Mécanique : exercices

On suppose que le skieur n’est soumis qu’a son poids.
1 – Quelle est la nature du mouvement du skieur ?
2 – Etablir les équations horaires du mouvement.
3 – En déduire l’équation cartésienne de sa trajectoire.
4 – Si la piste se poursuit sur l’axe Ox, déterminer la portée du saut du
skieur.
II.
Corrigé
Exercice I
!"
1 – La goutte n’est soumise qu’à son poids :
m. a = m. g ⇔ a = g ⇔ az = g sur un axe Oz dirigé vers le bas.
Par intégration :
(1)
vz = g.t + v0 = g.t car v0 = 0 m.s-1
1
1
(2)
z = .g.t2 + z0 = .g.t2 car z0 = 0 m.
2
2
2 - La goutte atteint le sol pour z = 1500 m.
2z
(2) ⇔ t =
g
2z
(1) ⇔ vz = g.t = g.
= 2.g.z = 2x9,8x1500 = 171 m.s-1 .
g
Ce résultat est beaucoup trop élevé (171 m.s-1 = 617 km.h-1).
3 – En fait, la goutte est également soumise à la force de frottement de
l’air et à la poussée d’Archimède qui s’opposent à son mouvement. 12
m.s-1 correspond à la vitesse limite, lorsque le mouvement se trouve
dans son régime asymptotique.
4
4 - a – P = m.g = ρeau .Vgoutte.g = .π.ρeau .r3.g
3
4
P = x3,14x(2.10-3)3x1000x9,8 = 3,3.10-4 N.
3
4
4
b - Π = ρair.Vgoutte.g = .π.ρair .r3.g = x3,14x(2.10-3)3x1,2x9,8
3
3
Π = 3,9.10-7 N.
Π
On constate que
≈ 846. La poussée d’Archimède peut être
P
négligée devant le poids.
5 – a – On applique la deuxième loi de Newton :
m. a = P + f ⇔ m. a = m. g - α.r. v
→
→
→
→
→
→
dv
r
En projetant sur l’axe Oz :
+ α .v = g.
(3)
dt
m
b – Lorsque la force de frottement compense exactement le
poids de la goutte, la vitesse est constante et égale à la vitesse
r
mg
limite : (3) ⇔ α .vlim = g ⇔ vlim =
.
m
αr
mg
4
c-α=
avec m = .π.ρeau .r3 = 3,3.10-5 kg.
rv
3
lim
3,3.10-5x9,8
=
= 1,3.10-2 kg.m-1.s-1.
2.10-3x12
τ = vlim/g = 12/9,8 = 1,2 s.
→
→
→
Exercice II
!"
1 – Sur l’axe horizontal, le mouvement est uniforme. Sur l’axe vertical,
il est uniformément accéléré.
2 – Application de la deuxième loi de Newton :
m. a = m. g ⇔ a = g puis on projette sur les axes Ox et Oz :
"$ ax = 0
#
!" aZ = -g
"$ vx(t) = v0.cos θ
#
puis par intégration :
(1)
!" vz(t) = - g.t + v0.sin θ
"$ x(t) = (v0.cos θ).t
1
#
on intègre à nouveau :
(2)
z(t) = - .g.t2 + (v0.sin θ).t
2
!"
car x0 = z0 = 0 m.
x
3 – (1) ⇔ t =
v0.cos θ
g
(2) ⇔ z = x2 + (tan θ).x
2(v0.cos θ)2
4 – La portée correspond à l’intersection de la courbe z(x) avec l’axe
Ox, soit à z(x) = 0.
9,8
0=x2 + (tan 30).x , soit -3,9.10-2 x2 + 0,58.x = 0
2(13xcos 30)2
La résolution de cette équation du second degré mène à x ≈ 15 m
La portée est donc d’environ 15 mètres.
→
→
→
→
→
MemoPage.com SA © / 2006 / Auteur : Emmanuel Parras
Un skieur arrive sur le haut d’un
tremplin avec une vitesse
initiale dans le plan xOz, de
valeur
v0 = 13 m.s-1 et faisant un angle
θ = 30° avec l’horizontale.
Exercice II - saut à ski
!"
• On étudie la chute d’une goutte d’eau de rayon r = 2,0 mm dans l’air,
à partir d’un nuage. On suppose sa vitesse initiale nulle. Les origine
des temps et de l’espace correspondent à l’instant et à l’endroit où la
goutte quitte le nuage à l’altitude de 1500 m.
On suppose dans un premier temps la goutte en chute libre.
1 – A partir de la deuxième loi de Newton, déterminer l’équation
horaire du mouvement de la goutte.
2 – Quelle est la valeur de la vitesse de la goutte d’eau lorsqu’elle
arrive sur le sol ? Commenter le résultat.
• La goutte est en fait soumise à une force de frottement fluide
f = - α.r. v . La vitesse réelle de la goutte est 12 m.s-1 lorsqu’elle
arrive au sol.
3 – Expliquer la différence entre cette valeur et celle trouvée dans la
première partie. A quoi correspond cette vitesse ?
4 – a – Calculer la valeur du poids de la goutte.
b – Calculer la valeur de la poussée d’Archimède qui s’exerce
sur la goutte. Comparer cette valeur à celle du poids.
5 – a - Etablir l’équation différentielle du mouvement.
b – En déduire l’expression de la vitesse limite du mouvement.
c – Calculer le coefficient α et le temps caractéristique τ.
Données : ρeau = 1,0.10 3 kg.m-3 ; ρair = 1,2 kg.m-3 ; g = 9,8 N.kg-1 .
→
→
Exercice I - chute d’une goutte d’eau
!"
I.
Enoncé
Mécanique :
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