On suppose que le skieur n’est soumis qu’a son poids. 1 – Quelle est la nature du mouvement du skieur ? 2 – Etablir les équations horaires du mouvement. 3 – En déduire l’équation cartésienne de sa trajectoire. 4 – Si la piste se poursuit sur l’axe Ox, déterminer la portée du saut du skieur. II. Corrigé Exercice I !" 1 – La goutte n’est soumise qu’à son poids : m. a = m. g ⇔ a = g ⇔ az = g sur un axe Oz dirigé vers le bas. Par intégration : (1) vz = g.t + v0 = g.t car v0 = 0 m.s-1 1 1 (2) z = .g.t2 + z0 = .g.t2 car z0 = 0 m. 2 2 2 - La goutte atteint le sol pour z = 1500 m. 2z (2) ⇔ t = g 2z (1) ⇔ vz = g.t = g. = 2.g.z = 2x9,8x1500 = 171 m.s-1 . g Ce résultat est beaucoup trop élevé (171 m.s-1 = 617 km.h-1). 3 – En fait, la goutte est également soumise à la force de frottement de l’air et à la poussée d’Archimède qui s’opposent à son mouvement. 12 m.s-1 correspond à la vitesse limite, lorsque le mouvement se trouve dans son régime asymptotique. 4 4 - a – P = m.g = ρeau .Vgoutte.g = .π.ρeau .r3.g 3 4 P = x3,14x(2.10-3)3x1000x9,8 = 3,3.10-4 N. 3 4 4 b - Π = ρair.Vgoutte.g = .π.ρair .r3.g = x3,14x(2.10-3)3x1,2x9,8 3 3 Π = 3,9.10-7 N. Π On constate que ≈ 846. La poussée d’Archimède peut être P négligée devant le poids. 5 – a – On applique la deuxième loi de Newton : m. a = P + f ⇔ m. a = m. g - α.r. v → → → → → → dv r En projetant sur l’axe Oz : + α .v = g. (3) dt m b – Lorsque la force de frottement compense exactement le poids de la goutte, la vitesse est constante et égale à la vitesse r mg limite : (3) ⇔ α .vlim = g ⇔ vlim = . m αr mg 4 c-α= avec m = .π.ρeau .r3 = 3,3.10-5 kg. rv 3 lim 3,3.10-5x9,8 = = 1,3.10-2 kg.m-1.s-1. 2.10-3x12 τ = vlim/g = 12/9,8 = 1,2 s. → → → Exercice II !" 1 – Sur l’axe horizontal, le mouvement est uniforme. Sur l’axe vertical, il est uniformément accéléré. 2 – Application de la deuxième loi de Newton : m. a = m. g ⇔ a = g puis on projette sur les axes Ox et Oz : "$ ax = 0 # !" aZ = -g "$ vx(t) = v0.cos θ # puis par intégration : (1) !" vz(t) = - g.t + v0.sin θ "$ x(t) = (v0.cos θ).t 1 # on intègre à nouveau : (2) z(t) = - .g.t2 + (v0.sin θ).t 2 !" car x0 = z0 = 0 m. x 3 – (1) ⇔ t = v0.cos θ g (2) ⇔ z = x2 + (tan θ).x 2(v0.cos θ)2 4 – La portée correspond à l’intersection de la courbe z(x) avec l’axe Ox, soit à z(x) = 0. 9,8 0=x2 + (tan 30).x , soit -3,9.10-2 x2 + 0,58.x = 0 2(13xcos 30)2 La résolution de cette équation du second degré mène à x ≈ 15 m La portée est donc d’environ 15 mètres. → → → → → MemoPage.com SA © / 2006 / Auteur : Emmanuel Parras Un skieur arrive sur le haut d’un tremplin avec une vitesse initiale dans le plan xOz, de valeur v0 = 13 m.s-1 et faisant un angle θ = 30° avec l’horizontale. Exercice II - saut à ski !" • On étudie la chute d’une goutte d’eau de rayon r = 2,0 mm dans l’air, à partir d’un nuage. On suppose sa vitesse initiale nulle. Les origine des temps et de l’espace correspondent à l’instant et à l’endroit où la goutte quitte le nuage à l’altitude de 1500 m. On suppose dans un premier temps la goutte en chute libre. 1 – A partir de la deuxième loi de Newton, déterminer l’équation horaire du mouvement de la goutte. 2 – Quelle est la valeur de la vitesse de la goutte d’eau lorsqu’elle arrive sur le sol ? Commenter le résultat. • La goutte est en fait soumise à une force de frottement fluide f = - α.r. v . La vitesse réelle de la goutte est 12 m.s-1 lorsqu’elle arrive au sol. 3 – Expliquer la différence entre cette valeur et celle trouvée dans la première partie. A quoi correspond cette vitesse ? 4 – a – Calculer la valeur du poids de la goutte. b – Calculer la valeur de la poussée d’Archimède qui s’exerce sur la goutte. Comparer cette valeur à celle du poids. 5 – a - Etablir l’équation différentielle du mouvement. b – En déduire l’expression de la vitesse limite du mouvement. c – Calculer le coefficient α et le temps caractéristique τ. Données : ρeau = 1,0.10 3 kg.m-3 ; ρair = 1,2 kg.m-3 ; g = 9,8 N.kg-1 . → → Exercice I - chute d’une goutte d’eau !" I. Enoncé Mécanique : exercices