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COURS DE GENIE MECANIQUE
CINEMATIQUE DU SOLIDE
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But de la cinématique : étudier les mouvements des points d’un solide.
Hypothèse de la cinématique : les solides sont indéformables.
Grandeurs étudiées : le mouvement d’un point d’un solide est défini par sa
trajectoire, sa vitesse, son accélération. Ces grandeurs font intervenir l’espace et
le temps c’est pourquoi nous devons toujours préciser le solide qui sert de référence,
l’origine des espaces et l’origine des temps.
Exemple : on perçoit différemment le mouvement d’une voiture si on est arrêté au
bord de la route ou si on est soi-même en train de se déplacer sur cette route.
Remarque : en mécanique classique le temps est considéré comme uniforme et
absolu. Il est le même pour tous les observateurs sur terre.
Lorsque le solide de référence est fixe (au repos ) le mouvement est dit absolu.
Lorsque le solide de référence est en mouvement, le mouvement est dit relatif.
Lorsqu’un solide en mouvement provoque le mouvement d’un autre solide on dit qu’il
a un mouvement d’entraînement.
Notation : le mouvement du solide 1 étudié par rapport au solide 0 est noté Mvt 1/0.
Mouvements particuliers rencontrés en mécanique :
La translation : un solide 1 est en translation par rapport à un solide 2 ( solide de
référence ) si deux droites non parallèles liées à 1 restent constamment parallèles à
deux droites liées au solide 2.
Solide 1
Solide 2
La rotation : un solide 1est dit en rotation par rapport à un solide 2 si deux points au
moins appartenant au solide 1 restent en coïncidence avec deux points liés au solide
2 au cours du mouvement. La droite passant par ces deux points est appelée axe de
la rotation.
Solide 1
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Solide 2
Le mouvement plan : un solide 1 est dit en mouvement plan par rapport à un solide
2 si trois points non alignés appartenant à 1 restent constamment dans un même
plan lié au solide 2 au cours du mouvement.
Solide 1
Solide 2
Grandeurs liées au mouvement d’un point.
La trajectoire : c’est une courbe représentant l’ensemble des positions successives
occupées par un point appartenant à un solide en mouvement dans un repère lié à
un autre solide ( solide de référence ). La trajectoire d’un point A appartenant au
solide 1 dans un repère lié au solide 2 se note : T A1/2.
La nature d’une trajectoire peut être un segment de droite, un arc de cercle, une
parabole, etc.…
La vitesse linéaire : c’est le rapport de la distance parcourue entre deux points de la
trajectoire et la durée mise pour parcourir cette distance.
Si on considère la totalité du mouvement, on parle de vitesse moyenne.
Si on ne considère qu’une petite partie du mouvement on parle de vitesse
instantanée. Quand la durée devient très petite (proche de 0 seconde), la vitesse
instantanée est égale à la dérivée de la distance par rapport au temps à l’instant
considéré.
La vitesse instantanée d’un point à l’instant t se représente par un vecteur qui a pour
caractéristiques :
Point d’application : position du point considéré à l’instant t.
Direction : tangente à la trajectoire du point considéré à l’instant t.
Sens : celui du mouvement du point considéré à l’instant t.
Valeur : dérivée de la distance par rapport au temps à l’instant t.
Si la vitesse est constante au cours du mouvement on dit que le mouvement est
uniforme.
L’accélération linéaire : c’est le rapport de la variation de la vitesse entre deux
points de la trajectoire et la durée du déplacement entre ces deux points.
Dans le cas d’une durée très courte l’accélération est égale à la dérivée de la vitesse
par rapport au temps à l’instant considéré.
Si la variation de la vitesse est positive on parle de mouvement accéléré.
Si la variation de la vitesse est négative on parle de mouvement décéléré.
On la représente par un vecteur ayant pour caractéristiques :
Point d’application : position du point considéré à l’instant t.
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Direction : tangente à la trajectoire du point considéré à l’instant t.
Sens : celui du mouvement s’il s’agit d’une accélération
Opposé au mouvement s’il ‘agit d’une décélération.
Valeur : dérivée de la vitesse par rapport au temps à l’instant t.
Si l’accélération (décélération) est constante on dit que le mouvement est
uniformément accéléré (décéléré).
Application aux mouvements particuliers rencontrés en mécanique.
La translation rectiligne :
Tous les points ont la même trajectoire qui est un segment de droite
Tous les points ont la même vitesse
Tous les points ont la même accélération
Dans le cas d’une translation uniformément accélérée ( décélérée ), on peut mettre
en équation le mouvement :
a = constante
v = a. t + v0
avec v0 = vitesse initiale
d = 0,5.a.t2 + v0.t + d0
avec d0 = distance initiale
Ces 3 équations s’appellent les équations horaires du mouvement de translation
rectiligne uniformément accéléré ( M.T.R.U.A.).
La rotation :
Tous les points tournent du même angle :Tous les points ont des trajectoires
circulaires centrées sur l’axe de la rotation.
Tous les points ont même vitesse angulaire (rad/s )
Tous les points ont la même accélération angulaire (rad/s² )
Dans le cas d’une rotation uniformément accélérée ( décélérée ), on peut mettre en
équation le mouvement :
 = constante
 = . t + 0
avec 0 = vitesse angulaire initiale
 = 0,5..t2 + 0.t + 0
avec 0 = angle initial
Ces 3 équations s’appellent les équations horaires du mouvement de rotation
uniformément accéléré ( M.R.U.A.).
La vitesse linéaire d’un point est égale au produit de la vitesse angulaire et du rayon
de la trajectoire :
V = .R
m/s = rad/s X m
Le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon de la trajectoire du point considéré.
Rque : les vitesses linéaires des points d’un solide en rotation ont une répartition
linéaire en fonction du rayon.
Droite de répartition linéaire
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Centre O
A
B
C
D
E
Le mouvement plan
Tous les points ont des trajectoires contenues dans un même plan.
On peut considérer le mouvement plan comme une combinaison d’une translation et
d’une rotation.
translation
c
rotation
Solide 1
Solide 2
Conséquence pour les vitesses :
Théorème de l’équiprojectivité :
Soit A et B deux points du solide 1 et leurs vecteurs vitesse V A1/2 et V B1/2. Les
projections orthogonales des vecteurs vitesse sur la droite (AB) sont égales.
V A1/2
CIR
V B1/2
Centre instantané de rotation (C.I.R.)
On peut considérer qu’à un instant t le solide 1 est en rotation par rapport à un point
fictif appelé centre instantané de rotation. Ce point se situe à l’intersection des
perpendiculaires aux vecteurs vitesse des points A et B.
Application à la détermination des vitesses :
Si on connaît la vitesse du point A du solide 1 (direction, sens valeur) et la direction
de la vitesse du point B appartenant au même solide, on peut trouver la valeur de la
vitesse du point B.
EQUIPROJECTIVITE
C.I.R.
V A1/2
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Composition des mouvements
A un instant donné, on peut considérer qu’un point matériel appartient simultanément
à plusieurs solides. On parle de points coïncidents. Chacun de ces points est animé
du mouvement suivi par le solide auquel il est supposé appartenir. On peut alors
écrire que le mouvement de ce point, appartenant à un solide 1 par rapport à un
solide n, est le résultat (ou la composition) des mouvements de ce point par rapport
au autres solides.
On note : Mvt 1/n = Mvt 1/2 + Mvt 2/3 +………………….+ Mvt n-1/n .
Remarques : le point considéré n’est pas obligatoirement un point réel d’un solide.
Cette loi fait intervenir des mouvements absolus et relatifs.
Loi de Composition des vitesses
elle découle de la loi de composition des mouvements. On peut écrire que la vitesse
d’un point A appartenant au solide 1 par rapport au solide n vérifie la relation :
V A1/n = V A1/2 + V A2/3 +………………….+ V An-1/n .
Remarques : il s’agit d’une relation vectorielle, donc la direction et le sens des
vitesses on une importance.
Pour un point situé au centre d’une liaison pivot ou rotule entre 2
solides, la vitesse relative est nulle.
La vitesse V A1/2 = - V A2/1
Dans le cas où il n’y a que 3 vitesses, les vecteurs forment le triangle
des vitesses.
Exemple : table X-Y de portix
Y
Chariot Y 1
Chariot X 2
Outil 0
A
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X
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Sachant que V A1/2 = -100 Y et V A2/0 = -200 X, déterminer V A0/1.
Echelle 1 cm
50 mm/min.
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