xj, j = 1, 2, ..., k s'il existe des
scalaires j tels que
k
x =  j xj .
j = 1
iii) x1 , x2, ..., xk sont dits linéairement dépendants
l'un de ces vecteurs est une combinaison linéaire des autres vecteurs.
iv) On appelle rang d'un sous-ensemble S d'un espace vectoriel V le nombre maximal de
vecteurs indépendants existant dans S. Selon le rang r de V1, V2, ..., Vk, cette
combinaison linéaire des vecteurs peut s'effectuer soit d'une façon unique (r = k), soit
d'une infinité de façons (r < k).
v) Dans le cas où S est lui-même un espace vectoriel V' (sous-espace de V, ou
éventuellement V lui-même), le rang de S est plutôt appelé nombre de dimensions de
l'espace V'.
vi) On appelle base d'un espace vectoriel V à r dimensions ou d'un sous-ensemble S de
rang r d'un espace V, tout ensemble de r vecteurs linéairement indépendants de V ou
de S.
vii) Un espace vectoriel V a une infinité de bases, mais toutes ces bases ont le même
nombre de composantes, et ce nombre constitue la dimension de l'espace V.
Propriétés
i) Si V1, V2, ..., Vk sont des vecteurs d'un espace vectoriel V et si 1, 2, ..., k sont
des scalaires, l'expression:
k
 j Vj .
j = 1
s'appelle combinaison linéaire des vecteurs Vj et est un vecteur de V.
ii) Tout vecteur peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs unités.
iii) Si chacun des vecteurs yi, i = 1, 2, ..., p + 1 d'un espace vectoriel V est une
combinaison linéaire d'un même ensemble de p vecteurs xj, j = 1, 2, ..., p de V